2024年高考数学预测密卷二卷 新高考新结构版(含答案)

这是一份2024年高考数学预测密卷二卷 新高考新结构版(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足，则z的虚部是( )
A.-25B.-5C.1D.5
3．从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知椭圆的离心率为，P是C上一点，且点P到焦点的最大距离为.过焦点F作直线轴，交椭圆C于A，B两点，则( )
A.2B.1C.D.
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的面积为( )
A.B.C.D.
6．某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为和的条件下进行培育.已知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为，选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为的条件下培育出来的概率为.从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为的条件下培育出来的概率为( )
A.B.C.D.
7．已知函数，且，则关于x的不等式的解集为( )
A.B.C.D.
8．已知抛物线的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点，则当取最小值时，( )
A.2B.C.3D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则向量a与向量b的夹角的余弦值为
D.若，则向量b在向量a上的投影向量为
10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数，且，则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知，，点M满足，则下列说法正确的是( )
A.面积的最大值为12
B.的最大值为72
C.若，则的最小值为10
D.当点M不在x轴上时，MO始终平分
11．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是( )
A.存在满足条件的点M，使
B.当点Q在线段上移动时，必存在点M，使
C.三棱锥的体积存在最大值和最小值
D.直线与平面所成角的余弦值的取值范围是
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点，则__________.
13．已知球O是底面半径为4、高为的圆锥的内切球，若球O内有一个内接正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，该正三棱柱的体积为__________.
14．定义“”表示不等式有个正整数解，若且，则m的最大值是___________.（参考数据：，，，）
四、解答题
15．设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）
16．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为菱形，平面底面ABCD，M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且，.
（1）若，求证：M为BC的中点；
（2）若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为，求的值.
17．据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈.为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会.参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘.假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司.已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约.每次是否通过测试、是否签约均互不影响.
（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
（2）设小王获得的年薪为X（单位：万元），求X的分布列及其数学期望.
18．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为，且直线经过点.
（ⅰ）求证：直线l过定点；
（ⅱ）若，求直线l的方程.
19．设满足以下两个条件的有穷数列，，…，为阶“曼德拉数列”：①；②.
（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.
（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用k，n表示）.
（3）记n阶“曼德拉数列”的前k项和为，若存在，使，试问：数列能否为n阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：，或，所以或.故选D.
2．答案：B
解析：由，得，所以，所以.故选B.
3．答案：B
解析：从2，3，4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径，有，，，，，，共6种情况，圆柱的体积，即，满足条件的有，，种情况，所以此圆柱的体积大于的概率.故选B.
4．答案：B
解析：由题知，，，解得，，，椭圆，令，得，.故选B.
5．答案：B
解析：由及，得，所以，即，于是有.因为，所以，所以外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故选B.
6．答案：B
解析：设事件A表示“选到的香菇全部来自甲菌种”，事件B表示“选到的香菇是在温度为的条件下培育出来的”，则，，故所求概率为.故选B.
7．答案：C
解析：由，得，所以为奇函数，则，所以，所以，，所以为增函数.由，得.又，所以，则，解得.故选C.
8．答案：B
解析：由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点，则，.分别过A，B，M向准线作垂线，垂足分别为，，，如图所示.
则，当直线AB过焦点时取等号，此时.设，，直线AB的斜率为k，由，两式相减，得，所以，即，得，所以，又，所以.故选B.
9．答案：AC
解析：若，则，解得，故A正确；若，则，解得，故B错误；若，则.又，所以向量a与向量b的夹角的余弦值为，故C正确；若，则.又，所以向量b在向量a上的投影向量为，故D错误.故选AC.
10．答案：ABD
解析：对于A，设点，由，得，化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，则，，当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误；
对于D，由，，有，当点M不在x轴上时，由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确.故选ABD.
11．答案：ABC
解析：取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示.
易知，，，易得平面平面，又平面，所以平面，故点M的轨迹为线段EF.
对于A，连接，交于点O，如图所示.
则，又，，所以平面，当M为线段EF中点时，，因为，所以，故A正确；
对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，，令，得，从而，，令，得，当时，显然不合题意；当时，由，解得，即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故B正确；
对于C，设点M到的距离为h，则三棱锥的体积，当M与E重合时，，得；当M与F重合时，，得，故C正确；
对于D，设直线与平面所成的角为，连接，如图所示.
由平面知，.在中，由，得，所以，所以.故D错误.故选ABC.
12．答案：
解析：由三角函数的定义，得，
.
13．答案：
解析：记球O内切于圆锥SD，AB为圆锥的底面直径，球O与SB，AB分别切于点E，D，过S，A，B的圆锥的轴截面如图所示，连接OE，则，.设球O的半径为r，易得，故，即，得.设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则，即，正三棱柱的侧面积，当且仅当，且，即，时取等号，故当该正三棱柱的侧面积最大时，该正三棱柱的体积.
14．答案：49
解析：令，，由题知关于x的不等式有且仅有3个正整数解，有且仅有3个正整数解.，令，得或；令，得，在和上单调递增，在上单调递减，且.在同一平面直角坐标系内画出函数，在区间内的大致图象，如图所示.，有且仅有3个正整数解，，即，解得，正整数m的最大值是49.
15．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
解析：（1）当时，，的定义域为，
，
令，即，解得，
令，即，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则.
令，其中，
则.
令，解得，令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为，
.
又，，函数在上有两个零点，
的取值范围是.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，O为AB的中点，所以，
又平面底面ABCD，平面平面，平面PAB，
所以平面ABCD，
因为平面ABCD，所以，
因为，，
所以平面POM，
因为平面POM，所以，
因为，所以，
所以M为BC的中点.
（2）连接OC，因为，，
所以为正三角形，所以.
分别以向量，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则，，，，
所以，，，.
设是平面PAC的一个法向量，
则，即，
取，得.
设，
则，即，
设是平面POM的一个法向量，
则，即，
取，得.
因为平面POM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为，
所以，
化为，解得，或（舍去），
所以.
17．答案：（1）
（2）X的分布列见解析，数学期望为
解析：（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，
记事件B：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，
则，
，
显然A与B互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率为.
（2）X的可能取值为0，10，12，18，
则，
，
，
，
则X的分布列如下表：
故.
18．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）圆的圆心坐标为，半径.
动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，
所以，
所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，，
所以，
所以曲线C的方程是.
（2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行），
与联立，得，
由题意知，，，即，
由韦达定理得，.
因为点A与关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示.
易知，
即，
化为，
即，化为，
当m变化时，该式恒成立，
所以，故直线l过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，.
由
，
化为，解得或（舍去），
故，
此时直线l的方程为.
19．答案：（1）或
（2）或
（3）数列不为n阶“曼德拉数列”，理由见解析
解析：（1）设等比数列，，，…，的公比为q.
若，则由①得，得，
由②得或.
若，由①得，，得，不可能.
综上所述，.
或.
（2）设等差数列，，，…，的公差为d，
，
，得，
即，，
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，，，
即，
由得，即，
.
当时，同理可得，
即.
由得，即，
.
（3）记，，…，中非负项和为A，负项和为B，
则，，
得，，，即.
若存在，使，
由前面的证明过程知：，，…，，，，…，，且.
若数列为n阶“曼德拉数列”，
记数列的前k项和为，则.
又，，
，.
又，
，，…，，
，
又与不能同时成立，
数列不为n阶“曼德拉数列”.
X
0
10
12
18
P