专题02 复数（4大考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。
试题精讲
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（ ）
A．B．C．D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
三、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
求解复数集上的方程的方法：
①设化归为实数方程来解决．
②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当时，方程的两个实根满足韦达定理
，。
（2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则
，
。
综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系
，
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（ ）
A．B．3C．5D．9
2．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河南·三模）已知关于的方程的一个根为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·四川遂宁·三模）若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（ ）
A．B．1C．3D．
12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
二、多选题
13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
14．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．对任意，点均在第一象限D．存在，使得点在第二象限
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
三、填空题
17．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ．
18．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
19．（2024·河南南阳·三模）若，则
20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ．
命题解读
考向
考查统计
高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低.
共轭复数、复数的除法运算
2022·新高考Ⅰ卷，2
2023·新高考Ⅰ卷，2
2024新高考Ⅰ卷，2
复数的乘法运算
2022·新高考Ⅱ卷，2
复数的几何意义
2023新高考Ⅱ卷，1
复数的模
2024·新高考Ⅱ卷，1