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人教版七年级数学上册同步讲义专题3.1-3.3 一元一次方程及其解法讲练（学生版）（人教版）
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这是一份人教版七年级数学上册同步讲义专题3.1-3.3 一元一次方程及其解法讲练（学生版）（人教版），共18页。试卷主要包含了一元一次方程的概念，一元一次方程的解，等式的性质， 移项， 解一元一次方程的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
2.一元一次方程的解
方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3.等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
4. 移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；（2）系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
5. 解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：去分母时不可漏乘不含分母的项。分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号。
考点精讲
考点1：一元一次方程定义及应用
典例：若是关于的一元一次方程，则的值是______．
方法或规律点拨
本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，属于基础题型．
巩固练习
1．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+2y=5B．x2+x-1=0C．D．3x+1= 10
2．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东滨州·七年级阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣4x＝3B．x＝0
C．x+2y＝1D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5
4．（2022·河南鹤壁·七年级期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022·四川资阳·七年级期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
6．（2021·全国·七年级期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·七年级单元测试）若是关于的一元一次方程，则的值是______．
8．（2022·河南南阳·七年级期末）若是关于的一元一次方程，则的值可以是______写出一个即可
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a等于______．
10．（2021·四川广元·七年级期末）若关于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为 _____．
考点2：一元一次方程的解
典例：（2022·江苏·七年级专题练习）若x＝3是关于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，则代数式10﹣3m＋n的值是___．
方法或规律点拨
此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义．
巩固练习
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列方程中，解是的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2B．8C．－3D．－8
3．（2022·全国·七年级课时练习）若是方程的解，则a的值是（ ）
A．1B．1C．2D．—
4．（2022·湖南湘西·七年级期末）是下列哪个方程的解（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣2
6．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）已知是方程的解，则______．
7．（2022·新疆塔城·七年级期末）若是关于x的方程的解，则________．
8．（2021·河南洛阳·七年级期末）若关于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解为x＝﹣2，则a的值为 _____．
9．（2022·河南南阳·七年级期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．
10．（2022·河南南阳·七年级期中）己知方程3x+m+4＝0的解为x＝m，则m＝______．
23．（2022·辽宁大连·七年级期末）已知x=1是关于x的方程6-（m-x）=5x的解，则代数式m2-6m+2=___________．
考点3：等式的性质
典例：（2022·贵州铜仁·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么．C．如果，那么D．如果，那么
方法或规律点拨
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
巩固练习
1．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ）
A．若5x=7-4x，则5x-4x=7B．若7x=2，则x=3.5
C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9D．若，则2(3x-2)=x+2-6．
2．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．若，则
3．（2022·河南南阳·七年级期末）下列变形正确的是（ ）
A．与B．得
C．得D．得
4．（2020·湖南常德·七年级期末）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
5．（2022·山东威海·期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
7（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
8（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．若，则a＝bB．若，则3x＋4x＝1
C．若ab＝bc，则a＝cD．若4x＝a，则x＝4a
9（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
10．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由4（），得
11．（2021·河北承德·七年级期末）在下列式子中变形一定正确的是（ ）
A．如果2a= 1，那么a=2
B．如果a=b，那么
C．如果a=b，那么a+c=b+c
D．如果a－b+c=0，那么a=b+c
12．（2022·河南南阳·七年级期中）下列变形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移项、合并得5x＝0；③由方程2两边同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程两边同除以，得x＝1；其中错误变形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
13．（2022·全国·七年级课时练习）下列变形正确的是（ ）
A．如果ax＝bx，那么a＝b
B．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1
C．如果x＝y，那么x﹣5＝5﹣y
D．如果（a2+1）x＝1，那么x＝
14．（2022·湖南岳阳·七年级期末）下列变形不一定正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
15．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
16．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
考点4：解一元一次方程—移项合并同类项
典例：（2022·全国·七年级课时练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解为（ ）
A．－1B．1C．3D．－3
2．（2022·吉林长春·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建泉州·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·陕西汉中·七年级期末）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林长春·七年级期末）若是关于x的方程的解，则m的值为_________．
6．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）关于的方程的解是，则________．
7．（2022·河南南阳·七年级期末）已知方程与的解相同，则k的值为______．
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．
9．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点5：解一元一次方程—去括号
典例：解方程
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
巩固练习
1．（2022·河南南阳·七年级期中）已知是方程的解，则的值是_________．
2．（2022·全国·七年级课时练习）已知代数式与的值相等，那么______．
3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）解方程：3-2（x+1）=2（x- 3）
4．（2022·吉林长春·七年级期末）解方程：．
5．（2022·湖南衡阳·七年级期末）解方程
6．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：．
7．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程：
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）对两个任意有理数、，规定一种新的运算：，例如：．根据新的运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求的值．
9．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：，例如，．根据新运算法则，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
考点6：解一元一次方程—去分母
典例：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
方法或规律点拨
本题考查正负数的意义，解题的关键是理解题意表示出红色、黑色所代表的数字．
巩固练习
1．（2022·江苏·七年级单元测试）解一元一次方程时，去分母正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）解方程时，去分母结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南新乡·七年级期末）下列解方程变形：
①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；
②由，去分母得2x－3x＋3＝6；
③由，去括号得4x－2－3x＋9＝1；
④由，得x＝3．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（2022·河南南阳·七年级期末）如图的框图表示解方程的流程，其中第步和第步变形的依据相同，这两步变形的依据是（ ）
A．乘法分配律B．分数的基本性质
C．等式的基本性质D．等式的基本性质
6．（2022·山西吕梁·七年级期中）将方程去分母得到，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数为各分母的最小公倍数12
7．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）解方程：
8．（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）解方程：
(1)5x+2＝7x﹣8；
(2)．
9．（2022·甘肃·永昌县第六中学七年级期末）解方程：
(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0
(2)
10．（2021·吉林油田第二中学七年级期中）解方程：
11．（2022·新疆·和硕县第二中学七年级期末）解方程
(1)6x﹣7 ＝ 4x﹣5
(2) ＝ 1﹣
12．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）解下列方程：
(1)32x－64＝16x＋32；
(2)－x＝3－．
13．（2022·甘肃·华亭市皇甫学校七年级期末）解方程
(1)
(2)
14．（2022·山东济南·七年级期末）解方程：
(1)
(2)
15．（2022·贵州铜仁·七年级期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
考点7：一元一次方程拓展训练
典例：（2022·广西防城港·七年级期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣3）★2＝ ．
(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
方法或规律点拨
本题主要考查了新定义运算，一元一次方程，准确计算是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·吉林长春·七年级期末）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（ ）
A．1.45B．1.64C．1.92D．2.05
2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 =，如=－=－10．若=6，则的值为（ ）
A．8B．－2C．2D．－5
3．（2022·河北承德·七年级期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是（ ）
解：原方程可化为（ ① ）
去分母，得（ ② ）
去括号，得（ ③ ）
移项，得（ ④ ）
合并同类项，得（合并同类项法则）
系数化为1，得（等式的基本性质2）
A．①分数的基本性质B．②等式的基本性质2
C．③乘法对加法的分配律D．④加法交换律
4．（2022·全国·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（ ）
A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－1或x＝－2D．x＝1或x＝2
5．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．3B．C．4D．
6．（2022·湖北孝感·七年级期末）用“*”定义一种运算：对任意的有理数x和y：x*y＝mx＋my＋1（m为常数），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，则（－1）*（－3）的值为（ ）
A．－7B．－5C．－13D．－11
7．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程有无穷多个解，则______．
8．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是x＝2，则a＋b＝________．
9．（2021·河南信阳·七年级期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为____________．
10．（2022·河南郑州·七年级期末）关于x的一元一次方程，其中m是正整数．若方程有正整数解，则m的值为_____________．
11．（2022·福建泉州·七年级期末）在有理数范围内我们定义运算法则“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值为______．
12．（2021·河北承德·七年级期末）设a，b，c，d为有理数，则我们把形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，利用此法则解决下列问题：
（1）___________________；
（2）若，则x值为_______________．
13．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________．
14．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=______．
15．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解___________．
16．（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）已知方程是关于x的一元一次方程．
(1)求代数式的值；
(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．
17．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）已知关于x的整式，整式，若a是常数，且的值与x无关．
(1)求a的值；
(2)若b为整数，关于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整数，求的值．
18．（2022·河南南阳·七年级期中）（1）取何值时，代数式与的值互为相反数？
（2）取何值时，关于的方程和的解相同？
19．（2022·河南洛阳·七年级期中）当为何值时，关于的方程和的解相同？
【答案】##
20．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
21．（2022·河南驻马店·七年级期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：2＋x＝4的解为x＝2且，则方程2＋x＝4是“商解方程”．请回答下列问题：
(1)判断3＋x＝5是不是“商解方程”．
(2)若关于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．
22．（2022·全国·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·全国·七年级单元测试）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建福州·七年级期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ）．
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
3．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·甘肃·景泰县第四中学七年级期中）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，如果第n个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n=（ ）．
A．503B．504C．505D．506
5．（2022·浙江衢州·七年级期末）如图，将4张形状、大小完全相同的小长方形纸片分别以图1、图2的方式放入长方形ABCD中，若图1中的阴影部分周长比图2的阴影部分周长少1，则图中BE的长为（ ）
A．B．C．1D．2
6．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为______________．
8．（2022·湖南株洲·七年级期末）“的3倍与7的差等于12”可列方程为____________________．
9．（2022·湖南衡阳·七年级期末）若代数式3x＋2与代数式x﹣10的值互为相反数，则x＝________．
出方程是解题的关键．
10．（2022·江苏南京·七年级期末）整式ax－b的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程－ax＋b＝3的解是______．
11．（2022·河北邢台·七年级期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，两位同学的解答过程分别如下：
（1）解答过程出现错误的同学是 _____；
（2）这个方程正确的解是 _____．
的关键．
12．（2022·河北承德·七年级期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即；则
（1）用含x的式子表示__________；
（2）当时，n的值为__________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2021·浙江·杭州市余杭区良渚实验学校七年级阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
14．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题：
(1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）；
(2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值．
15．（2022·四川成都·七年级期末）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程是否是关于x的一元一次方程的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值．
x
－2
0
2
ax－b
－6
－3
0
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