2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习48与球有关的切接问题（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习48与球有关的切接问题（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为( )
A．eq \r(3) B．2 C．3eq \r(2) D．eq \r(19)
2．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为( )
A．eq \f(32π,3)B．eq \f(64π,3)C．16πD．12π
3．已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是( )
A.R1∶R2∶R3＝eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
B．R1＋R2＝R3
C．R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3))
D．R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(1)) ＋R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2)) ＝R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(3))
4．[2024·广东揭阳模拟]如图，所有棱长都等于2eq \r(3)的三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为( )
A．27eq \r(3)πB．eq \f(28\r(21)π,3)
C．28eq \r(7)πD．eq \f(28\r(7),3)π
5．[2024·河南南阳模拟]已知正四面体P­ABC的棱长为1，点O为底面ABC的中心，球О与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为( )
A．eq \f(\r(6),12)B．eq \f(\r(6),9)C．eq \f(\r(2),9)D．eq \f(\r(2),3)
6．[2022·新高考Ⅰ卷]已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3eq \r(3)，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(18，\f(81,4)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,4)，\f(81,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,4)，\f(64,3)))D．[18，27]
二、多项选择题
7．用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列结论中正确的是( )
A．若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6
B．若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C．若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3＋eq \r(2)
D．若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值
8．[2023·新高考Ⅰ卷]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题
9．[2024·山西大同模拟]四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在鳖臑P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AB＝BC＝2，鳖臑P­ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是______．
10．[2024·河北衡水模拟]如图，已知台体ABCD­A1B1C1D1的上、下底面均为长方形，且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为4.若AB＝4eq \r(6)，AD＝4eq \r(2)，A1B1＝4eq \r(3)，则该台体的外接球的表面积为__________．
课后定时检测案48 与球有关的切、接问题
1．解析：设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5，
设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝3eq \r(2)，故选C.
答案：C
2．解析：设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，
则球O的体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32,3)π.故选A.
答案：A
3．解析：由题意得2R1＝1，2R2＝eq \r(2)，2R3＝eq \r(3)，所以R1＝eq \f(1,2)，R2＝eq \f(\r(2),2)，R3＝eq \f(\r(3),2)，
所以R1∶R2∶R3＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故选项A错误；
R1＋R2＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)≠eq \f(\r(3),2)＝R3，故选项B错误；
R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1)) ＋R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)＝R eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ，故选项C正确；
R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(1)) ＋R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(2)) ＝eq \f(1,8)＋eq \f(\r(2),4)≠R eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(3)) ，故选项D错误．故选C.
答案：C
4．解析：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1＝eq \f(\r(3),3)A1B1＝eq \f(\r(3),3)×2eq \r(3)＝2，C1O＝eq \r(22＋（\r(3)）2)＝eq \r(7)，
所以球O的体积V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π×(eq \r(7))3＝eq \f(28\r(7),3)π.故选D.
答案：D
5．解析：因为正四面体P­ABC的棱长为1，则正四面体P­ABC的高为h＝eq \r(1－（\f(2,3)×\f(\r(3),2)）2)＝eq \f(\r(6),3)，
由题可知球O与该正四面体的其余三个面都相切，设球O的半径为r，
则VP­ABC＝VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PAC，
所以eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)r＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)r＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)r，
所以r＝eq \f(\r(6),9).故选B.
答案：B
6.
解析：设该球的半径为R，则由题意知eq \f(4,3)πR3＝36π，解得R＝3.如图，连接AC，BD，相交于点E，连接PE并延长，交球于点Q，连接QD，则PQ＝2R＝6.易知PD⊥QD，DE⊥PQ，所以由射影定理，得PD2＝PE·PQ，所以PE＝eq \f(l2,6)，所以DE＝eq \r(PD2－PE2)＝eq \r(l2－\f(l4,36))，所以DC＝eq \r(2)DE＝eq \r(2)×eq \r(l2－\f(l4,36))，所以正四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×(eq \r(2)×eq \r(l2－\f(l4,36)))2×eq \f(l2,6)＝eq \f(1,9)(l4－eq \f(l6,36))，则V′＝eq \f(l3,9)(4－eq \f(l2,6)).令V′＞0，得3≤l＜2eq \r(6)，令V′＜0，得2eq \r(6)＜l≤3eq \r(3)，所以V＝eq \f(1,9)(l4－eq \f(l6,36))在[3，2eq \r(6))上单调递增，在(2eq \r(6)，3eq \r(3) ]上单调递减，所以Vmax＝V(2eq \r(6))＝eq \f(64,3).又因为V(3)＝eq \f(27,4)，V(3eq \r(3))＝eq \f(81,4)＞eq \f(27,4)，所以Vmin＝eq \f(27,4)，所以该正四棱锥体积的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(27,4)，\f(64,3))).故选C.
答案：C
7．解析：若该平面过点A，C，B1，则截面为正△ACB1，其边长为eq \r(2)，则截面的周长为3eq \r(2)，A错误；
若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球，故外接球体积相等，B正确；
当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均为2×12＋2×eq \f(1,2)×12＋1×eq \r(2)＝3＋eq \r(2)，C正确；
若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球球心，所以截面面积是定值，D错误．故选BC.
答案：BC
8．解析：由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为eq \r(2)m的正四面体，且eq \r(2)>1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为eq \r(3)m，eq \r(3)