2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习76离散型随机变量的分布列均值与方差（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习76离散型随机变量的分布列均值与方差（Word版附解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．甲乙两人进行7局4胜制比赛，则最终甲获胜时两人比赛的局数记为X，则X＝5表示的含义为( )
A．共进行了5局比赛，甲赢了前四局
B．共进行了5局比赛，其中甲赢了第五局，且前四局甲赢了其中3局
C．共进行了5局比赛，甲赢了其中4局
D．共进行了7局比赛，甲赢了其中4局
2．[2024·吉林长春模拟]设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(eq \f(1,2))i，i＝1，2，3，则a的值为( )
A．eq \f(8,7)B．eq \f(7,8)
C．eq \f(7,16)D．eq \f(16,7)
3．已知随机变量X的分布列如下表，则P(|X－1|＝1)＝( )
A.eq \f(1,8)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(3,8)D．eq \f(1,2)
4．随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝3a，则E(X)＝( )
A.eq \f(4,3)B．eq \f(5,3)
C．eq \f(7,3)D．1
5．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为p1＝0.9，p2＝0.75，p3＝0.3，p4＝0.2，用“ξi＝1”表示员工支持第i种方案，用“ξi＝0”表示员工不支持第i种方案(i＝1，2，3，4)，那么方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)的大小关系为( )
A．D(ξ1)B．D(ξ4)C．D(ξ2)D．D(ξ1)二、多项选择题
6．[2024·江苏南京模拟]若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝eq \f(4,9)
7．(素养提升)[2023·江苏盐城中学三模]已知a，b，c∈(0，1)，随机变量ξ的分布列为：
则( )
A．E(ξ－2)＝E(ξ)
B．D(ξ－2)＝D(ξ)
C．E(ξ2)≥[E(ξ)]2
D．D[(ξ－2)2]＝D(ξ2)
三、填空题
8．[2024·江西南昌模拟]已知随机变量X的分布列为
则随机变量X2的数学期望E(X2)＝________．
9．设随机变量X的分布列如下：其中a、b、c成等差数列，若E(X)＝eq \f(1,3)，则方差D(X)＝________.
四、解答题
10．[2024·九省联考]盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
优生选做题
11．(素养提升)[2024·湖北咸宁模拟]设0则当a在(0，1)内减小时，( )
A．D(X)减小
B．D(X)增大
C．D(X)先减小后增大
D．D(X)先增大后减小
12．[2024·广东汕头模拟]已知等差数列{an}的公差为d，随机变量X满足P(X＝i)＝ai(0课后定时检测案76 离散型随机变量的分布列、均值与方差
1．解析：7局4胜制比赛就是谁先打赢四局谁就获胜．由于甲获胜时两人比赛的局数记为X且X＝5，说明一共比赛五局，甲获胜说明甲赢得了其中的四局且第五局必赢，这样就是前四局中甲输了一局，即前四局甲赢了其中3局，所以选项B正确．故选B.
答案：B
2．解析：由题意a(eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8))＝1，a＝eq \f(8,7).故选A.
答案：A
3．解析：依题意，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).故选D.
答案：D
4．解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,c＝3a，,a＋b＋c＝1，))得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,2)，则E(X)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,2)＝eq \f(7,3).故选C.
答案：C
5．解析：由题意可知：用“ξi＝1”表示员工支持第i种方案，用“ξi＝0”表示员工不支持第i种方案(i＝1，2，3，4)，
所以随机变量ξi(i＝1，2，3，4)服从两点分布，
则D(ξ1)＝p1(1－p1)＝0.9×0.1＝0.09，
D(ξ2)＝p2(1－p2)＝0.75×0.25＝0.1875，
D(ξ3)＝p3(1－p3)＝0.3×0.7＝0.21，
D(ξ4)＝p4(1－p4)＝0.2×0.8＝0.16，
所以D(ξ1)答案：D
6．解析：由题意可知，P(X＝1)＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，D(X)＝(0－eq \f(2,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(2,3))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，D(3X＋2)＝9D(X)＝2，故选AB.
答案：AB
7．答案：BC
8．解析：因为随机变量X的分布列为
所以随机变量X2的数学期望E(X2)＝(－1)2×0.2＋02×0.4＋12×0.4＝0.6.
答案：0.6
9．解析：∵a、b、c成等差数列，E(X)＝eq \f(1,3)，由变量X的分布列，
知：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝1,2b＝a＋c,－a＋c＝\f(1,3)))，解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,2)，
∴D(X)＝(－1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9).
答案：eq \f(5,9)
10．解析：(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，
先确定3个不同数字的小球，有C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) 种方法，
然后每种小球各取1个，有C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2)) ×C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2)) ×C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2)) 种取法，
所以P(M)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) )＝eq \f(4,7).
(2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3，
当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，
所以P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) )＝eq \f(9,14)；
当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，
所以P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) )＝eq \f(2,7)；
当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，
所以P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) )＝eq \f(1,14)，
所以X的分布列为：
所以E(X)＝1×eq \f(9,14)＋2×eq \f(2,7)＋3×eq \f(1,14)＝eq \f(10,7).
11．解析：根据题意可得，E(X)＝eq \f(0＋a＋1,3)＝eq \f(a＋1,3)，
D(X)＝(0－eq \f(a＋1,3))2·eq \f(1,3)＋(a－eq \f(a＋1,3))2·eq \f(1,3)＋(1－eq \f(a＋1,3))2·eq \f(1,3)＝eq \f(6a2－6a＋6,27)＝eq \f(6（a－\f(1,2)）2＋\f(9,2),27)，所以D(X)在(0，eq \f(1,2))上单调递减，在(eq \f(1,2)，1)上单调递增，所以D(X)先减小后增大．故选C.
答案：C
12．解析：由题意可知eq \i\su(i＝1,4,P)(X＝i)＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝1，可得a1＝eq \f(1－6d,4)，
由0可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0<\f(1－6d,4)<1，,0<\f(1－6d,4)＋d<1，,0<\f(1－6d,4)＋2d<1，,0<\f(1－6d,4)＋3d<1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)综合可得，d的取值范围为－eq \f(1,6)答案：(－eq \f(1,6)，eq \f(1,6))X
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
X
1
2
3
P
a
b
c
ξ
1
2
3
P
a
b
c
X
－1
0
1
P
0.2
0.4
0.4
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
a
1
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
X
－1
0
1
P
0.2
0.4
0.4
X
1
2
3
P
eq \f(9,14)
eq \f(2,7)
eq \f(1,14)