人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第22课 不等式及其性质（教师版）

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第22课 不等式及其性质（教师版），共17页。试卷主要包含了不等式的解，不等式的解集，不等式的解集的表示方法等内容，欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
注意：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点02 不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
注意：
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
注意：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：
一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
知识点03 不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
注意：
不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
能力拓展
考法01 不等式的概念
【典例1】有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 ( )
【分析】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．
【答案】D
【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对．
【点睛】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．
考法02 不等式的解及解集
【典例2】若关于的不等式x≤a只有三个正整数解，求的取值范围.
【分析】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．
【答案】3≤a＜4
【解析】
解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，
∴三个正整数解为：1，2，3，
∴3≤a＜4，
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．
【典例3】如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )
A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2
【分析】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．
【答案】B
【解析】
解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；
C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；
D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；
故选B．
【点睛】在数轴上 表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．
【即学即练】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．
【答案】4
提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为．把x＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．
考法03 不等式的基本性质
【典例4】若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．
【分析】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值．因为x+y＜2，故可以构建关于a的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围．
【答案】a＜4
【解析】
解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．
将方程的两边同除以4得 ．
依题意：．
将不等式的两边同乘以4得4+a＜8．
将不等式的两边同时减去4得a＜4．
故a的取值范围是a＜4．
【点睛】解关于x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞a或x＜a的形式，化简的依据是不等式的性质．
【即学即练】若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞1．
解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，1﹣a＜0，a＞1.
【即学即练】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2；B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则｜a｜≠|b|D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D
分层提分
题组A 基础过关练
1．式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3＝0；④y－7；⑤m－2.5＞3.其中不等式有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
找到用不等号连接的式子的个数即可．
【详解】
①是用“＞”连接的式子，是不等式；
②是用“≤”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；
∴不等式有①②⑤共3个，故选C．
【点睛】
此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．
2．若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2B．C．6m＜6nD．﹣8m＞﹣8n
【答案】B
【解析】
【分析】
将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【详解】
A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误；
B、将m＞n两边都除以4得： ，此选项正确；
C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误；
D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是正数”表示为m＜0
B．“m不大于3”表示为m＜3
C．“n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0
D．“n不等于6”表示为n＞6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各个选项的表示列出不等式，与选项中所表示的不等式对比即可.
【详解】
A. “m不是正数”表示为 故错误.
B. “m不大于3”表示为故错误.
C. “n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0,正确.
D. “n不等于6”表示为,故错误.
故选:C.
【点睛】
考查列不等式，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，非负数是大于或等于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．
4．若 是关于x的一元一次不等式，则m的值为( )
A．±1B．1C．－1D．0
【答案】B
【解析】
【详解】
根据一元一次不等式的概念，可知m+1≠0，解得m≠-1，然后根据次数可知m2=1，解得m=±1，因此可知m的值为1.
故选B.
5．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得B．由，得
C．由，得D．由，得
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．
【详解】
解：A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；
B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确；
C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误；
D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是( )
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】
【详解】
解：移项得，5x﹣2x≥9，合并同类项得，3x≥9，系数化为1得，x≥3，所以，不是不等式的解集的是x=2．
故选D．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解集．
7．不等式x＜－2的解集在数轴上表示为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【详解】
A选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选A；
B选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选B；
C选项中，数轴上表达的解集是：，所以不能选C；
D选项中，数轴上表达的解集是：，所以可以选D.
故选D.
8．若不等式的解集是，则必满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由不等式的解集是，不等式的方向发生了改变，从而可得：＜ 于是可得答案．
【详解】
解： 不等式的解集是，
＜
＜
故选：
【点睛】
本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解集，掌握“不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向要改变．”是解题的关键
9．用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x＞﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的解集表示方法即可求解．
【详解】
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示﹣2的点是空心圆点
∴x＞﹣2
故选：D．
【点睛】
此题主要考查不等式解集的表示，解题的关键是熟知不等式解集的表示方法．
10．如果(m+3)x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是( )
A．B．C．D．m是任意实数
【答案】B
【解析】
【详解】
由含有m的不等式（m+3）x＞2m+6的解集为：x＜2，根据不等式的基本性质3，可知m+3＜0，解得m＜-3.
故选B.
题组B 能力提升练
11．“x的3倍与2的差不大于-1”所对应的不等式是___________.
【答案】3x-2≤-1
【解析】
【分析】
不大于就是小于等于的意思，根据x的3倍与2的差不大于-1，可列出不等式．
【详解】
根据题意得：3x-2≤-1．
故答案为3x-2≤-1．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12．“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
【答案】5+2m＜0
【解析】
【分析】
根据题意列不等式可得答案.
【详解】
解:由题意得：5与m的2倍的和是负数,
可列不等式：5+2m＜0
故答案为5+2m＜0.
【点睛】
本题主要考查列不等式，较简单.
13．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系：
（1）是正数：_____________________；
（2）是负数：_____________________；
（3）不小于4：_____________________；
（4）是非负数：_____________________；
（5）的2倍比9大：_____________________；
（6）的一半与8的和是负数：_____________________；
（7）的3倍与5的和大于的：_____________________；
（8）相反数是非正数：_____________________；
【答案】 >0； 9； +8； -() ≤0.
【解析】
【分析】
读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
【详解】
（1）>0；（2）9；（6）+8；（8）-() ≤0.
故答案为（1）>0；（2）9；（6）+8；（8）-() ≤0.
【点睛】
此题考查利用字母来表示题目中的不等关系，抓住大于、小于、不大于、不小于等关键字．
14．一种药品的说明书上写着：“每日用量60~120mg，分4次服用”，一次服用这种药量x(mg)范围为_________．
【答案】15mg＜x＜30
【解析】
【详解】
根据题意，由“每日用量60～120mg，分4次服用”，用60÷4=15（mg/次），120÷4=30（mg/次）得到每天服用这种药的剂量为：15mg≤x≤30mg．
故答案为15≤x≤30.
点睛：本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用60mg时4次每次的剂量；每天服用120mg时4次每次的剂量，然后找到最大值与最小值．
15．如图所示的不等式的解集是________．
【答案】x≤2
【解析】
【详解】
分析：本题考察不等式的解集在数轴上表示，左边表示小于，实心圆点表示等于.
解析：由图得，x≤2.
故答案为x≤2.
16．若5x3m-2-2＞7是一元一次不等式，则m=_____．
【答案】1
【解析】
【详解】
根据题意得：3m-2=1，
解得：m=1．
故答案是：1．
17．如果不等式(a－3)x＜b的解集是x>，那么a的取值范围是________.
【答案】a