2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习36平面向量的概念及线性运算（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习36平面向量的概念及线性运算（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是 ( )
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
2．下列各式化简结果正确的是( )
A．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B．eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
3．[2024·江苏盐城模拟]已知ABCD是平面四边形，设p：eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，q：ABCD是梯形，则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在四边形ABCD中，若eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，且|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，则( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
5．[2024·河南开封模拟]已知△ABC中，D为BC边上一点，且BD＝eq \f(1,3)BC，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))B．eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C．eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))D．eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))
6．[2024·江西宜春模拟]设G为△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋2eq \(GB,\s\up6(→))＋3eq \(GC,\s\up6(→))＝( )
A．0B．eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(BC,\s\up6(→))D．eq \(AB,\s\up6(→))
7．(素养提升)已知O为△ABC所在平面内一点，若2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则S△AOC∶S△ABC＝( )
A．1∶3B．1∶4
C．1∶5D．1∶6
8．(素养提升)[2024·河北沧州模拟]在△ABC中eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，点P为AE与BF的交点，eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ－μ＝( )
A．0B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,4)
二、多项选择题
9．[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]如图在△ABC中，AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是( )
A．eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up6(→))B．eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))
C．eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0D．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AG,\s\up6(→))
10．[2024·广东梅州模拟]如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD＝eq \f(1,2)AB，E，F分别为DC，AE的中点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BF,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则( )
A．λ＝eq \f(7,2)B．μ＝2
C．λ＝eq \f(7,4)D．μ＝1
三、填空题
11．化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________．
12．已知正方形ABCD的边长为2，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c))＝________．
13．已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为________．
14．(素养提升)[2024·江苏连云港模拟]在△ABC中，D为边AC上靠近点A的一个三等分点，P为线段BD上的动点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为______．
四、解答题
15．已知a、b不共线．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a－3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)b，求证：A，C，D三点共线；
(2)若向量b－ta与eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，求实数t的值．
优生选做题
16．[2024·湖北宜昌模拟]在△ABC中，AB＝AC，边BC上一点P满足sin∠PAB＝2sin∠PAC，若eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(x,y)＝( )
A．3B．2
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
17．[2024·江西赣州模拟]如图所示，在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝eq \f(2,3)BC，AN＝eq \f(1,4)AB.
(1)试用向量a，b来表示eq \(DN,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
课后定时检测案36 平面向量的概念及线性运算
1．解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，
则a与b共线同向，故D正确．故选D.
答案：D
2．解析：eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(BC,\s\up6(→))，A错误；eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，B正确；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝0，C错误；eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，D错误．故选B.
答案：B
3．解析：在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则AB∥DC，且AB＝2DC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))不一定成立，即必要性不成立；故p是q的充分不必要条件．故选A.
答案：A
4．解析：因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形，又|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))|，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(DB,\s\up6(→))|，即对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．故选A.
答案：A
5．解析：在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)).因为BD＝eq \f(1,3)BC，所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))).所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)).故选A.
答案：A
6．解析：因为G为△ABC重心，所以eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(GA,\s\up6(→))＋2eq \(GB,\s\up6(→))＋3eq \(GC,\s\up6(→))＝2eq \(GA,\s\up6(→))＋2eq \(GB,\s\up6(→))＋2eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).故选B.
答案：B
7.
解析：由2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，得2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
取AC边中点E，连接OE，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OE,\s\up6(→))，所以eq \(CB,\s\up6(→))＝4eq \(OE,\s\up6(→))，
又△OAC与△ABC有相同的底边AC，则它们的高之比即为OE与BC的比为eq \f(1,4)，
所以eq \f(S△AOC,S△ABC)＝eq \f(1,4).故选B.
答案：B
8．解析：因为eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，所以F为AC中点，
B，P，F三点共线，故可设eq \(BP,\s\up6(→))＝keq \(BF,\s\up6(→))，即eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，
整理得eq \(AP,\s\up6(→))＝keq \(AF,\s\up6(→))＋(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)keq \(AC,\s\up6(→))，
因为eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，即eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，A，P，E三点共线，
可得eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AE,\s\up6(→))＝m(eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)meq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)meq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2m,3)＝1－k，,\f(m,3)＝\f(1,2)k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,m＝\f(3,4)，))
可得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,4)，λ－μ＝eq \f(1,4).
故选B.
答案：B
9．解析：由条件可知G为△ABC的重心，
由重心的性质可得AG∶GD＝2∶1，所以eq \(DG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(GA,\s\up6(→))，故A错误；
由重心的性质可得BG∶GE＝2∶1，所以eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up6(→))，故B正确；
eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))＝2×eq \f(3,2)eq \(AG,\s\up6(→))＝3eq \(AG,\s\up6(→))，故D错误；
∵eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AG,\s\up6(→))，∴eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝3eq \(AG,\s\up6(→))，∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，故C正确．故选BC.
答案：BC
10．解析：因为CD∥AB，CD＝eq \f(1,2)AB，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
因为F为AE的中点，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))＝2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(7,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(7,4)，μ＝2.
可知AD错误，BC正确．故选BC.
答案：BC
11．解析：4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.
答案：10a
12．解析：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(BC,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝2×2eq \r(2)＝4eq \r(2).
答案：4eq \r(2)
13．解析：由a∥b可设：b＝λa(λ∈R)，则6e1＋ke2＝3λe1－4λe2，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3λ＝6，,－4λ＝k，))解得k＝－8.
答案：－8
14．解析：依题意，m>0，n>0，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋3neq \(AD,\s\up6(→))，
∵B，P，D三点共线，∴m＋3n＝1，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝(eq \f(1,m)＋eq \f(1,n))(m＋3n)＝4＋eq \f(3n,m)＋eq \f(m,n)≥4＋2eq \r(\f(3n,m)·\f(m,n))＝4＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(3n,m)＝eq \f(m,n)，m2＝3n2时，即m＝eq \r(3)n＝eq \f(\r(3)－1,2)时等号成立．
答案：4＋2eq \r(3)
15．解析：(1)证明：eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(2,3)b，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝3a－2b＝－3(－a＋eq \f(2,3)b)，
则有eq \(AC,\s\up6(→))＝－3eq \(CD,\s\up6(→))，可得eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))且C为公共点，
所以A，C，D三点共线．
(2)向量b－ta与eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，则存在唯一实数λ，使得b－ta＝λ(eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b)，
可得(eq \f(λ,2)＋t)a－(eq \f(3,2)λ＋1)b＝0，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＋t＝0,\f(3,2)λ＋1＝0))，解得t＝eq \f(1,3).
16．解析：
在△PAB中，由正弦定理可得eq \f(BP,sin∠PAB)＝eq \f(AB,sin∠APB). ①
在△PAC中，由正弦定理可得eq \f(PC,sin∠PAC)＝eq \f(AC,sin∠APC). ②
因为AB＝AC，sin∠PAB＝2sin∠PAC，sin∠APB＝sin∠APC，
由①②可得BP＝2PC，则eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，
即eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))，解得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
又因为eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))不共线，所以x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)，所以eq \f(x,y)＝eq \f(1,2).故选C.
答案：C
17．解析：(1)因为eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a，所以eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a－b，
因为eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝a＋eq \f(2,3)b；
(2)设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))，
则eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝λ(a＋eq \f(2,3)b)－b＝λa＋(eq \f(2,3)λ－1)b，
因为D，O，N三点共线，所以存在实数μ使eq \(DO,\s\up6(→))＝μeq \(DN,\s\up6(→))＝μ(eq \f(1,4)a－b)＝eq \f(1,4)μa－μb，
由于向量a，b不共线，则λ＝eq \f(1,4)μ，eq \f(2,3)λ－1＝－μ，解得λ＝eq \f(3,14)，μ＝eq \f(6,7)，
所以AO∶AM＝eq \f(3,14)⇒AO∶OM＝eq \f(3,11).