八年级数学下册试题 第9章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷-苏科版（含答案）

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第9章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷一、单选题(共10题，每题3分，共30分)1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，4），那么下列说法正确的是（　　）A．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称B．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称C．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称D．点A与点E（3，4）关于第二象限的平分线对称2．如图所示，等边三角形沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：（1）（2）与互相平分（3）四边形是菱形（4），其中正确的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（    ）A． B． C． D．4．如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（　　）A．30° B．36° C．37.5° D．45°5．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）A． B．若，则C． D．6．□中，的角平分线交线段于点，，点是中点，连接，过点作，垂足为，设，若□的面积为8，的长为整数，则整数的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．1或37．如图，在菱形ABCD中，，，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（    ）A． B． C． D．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ）A．4 B．5 C．10 D．59．如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（    ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题(共8题，每题4分，共32分)11．关于点O成中心对称的两个四边形ABCD和DEFG，AD、BE、CF、DG都过______12．如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于_______．13．四边形ABCD为平行四边形，己知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．14．如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．15．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．16．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．17．如图，在正方形中，动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点，由于点，的移动，使得点也随之运动，若，线段的最小值是__________．18．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为_______．三、解答题（58分）19．（8分）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.（1）求证：△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．20．（10分）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点.（1）若，，求的面积；（2）若，求证：.21．（10分）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．求证：；说明；求的面积．22．（10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求的值．23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．(1) 填空：线段的长为___________；(2) 折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．①求线段的长___________．②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为．（1）如图（1），当时，求的坐标；（2）如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点．①此时与是否相等，说明理由；②求点的坐标；（3）求面积的最大值．（直接写出答案即可）答案一、单选题1．C【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反；关于第二象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置且变为相反数可得答案．解：A、点A的坐标为（-3，4），则点A与点C（3，﹣4）关于原点对称，故此选项错误；B. 点A与点B（﹣3，﹣4）关于x轴对称，故此选项错误；C. 点A与点F（3，﹣4）关于原点对称，故此选项正确；D. 点A与点E（-4，3）关于第二象限的平分线对称，故此选项错误.故选C．2．D【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；再结合①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE=∠COD=90°，进而判断④正确.解：如图：∵△ABC，△DCE是等边三角形∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD∴∠ACD=180°-∠ACB -∠DCE=60°∴△ACD是等边三角形∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE故四边形ACED是菱形，即③ 正确∵四边形ABCD是平行四边形，BA=BC∴.四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC//DE∴∠BDE=∠COD=90°∴BD⊥DE，故④正确综上可得①②③④正确，共4个.故选D3．B【分析】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度．解：∵，∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则．∵，，∴．设，∵，∴．则，．在中，根据勾股定理知，，即，解得．∴．故选：B．4．C【分析】根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．解：∵矩形ABCD∴ ∴ ∵OB＝EB，∴ ∴ ∵点O为对角线BD的中点，∴ 和中 ∴∴ ∵EG⊥FG，即 ∴ ∴ ∴ 故选：C．5．B【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可．解：由作法得MN垂直平分CD，∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD，∴AB=BC=AC，∴∆ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意；当AB=3，则CE=DE=，∵∠D=60°，∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120°∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90°在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意；∵菱形ABCD∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意；∵ABCD，AB=2DE，∴，所以D选项的结论正确，不符合题意．故选：B．6．C【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到和的关系，然后根据□的面积为8，的长为整数，从而可以得到整数的值．解：如图所示，延长交于点，∵四边形是平行四边形，，∴，，∴，∵点是中点，∴，在和中，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵□的面积为8，的长为整数，∴，即：，∴整数为0或1或3．当时，，不符合题意，舍去；当时，，，则此时平行四边形的面积不可能是8，故舍去；∴．故选：C．7．A【分析】依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．解：∵HF⊥BC,EG⊥AB,∴∠BEO=∠BFO=90°，∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，因为O点是菱形ABCD的对称中心，∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，所以四边形EFGH是矩形；设OE=OF=OG=OH=x，∴EG=HF=2x，，如图，连接AC，则AC经过点O，可得三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AC=AB=2,∴OA=1,∠AOE=30°，∴AE=，∴x=OE=∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=,故选A．8．D【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．根据线段BP的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，CQ取得最小值为CM．根据∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定CM是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度．解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，∴点Q在线段上运动．∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM．∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20，∴BC=10．∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，∴=BC=10，．∴．∴．∴点C是线段中点．∵点M是线段的中点，∴CM是的中位线．∴．故选：D．9．A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD -DE=，故选：A．10．D【分析】根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， ∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根据全等三角形的性质得到 ∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到 CE⊥ DF，故②正确；延长CE交DA的延长线 于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到， 求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到 ∠AGE＝∠CDF，故③正确．解：四边形是正方形，，，，分别是，的中点，，，，在与中，，，，，故①正确；，，，，故②正确；∴∠EGD=900，如图，延长交的延长线于，∵AD//BC，∴∠AHE=∠BCE，点是的中点，，，，，，，是斜边的中线，，，，，．故③正确；故选：D．二、填空题11．点O解：对应点的连线经过对称中心.故答案：点O.12．2【分析】连接AE，证明四边形AECB是平行四边形得，由勾股定理得AD=5，从而有 AD=DE=5，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DEA，再利用平行线的性质可得∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DCO，从而可得∠DOC=∠DCO，进而可得DO=DC=3，最后进行计算即可解答．解：如下图：连接AE，∵，AB=EC=2，∴四边形AECB是平行四边形，∴，∵ AD=， DE=5，∴AD=DE=5，∴∠DAE=∠DEA，∵，∴∠DAE=∠DOC，∠DEA=∠DC0， ∴∠DOC=∠DCO，∴DO=DC=3，∴AO=AD-DO=5-3=2，故答案为∶2．13．≤x≤3－2【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．解：如图1，当在AD上，此时，，，∴， ∵ADBC，∴四边形为平行四边形，∴；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，∴∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，∴CE＝3－2；综上：x的取值范围为：≤x≤3－2． 14．9.6【分析】设交于点，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解．解：设交于点，过点作于点，如图所示，在四边形中，，，∵，∴，∵，∴,在中，，∵，∴，当点与点，重合时，最小，∴的最小值为．故答案为：．15．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°，故答案为：24．16．【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得，∴，解得GN=±7（负值舍去），∴GN=7，设MF=BH=x,则GH=GN -BN -BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM+FM=6+=．∴AF长度为．故答案为：．17．【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则=1为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解．解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，，在和中,AD=CD∠ADE=∠DCFDE=CF，，，，，取中点O，连接，如下图，则，根据两点之间线段最短，得C、P、O三点共线时线段的值最小，在中，根据勾股定理得，，．故答案为：．18．【分析】以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，设正方形ABCD的边长为2，从而求出E的坐标，然后根据待定系数法求出直线CE的解析式，即可求出G的坐标，从而可求出GE，根据旋转的性质可求出F的坐标，进而求出H的坐标，则可求OH，最后代入计算即可得出答案．解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OE中点，∴E（，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为，在中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．三、解答题 19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，∵BC=BF，CD=DE，∴BF=AD，AB=DE，∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，∴∠ADE=∠ABF，在△ABF与△EDA中，∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD∴△ABF≌△EDA．（2）证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD=∠AFB，∵∠EAD+∠FAH=90°，∴∠FAH+∠AFB=90°，∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC．20．解：（1） ， ，又在中，，；（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N， =90°，=45°， =45°，，，=90°，，=180°，=180°，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.21．解：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵沿对折至，∴，∴，∴，∵，∴（HL）；（2）证明：∵，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．22．（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，∵∠ABD=∠ABC -∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°-α；（2）△ABE为等边三角形．证明：如图，连接AD，CD，ED，∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°．又∵∠ABE=60°，∴且△BCD为等边三角形．在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴．∵∠BCE=150°，∴．∴．在△ABD和△EBC中，∵，，BC=BD，∴△ABD≌△EBC（AAS）．∴AB=BE．∴△ABE为等边三角形．（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴．又∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DC=CE=BC．∵∠BCE=150°，∴．而．∴．23．解：（1）当时，，∴点C的坐标为；当时，，解得：，∴点A的坐标为．由已知可得：四边形为矩形，∴．故答案为： ．（2）①设，则．在中，，即，解得：，∴线段的长为5．②存在，设点P的坐标为．∵点A的坐标为，点D的坐标为，∴ ．当时，，解得：，∴点P的坐标为或；当AP＝DP时，解得：，∴点P的坐标为．综上所述：在y轴上存在点P，使得为以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．24．解：（1）如图①中，过点作于点．四边形是矩形，，，，在中，，，，，，∴；（2）①结论：．理由：，，，，，，；②，，，设，在中，，，，，．（3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大．的面积的最大值．