2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习53空间向量及其应用（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习53空间向量及其应用（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，c＝(1，3，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝( )
A．3 B．－3C．4 D．－4
2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝( )
A．0 B．1C．eq \f(3,2) D．3
3．空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)cB．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
C．－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)cD．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
4．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有eq \(OP,\s\up6(→))＝6eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
5．已知正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．(－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)) B．(－eq \f(3,2)，eq \f(1,2))
C．(－eq \f(1,2)，1) D．(0，eq \f(3,2))
6．[2024·河南焦作模拟]在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(x,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(x,4)eq \(OC,\s\up6(→))，则使G与M、N共线的x的值为( )
A．1 B．2C．eq \f(2,3) D．eq \f(4,3)
7.
如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一点，且eq \(DG,\s\up6(→))＝ (0≤λ≤1)，若A1C⊥平面EFG，则λ＝( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)C．eq \f(\r(2),4) D．eq \f(1,2)
8.
(素养提升)[2024·河南开封模拟]在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为eq \r(3)，P为底面圆周上一点，异面直线AD与OP(O为底面圆心)所成的角为eq \f(π,3)，则CP2的大小为( )
A．7－2eq \r(3)B．7－2eq \r(3)或7＋2eq \r(3)
C．19－4eq \r(3)D．19－4eq \r(3)或19＋4eq \r(3)
二、多项选择题
9.
[2024·湖北十堰模拟]《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则( )
10．下面给出四个直三棱柱，底面ABC中，AB＝AC＝eq \r(2)，∠BAC＝90°，侧棱长为2，点D，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AD⊥EF的图形是( )
三、填空题
11．[2024·江西赣州模拟]已知空间向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a与b垂直，则x等于________．
12．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq \(DA,\s\up6(→))＝a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b，＝c，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AE＝CF，则eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示).
13．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝BD＝AA1＝1，AD⊥BD，∠A1AB＝45°，∠A1AD＝60°，则线段BD1的长为________．
四、解答题
14．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点．求证：
(1)AC⊥BC1；
(2)AC1∥平面CDB1.
优生选做题
15．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值
C．当λ＝eq \f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝eq \f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
16．[2024·山西吕梁模拟]如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱DD1上的一点，且D1E＝2DE.
(1)若点F满足eq \(BF,\s\up6(→))＝2，求证：CF∥平面A1EC1；
(2)底面ABCD内是否存在一点P，使得PD1⊥平面A1C1E？若存在，求出线段DP的长度；若不存在，请说明理由．
课后定时检测案53 空间向量及其应用
1．解析：因为a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，所以a，b不共线，又因为a，b，c三向量共面，则存在实数m，n使c＝ma＋nb，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,－m＝3，,n＝x，))解得n＝－4，m＝－3，x＝－4.故选D.
答案：D
2．解析：因为直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，2－a，b－3)，又直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥m，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λm，所以(－1，2－a，b－3)＝(2λ，－λ，3λ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＝－1,－λ＝2－a,3λ＝b－3))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,a＝\f(3,2)，,b＝\f(3,2)，))所以a＋b＝3.故选D.
答案：D
3.
解析：由题知，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，如图，
所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，故选D.
答案：D
4．解析：∵eq \(OP,\s\up6(→))＝6eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→)))＋(3eq \(OA,\s\up6(→))－3eq \(OC,\s\up6(→)))，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(BA,\s\up6(→))＋3eq \(CA,\s\up6(→))＝－2eq \(AB,\s\up6(→))－3eq \(AC,\s\up6(→))，∴A，P，B，C四点共面，故选B.
答案：B
5．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，
由正六边形的性质可得，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)，0)，C(eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)，0)，
设P(x，y，z)，其中－eq \f(1,2)所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y，z)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝x，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的取值范围为(－eq \f(1,2)，eq \f(3,2)).故选A.
答案：A
6.
解析：eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))，
假设G，M，N三点共线，则存在实数λ使得eq \(OG,\s\up6(→))＝λeq \(ON,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \f(λ,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＋eq \f(2（1－λ）,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(2（1－λ）,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(x,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(x,4)eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2（1－λ）,3)＝\f(1,3)，,\f(λ,2)＝\f(x,4)，,\f(λ,2)＝\f(x,4)，))解得x＝1，λ＝eq \f(1,2).故选A.
答案：A
7．解析：以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，E(1，2，2)，F(2，2，1)，
所以eq \(A1C,\s\up6(→))＝(－2，2，－2)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，0，－1)，
由eq \(DG,\s\up6(→))＝λeq \(DA1,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，可得G(2λ，0，2λ)，
所以eq \(EG,\s\up6(→))＝(2λ－1，－2，2λ－2)，eq \(FG,\s\up6(→))＝(2λ－2，－2，2λ－1)，
A1C⊥平面EFG，
所以eq \(A1C,\s\up6(→))⊥eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(A1C,\s\up6(→))⊥eq \(FG,\s\up6(→))，
所以eq \(A1C,\s\up6(→))·eq \(EG,\s\up6(→))＝0，eq \(A1C,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝0，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2（2λ－1）＋2×（－2）＋（－2）×（2λ－2）＝0，,－2（2λ－2）＋2×（－2）＋（－2）×（2λ－1）＝0，))解得λ＝eq \f(1,4)，
当G为线段A1D上靠近D的四等分点时，A1C⊥平面EFG.
故选A.
答案：A
8．解析：以O为原点，eq \(OB,\s\up6(→))为y轴，过点O作x轴⊥OB，圆台的轴为z轴，
建立如图所示坐标系：
作DE⊥AB，DE交AB于点E，|AE|＝eq \f(1,2)|AB|－eq \f(1,2)|CD|＝1，
Rt△ADE中，|DE|＝eq \r(AD2－AE2)＝eq \r(2)，则D(0，－1，eq \r(2))，A(0，－2，0)，C(0，1，eq \r(2))，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，1，eq \r(2))
P(2csθ，2sinθ，0)，0≤θ<2π，eq \(OP,\s\up6(→))＝(2csθ，2sinθ，0)，
由于异面直线AD与OP(O为底面圆心)所成的角为eq \f(π,3)，
cseq \f(π,3)＝eq \f(|\(OP,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\(OP,\s\up6(→)))||\a\vs4\al(\(AD,\s\up6(→)))|)＝eq \f(|2sinθ|,2×\r(3))＝eq \f(|sinθ|,\r(3))＝eq \f(1,2)，
∴sinθ＝±eq \f(\r(3),2)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(2csθ，2sinθ－1，－eq \r(2))，
CP2＝4cs2θ＋4sin2θ－4sinθ＋1＋2＝7－4sinθ＝7±2eq \r(3).
故选B.
答案：B
9.
解析：因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \(B1D,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(B1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(A1C1,\s\up6(→))－eq \(A1B1,\s\up6(→)))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，故A不正确，B正确．
如图所示，过D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq \(AV,\s\up6(→))，向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq \(AW,\s\up6(→))，
由题意易得eq \f(AV,AB)＝eq \f(1,3)，eq \f(AW,AC)＝eq \f(2,3)，故eq \(AV,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，C不正确．eq \(AW,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，D正确．故选BD.
答案：BD
10.
解析：因为直三棱柱侧棱垂直于底面ABC，且∠BAC＝90°，
所以以A为坐标原点建立如图所示坐标系，
选项A：A(0，0，0)，D(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，0)，E(0，eq \r(2)，1)，F(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，2)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，0)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2)，1)，因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(\r(2),2))＋0×1＝0，所以AD⊥EF，A正确；
选项B：A(0，0，0)，D(0，eq \r(2)，1)，E(eq \r(2)，0，1)，F(0，eq \f(\r(2),2)，2)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，eq \f(\r(2),2)，1)，因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0×(－eq \r(2))＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋1×1＝2≠0，所以AD，EF不相互垂直，B错误；
选项C：A(0，0，0)，D(eq \r(2)，0，1)，E(0，eq \r(2)，1)，F(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，0)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，0，1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \f(\r(2),2)，－eq \f(\r(2),2)，－1)，
因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋0×(－eq \f(\r(2),2))＋1×(－1)＝0，所以AD⊥EF，C正确；
选项D：A(0，0，0)，D(0，eq \r(2)，1)，E(eq \f(\r(2),2)，0，0)，F(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，2)，
则eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(0，eq \f(\r(2),2)，2)，因为eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝0×0＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋2×1＝3≠0，所以AD，EF不相互垂直，D错误．故选AC.
答案：AC
11．解析：因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a与b垂直，所以a·b＝－3＋2x－5＝0，解得x＝4.
答案：4
12．解析：如图所示：
由题意不妨设Q，R，E，F分别为AA1，CC1，QA，RC的中点，容易证明四边形PEBF是平行四边形，
即平面PEBF为符合题意的平面α，因此eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→)))＋(eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＝(－eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→)))＋(－eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))，
又因为eq \(DP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(→))，－eq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(DD1,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(DD1,\s\up6(→))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝(－eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(→)))＋(－eq \(DA,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(DD1,\s\up6(→)))＝－2eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DD1,\s\up6(→))＝－2a＋eq \f(1,2)c.
答案：－2a＋eq \f(1,2)c
13．解析：由题可得，AD＝BD＝1，AD⊥BD，
所以AB＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，且∠DAB＝45°，
因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(BD12,\s\up6(→))＝(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AA12,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))2－2eq \(AB,\s\up6(→))·AA1－2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2AA1·eq \(AD,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AA1,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2－2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AA1,\s\up6(→))|cs45°－2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs45°＋2|eq \(AA1,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs60°＝2＋1＋1－2－2＋1＝1，
所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝1.
答案：1
14．证明：(1)∵直三棱柱ABC­A1B1C1，AC＝3，AB＝5，BC＝4，AA1＝4，
因为AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D(eq \f(3,2)，2，0)，
∵eq \(AC,\s\up6(→))＝(－3，0，0)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0，－4，4)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝0，∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E，则E(0，2，2).
∵eq \(DE,\s\up6(→))＝(－eq \f(3,2)，0，2)，AC1＝(－3，0，4)，
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)AC1，∴eq \(DE,\s\up6(→))∥eq \(AC1,\s\up6(→))．
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
15．解析：易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界).
对于A，当λ＝1时，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(CC1,\s\up6(→))，即此时P∈线段CC1，△AB1P周长不是定值，故A错误；
对于B，当μ＝1时，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋λeq \(B1C1,\s\up6(→))，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；
对于C，当λ＝eq \f(1,2)时，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(→))，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BQ,\s\up6(→))＋μeq \(QH,\s\up6(→))，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，
A1(eq \f(\r(3),2)，0，1)，P(0，0，μ)，B(0，eq \f(1,2)，0)，则eq \(A1P,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(3),2)，0，μ－1)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(0，－eq \f(1,2)，μ)，eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均满足，故C错误；
对于D，当μ＝eq \f(1,2)时，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→))，取BB1，CC1中点为M，N.eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋λeq \(MN,\s\up6(→))，所以P点轨迹为线段MN.设P(0，y0，eq \f(1,2))，因为A(eq \f(\r(3),2)，0，0)，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(3),2)，y0，eq \f(1,2))，eq \(A1B,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)，－1)，所以eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)y0－eq \f(1,2)＝0⇒y0＝－eq \f(1,2)，此时P与N重合，A1B⊥AP，又A1B⊥AB1，则A1B⊥平面AB1P，故D正确．故选BD.
答案：BD
16．解析：
(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
所以A1(3，0，3)，C1(0，3，3)，E(0，0，1)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)，B(3，3，0)，
所以eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(－3，3，0)，eq \(EA1,\s\up6(→))＝(3，0，2).
设平面A1EC1的一个法向量n＝(x，y，z)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·eq \(A1C1,\s\up6(→))＝－3x＋3y＝0,n·eq \(EA1,\s\up6(→))＝3x＋2z＝0))，
令x＝2，解得y＝2，z＝－3，
所以平面A1EC1的一个法向量n＝(2，2，－3).
若eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FB1,\s\up6(→))，则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(0，0，3)＝(0，0，2)，
所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝(3，0，0)＋(0，0，2)＝(3，0，2)，
所以n·eq \(CF,\s\up6(→))＝2×3－3×2＝0，所以n⊥eq \(CF,\s\up6(→))，
又CF⊄平面A1EC1，所以CF∥平面A1EC1.
(2)假设底面ABCD内存在一点P，使得PD1⊥平面A1C1E，
设P(a，b，0)(0≤a≤3，0≤b≤3)，
又D1(0，0，3)，所以eq \(D1P,\s\up6(→))＝(a，b，－3)，
又平面A1EC1的一个法向量n＝(2，2，－3)，所以eq \(D1P,\s\up6(→))∥n，
所以eq \f(a,2)＝eq \f(b,2)＝eq \f(－3,－3)，解得a＝2，b＝2，
所以底面ABCD内存在一点P，使得PD1⊥平面A1C1E，此时DP＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2).