石嘴山市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份石嘴山市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，集合，则( )
A.B.C.D.
2．已知，集合，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3．若m，n是二次函数的两个零点，则的值是( )
A.3B.9C.21D.33
4．已知直线l和平面，且，l的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为( )
A.B.2C.D.
5．已知实数a，b满足，则下列不等式中正确的是( )
A.B.C.D.
6．下列说法中，正确的个数为( )
①样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量服从正态分布，若，则；
④随机变量X服从二项分布，若方差，则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
8．已知函数是定义在R上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的,，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是( )
①；
②；
③函数在上单调递增；
④不等式的解集为.
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．已知函数为R上的单调函数，则实数a的取值可以是( )
A.B.C.2D.
10．下列说法正确的是( )
A.函数且的图象恒过定点
B.若关于x的不等式的解集为或，则
C.函数的最小值为6
D.函数的单调增区间为
11．已知函数的定义域为R,若,,有,,,则( )
A.B.
C.为偶函数D.4为函数的一个周期
三、填空题
12．已知命题,是假命题，则实数a的取值范围是_________.
13．已知函数是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________.
14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_______________.
四、解答题
15．（1）已知二次函数满足，且，求的解析式；
（2）已知是R上的奇函数，当时，，求的解析式.
16．生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名）
（1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响；
（2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为X，求X的分布列和数学期望.
附，.
17．已知定义在R上的奇函数，.
（1）求m；
（2）判断并证明在定义域R上的单调性.
（3）若实数a满足，求a的取值范围.
18．设函数.
（1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围.
19．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中且份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次.假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为.
（1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
①若，求P关于k的函数关系式；
②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：，，，，.
参考答案
1．答案：D
解析：，或
或
故选:D.
2．答案：C
解析：若，则，或，所以，或.
当时，，不满足集合中元素的互异性，故；
当时，，
故由，可得；
反之，当时，显然也成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．答案：C
解析：由m,n是二次函数的两个零点,,所以m,n是的两个实数根,所以，,故.故选:C.
4．答案：C
解析：依题意，，即，
所以，
又，，所以，，所以，
当且仅当时，即，时，取到等号，
所以，故A，B，D错误.
故选:C.
5．答案：A
解析：，则,故A正确;
当，时,满足,但，，,故BCD错误.
故选:A.
6．答案：C
解析：样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，故①正确；
用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
随机变量服从正态分布，
若，
则
故③正确；
随机变量X服从二项分布，
方差，
则,解得或，
当时,
当时,
，故④错误，综上所述，正确的个数为3.
故选:C.
7．答案：D
解析：构造函数,则由题意可知当
时,,所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在R上的奇函数,所以是定义在R上的偶函数,
所以在区间上单调递增,
，
，
，
因为,所以，
即.
故选:D.
8．答案：C
解析：因为函数的图象关于点对称.
所以的图象关于点对称,即函数足奇函数.
因为.
所以的图象关于直线对称,
,
所以是以4为周期的周期函数.故①正确:
因为对任意的,,均有,
所以不妨设,则,
所以,即雨数在[0,1]上单调道增.
,故②正确;
因为函数足R上的奇函数.所以函数在上单调递增.
在上单调递瑊,上单调递增,故③错误;
由.所以,,
因为函数是以4为周期的周期函数.所以不等式的解集为,故④正确.故选:C.
9．答案：AB
解析：根据题意，当时，
,易得在上递增,
若函数是R上的单调函数,
则当时,,一定在上递增,必有,
同时,有,
解可得,即a的取值范围为.故选:A.
10．答案：ABD
解析：选型A，函数且的图像恒过定点为，,故A正确：
选项B,不等式的解集为或,故必有,解得,进而得到,故B正确;
选项C,,当且仅当,方程无解,故等号不可成立,故C错误；
选项D,函数是复合函数,由和,以及,三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数v的单调递減区间，且要求，而函数v的单调递减区间为,又因为,故,解得,得,综上,函数的单调增区间为,故D正确
故选ABD
11．答案：ACD
解析：根据题意,,
取,得,因为,所以,A正确;
取,得,所以,B错误;
取,得,即,
所以为偶函数,C正确;
取,得,所以,
即4为函数的一个周期,D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：因为命题"，"是假命题，
所以其否定"任意，"是真命题,
即在R上恒成立，
当时，不等式化为恒成立，
当时，若在R上恒成立，则,解得,
综上所述,实数a的取值范围为,故答案为:.
13．答案：
解析：由函数是偶函数得函数的定义域关于原点对称,所以,所以,由得函数的定义域为,所以函数的单调递增区间为.
14．答案：
解析：由题意得,所以为偶函数,因为,当时,,所以,所以在上单调递增,所以不等式等价于,即,从而解得
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设二次函数，代入和，
得，化简得，
，，，；
（2）设，则，，
又函数为奇函数，，，
当时，由，.
故.
16．答案：（1）认为学生的性别对选科分类有影响；
（2）分布列见解析；
解析：（1）零假设为：学生的性别对选科分类没有影响.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为学生的性别对选科分类有影响.
（2）设A表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史.
由题意，，，且，，
.
则，所以，
，，
，，
X的分布列如下表所示：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，函数是定义在R上的奇函数，可得，解得，
当时，，
，是奇函数，
故.
（2）是R上的单调递减函数，证明如下：
任取、且，
则，
因，故，从而有，
即，所以函数在R上单调递减；
由，故，即，
由在R上单调递减，可得，
即，解得或，
即实数a的取值范围.
18．答案：（1）6，单调递增区间，单调递减区间；
（2）答案见解析；
（3）
解析：（1），
，解得，
此时，
令，有或，令，有，
所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
当即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，时，在上单调递增，无递减区间，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
19．答案：（1）；
（2）①且，②答案见解析
解析：（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A，
事件A分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体，
所以，
所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为；
（2）①由已知得，的所有可能取值为1，，
所以，，
所以，
若，则，
所以，，所以，得，
所以P关于k的函数关系式（且）；
②由①知，，
若，则，所以，得，
所以且
令，则，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
，
所以不等式的解是且，
所以且时，，采用方案二混合检验方式好，
且时，，采用方案一逐份检验方式好，
男生
女生
合计
历史类
15
25
40
物理类
35
25
60
合计
50
50
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
4
P