2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习57两直线的位置关系（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习57两直线的位置关系（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．过点A(1，2)和点B(－1，2)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．重合D．以上都不对
2．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为( )
A．－5或－15B．－5或15
C．5或－15D．5或15
3．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A为直角顶点的直角三角形
D．以B为直角顶点的直角三角形
4．[2024·江西师大附中模拟]若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若直线l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程－2k2－4k＝b的两根，若l1⊥l2，则b＝( )
A．2B．－2
C．0D．－4
6．与l：x－y＋1＝0距离为eq \f(\r(2),2)的直线方程为( )
A．x－y＋1＋eq \f(\r(2),2)＝0或x－y＋1－eq \f(\r(2),2)＝0
B．x－y＋2＝0或x－y＝0
C．x－y＋2＝0或x－y＋1－eq \f(\r(2),2)＝0
D．x－y＋1＋eq \f(\r(2),2)＝0或x－y＝0
7．若直线l：y＝kx－eq \r(3)与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)) B．(eq \f(π,6)，eq \f(π,2))
C．(eq \f(π,3)，eq \f(π,2)) D．[eq \f(π,3)，eq \f(π,2))
8．一条光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A．x－y＋1＝0B．x＋y－5＝0
C．x－y－2＝0D．x＋y－2＝0
9．(素养提升)已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x＋3y＋2＝0和2x＋3y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为6x－4y＋c1＝0和6x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．4B．eq \f(4\r(13),13)
C．2D．eq \f(2\r(13),13)
10．(素养提升)已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两平行线距离最大时，λ＋k＝( )
A．3B．4
C．5D．6
二、多项选择题
11．若三条不同的直线l1：mx＋2y－6＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：3x＋y－5＝0不能围成一个三角形，则m的取值可能为( )
A．8B．6
C．4D．2
12．已知直线l1：(m＋2)x＋y＋1＝0，l2：3x＋my＋4m－3＝0，下列命题中不正确的是( )
A．当m＝－3时，l1与l2重合
B．若l1∥l2，则m＝1
C．若l1∥l2，则两直线间的距离为2eq \r(2)
D．原点到直线l2的最短距离为eq \r(17)
三、填空题
13．直线y＝3x－4关于x轴对称的直线方程为________________．
14．[2024·重庆九龙坡模拟]经过直线x＋2y－6＝0和x－2y＋2＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________．
四、解答题
15．在△ABC中，A(3，4)，B(－1，3)，C(5，0).
(1)求BC边的高线所在的直线的方程；
(2)已知直线l过点A，且B、C到l的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
优生选做题
16．[2024·河北唐山模拟]著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝eq \r(x2＋4x＋8)＋eq \r(x2－4x＋8)的最小值为( )
A．4eq \r(2)B．2eq \r(2)
C．eq \r(2)＋eq \r(10)D．3＋eq \r(5)
17．已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－eq \f(1,2)x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点．
(1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的方程；
(2)已知点Q(－1，－eq \r(2))，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围．
课后定时检测案57 两直线的位置关系
1．解析：过点A(1，2)和点B(－1，2)的直线方程为y＝2，斜率为0，又因为直线y＝3斜率为0，所以两直线平行．故选B.
答案：B
2．解析：因为点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，所以eq \f(|3×（－2）－4×1＋m|,\r(32＋（－4）2))＝1，解得m＝15或5.故选D.
答案：D
3．解析：直线AB的斜率kAB＝eq \f(1－（－1）,1－5)＝－eq \f(1,2)，直线BC的斜率kBC＝eq \f(3－1,2－1)＝2，由kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．故选D.
答案：D
4．解析：若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，
则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，
当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，
此时l1，l2重合，不符合题意；
综上所述：“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．故选C.
答案：C
5．解析：l1⊥l2⇒k1k2＝－1，方程－2k2－4k＝b为2k2＋4k＋b＝0，所以k1k2＝eq \f(b,2)＝－1，b＝－2，此时Δ＝16－8b>0满足题意．故选B.
答案：B
6．解析：依题意设所求直线方程为x－y＋m＝0，则两平行直线间的距离d＝eq \f(|m－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(\r(2),2)，解得m＝0或m＝2，所以所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y＝0.故选B.
答案：B
7．解析：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－\r(3),2x＋3y－6＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋3\r(3),2＋3k)，,y＝\f(6k－2\r(3),2＋3k)，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(6＋3\r(3),2＋3k)>0，,\f(6k－2\r(3),2＋3k)>0，))解得k>eq \f(\r(3),3)，所以直线l的倾斜角的范围为(eq \f(π,6)，eq \f(π,2)).故选B.
答案：B
8．解析：P(6，4)关于x轴的对称点P′(6，－4)，光线从P(6，4)射出与x轴相交于点Q(2，0)，则反射光线经过点P′，Q，由两点式方程可知，所求直线方程为eq \f(y－0,－4－0)＝eq \f(x－2,6－2)，化简得x＋y－2＝0.故选D.
答案：D
9．解析：直线2x＋3y＋2＝0与直线2x＋3y＋4＝0之间的距离d1＝eq \f(|2－4|,\r(22＋32))＝eq \f(2\r(13),13)，直线6x－4y＋c1＝0与直线6x－4y＋c2＝0之间的距离d2＝eq \f(|c1－c2|,\r(62＋42))＝eq \f(\r(13),26)|c1－c2|，又由正方形可知d1＝d2，即eq \f(2\r(13),13)＝eq \f(\r(13),26)|c1－c2|，解得|c1－c2|＝4.故选A.
答案：A
10．解析：l1：λ(x－y＋2)＋2x＋y－5＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))故l1过定点A(1，3).
l2：k(x－2y＋1)＋x＋y－5＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,x＋y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))故l2过定点B(3，2)，
故l1，l2距离的最大值为|AB|＝eq \r(5).
此时，－eq \f(λ＋2,1－λ)＝－eq \f(1,kAB)＝2，则λ＝4，－eq \f(k＋1,1－2k)＝2，
解得k＝1，故λ＋k＝5.故选C.
答案：C
11．解析：若l1∥l2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,－m＋6≠0，))解得m＝2.
若l1∥l3，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－6＝0，,－5m＋18≠0，))解得m＝6.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,3x＋y－5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))
即l2与l3的交点坐标为(2，－1)，
若l1过点(2，－1)，则2m－8＝0，解得m＝4.故选BCD.
答案：BCD
12．解析：若l1∥l2，则m(m＋2)－3＝0，解得m＝1或m＝－3，检验可得，当m＝1时，两直线重合；当m＝－3时，l1∥l2，故A错误，故B错误；若l1∥l2，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－5＝0，所以两平行直线间的距离d＝eq \f(|－1＋5|,\r(12＋12))＝2eq \r(2)，故C正确；因为直线l2过定点(1，－4)，所以原点到直线l2的最长距离为eq \r(12＋（－4）2)＝eq \r(17)，当m＝eq \f(3,4)时直线l2过原点时，即原点到直线l2的最短距离为0，故D错误．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：设直线l与直线y＝3x－4关于x轴对称，所以kl＝－3，在y＝3x－4中，令y＝0，则x＝eq \f(4,3)，所以直线y＝3x－4与x轴的交点为(eq \f(4,3)，0)，即直线l与x轴的交点为(eq \f(4,3)，0)，所以直线l的方程为y＝－3(x－eq \f(4,3))，整理得3x＋y－4＝0.
答案：3x＋y－4＝0
14．解析：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y－6＝0，,x－2y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
即直线x＋2y－6＝0和x－2y＋2＝0的交点坐标为(2，2)，
当直线过原点时，方程为y＝x，
当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则有eq \f(2,a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝4，
故直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，即x＋y＝4，
综上所述，所求直线方程为y＝x或x＋y＝4.
答案：y＝x或x＋y＝4
15．解析：(1)设BC边的高线所在的直线为m，
所以由km·kBC＝－1⇒km·eq \f(3－0,－1－5)＝－1⇒km＝2，
所以直线m的方程为y－4＝2(x－3)⇒2x－y－2＝0.
(2)当直线l不存在斜率时，直线l的方程为x＝3，
显然B、C到l的距离之比为2∶1，不符合题意；
当直线l存在斜率时，设为k，方程为y－4＝k(x－3)⇒kx－y＋4－3k＝0，
因为B，C到l的距离之比为1∶2，
所以eq \f(|－k－3＋4－3k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(1,2)·eq \f(|5k＋4－3k|,\r(k2＋（－1）2))⇒k＝1，或k＝－eq \f(1,5)，
方程为x－y＋1＝0，或x＋5y－23＝0，
综上所述直线l的方程为x－y＋1＝0，或x＋5y－23＝0.
16．解析：∵y＝f(x)＝eq \r(x2＋4x＋8)＋eq \r(x2－4x＋8)＝eq \r(（x＋2）2＋（0＋2）2)＋eq \r(（x－2）2＋（0－2）2)，
则f(x)可看作x轴上一点P(x，0)到点A(－2，－2)与点B(2，2)的距离之和，即|PA|＋|PB|，则可知当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，即(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝eq \r(（－2－2）2＋（－2－2）2)＝4eq \r(2).故选A.
答案：A
17．解析：(1)由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－eq \f(3,2)，
所以直线l2的方程为y＝－eq \f(3,2)x.
(2)由题意得，k1·k2＝－2，(k1，k2≠0)，
设l1：y＋eq \r(2)＝k1(x＋1)，l2：y＋eq \r(2)＝k2(x＋1)，
点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，
则d1·d2＝eq \f(|k1－\r(2)|,\r(k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋1))·eq \f(|k2－\r(2)|,\r(k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋1))＝eq \r(2)·eq \r(1－\f(9,5＋k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋\f(4,k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )))，
因为k eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋eq \f(4,k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )≥4，当k1＝±eq \r(2)时等号成立，
所以－eq \f(9,5＋k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋\f(4,k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ))∈[－1，0)，eq \r(2)·eq \r(1－\f(9,5＋k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋\f(4,k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )))∈[0，eq \r(2))，
所以点O到l1，l2的距离之积的范围为[0，eq \r(2)).