2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习4基本不等式（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习4基本不等式（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(3,2)C．eq \f(5,2) D．3
2．已知x>2，则函数y＝eq \f(4,x－2)＋x的最小值是( )
A．8 B．6C．4 D．2
3．下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋eq \f(2,x)
B．y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
C．y＝ex＋e－x
D．y＝sinx＋eq \f(1,sinx)(04．负实数x、y满足x＋y＝－2，则x－eq \f(1,y)的最小值为( )
A．0B．－1
C．－eq \r(2)D．－eq \r(3)
5．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知正实数m，n满足m＋n＝1，则eq \r(m)＋eq \r(n)的最大值是( )
A．2B．eq \r(2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(1,2)
6．[2024·山东泰安模拟]在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品.实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共称得的药品( )
A．大于20克B．小于20克
C．大于等于20克D．小于等于20克
7．函数y＝a－x－eq \f(3,x)(x>0)在x＝m时有最大值为eq \r(3)，则a－m的值为( )
A．4eq \r(3) B．3eq \r(3)C．2eq \r(3) D．eq \r(3)
8．[2024·河北邯郸模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1)的最小值是( )
A．2B．4
C．eq \f(9,2)D．9
9．(素养提升)[2024·河南开封模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，a≠b，则下列不等式成立的是( )
A．eq \r(a)＋eq \r(b)B．eq \r(a)＋eq \r(b)C．eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)D．eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)10．(素养提升)已知点A(1，4)在直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)上，若关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，则实数t的取值范围为( )
A．[－6，1]
B．[－1，6]
C．(－∞，－1]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－6]∪[1，＋∞)
二、多项选择题
11．已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2B．(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))≥4
C．eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab)D．eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)
12．[2024·广东汕头模拟]若a>0，b>0，a＋b＝4，则下列不等式对一切满足条件a，b恒成立的是( )
A．eq \r(ab)≤2B．eq \r(a)＋eq \r(b)≤2
C．eq \f(a2,3)＋b2≥4D．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1
三、填空题
13．[2024·河北沧州模拟](eq \f(1,\r(x))＋eq \f(1,\r(y)))(eq \r(x)＋4eq \r(y))的最小值为______．
14．[2024·河北唐山模拟]已知a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为______．
四、解答题
15．(1)已知x>0，求函数f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋4)的最大值．
(2)已知x优生选做题
16．(多选)[2024·辽宁辽阳模拟]在矩形ABCD中，以AB为母线长，2为半径作圆锥M，以AD为母线长，8为半径作圆锥N，若圆锥M与圆锥N的侧面积之和等于矩形ABCD的面积，则( )
A．矩形ABCD的周长的最小值为36π
B．矩形ABCD的面积的最小值为16π2
C．当矩形ABCD的面积取得最小值时，AB＝4AD
D．当矩形ABCD的周长取得最小值时，AD＝2AB
17．[2024·江西吉安模拟]已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝4，证明：
(1)a2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(c2,9)≥eq \f(8,7)；
(2)eq \f(1,a＋c)＋eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)≥eq \f(9,8).
课后定时检测案4 基本不等式
1．解析：由题意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤eq \f(3,2)，当且仅当2a＝b，即a＝eq \f(\r(3),2)，b＝eq \r(3)或a＝－eq \f(\r(3),2)，b＝－eq \r(3)时等号成立，所以ab的最大值为eq \f(3,2).故选B.
答案：B
2．解析：∵x>2，∴y＝eq \f(4,x－2)＋x＝eq \f(4,x－2)＋x－2＋2≥2eq \r(\f(4,x－2)×（x－2）)＋2＝4＋2＝6，当且仅当eq \f(4,x－2)＝x－2，即x＝4时等号成立．∴y的最小值是6.故选B.
答案：B
3．解析：当x<0时，y＝x＋eq \f(2,x)<0，故A错误；
y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2，当且仅当eq \r(x2＋2)＝eq \f(1,\r(x2＋2))，x2＝－1时取等号，又x2≠－1，故B错误；
y＝ex＋e－x≥2eq \r(ex·e－x)＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；
当x∈(0，eq \f(π,2))时，sinx∈(0，1)，y＝sinx＋eq \f(1,sinx)≥2，
当且仅当sinx＝eq \f(1,sinx)，即sinx＝1时取等号，因为sinx∈(0，1)，故D错误．故选C.
答案：C
4．解析：因为负实数x、y满足x＋y＝－2，则x＝－2－y<0，可得－2由基本不等式可得x－eq \f(1,y)＝－2－y－eq \f(1,y)≥－2＋2eq \r(（－y）·\f(1,－y))＝0，当且仅当－y＝－eq \f(1,y)(y<0)时，即当y＝－1时，等号成立．故x－eq \f(1,y)的最小值为0.故选A.
答案：A
5．解析：由于(eq \f(a＋b,2))2－eq \f(a2＋b2,2)＝－eq \f(（a－b）2,4)≤0⇒(eq \f(a＋b,2))2≤eq \f(a2＋b2,2)(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以(eq \f(\r(m)＋\r(n),2))2≤eq \f(m＋n,2)＝eq \f(1,2)，
即eq \r(m)＋eq \r(n)≤eq \r(2)，当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时等号成立．故选B.
答案：B
6．解析：设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，
则由杠杆原理得：5a＝bx，ay＝20b，于是x＝eq \f(5a,b)，y＝eq \f(20b,a)，
故x＋y＝eq \f(5a,b)＋eq \f(20b,a)≥2eq \r(\f(5a,b)·\f(20b,a))＝20，当且仅当a＝2b时取等号.故选C.
答案：C
7．解析：因为x>0时，x＋eq \f(3,x)≥2eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，当且仅当x＝eq \f(3,x)，即x＝eq \r(3)时取“＝”，所以函数y＝a－x－eq \f(3,x)＝a－(x＋eq \f(3,x))≤a－2eq \r(3)＝eq \r(3)，解得a＝3eq \r(3)，m＝eq \r(3)，所以a－m＝3eq \r(3)－eq \r(3)＝2eq \r(3).故选C.
答案：C
8．解析：因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则
eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1)＝eq \f(1,4)[(a＋1)＋(b＋1)](eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1))
＝eq \f(1,4)[eq \f(2（b＋1）,a＋1)＋eq \f(8（a＋1）,b＋1)＋10]≥eq \f(1,4)×(2×4＋10)＝eq \f(9,2)，
当且仅当a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(5,3)时取等号．
答案：C
9．解析：(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤1＋a＋b＝2，
∵a≠b，∴等号不成立，故eq \r(a)＋eq \r(b)eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)≥2eq \r(\f(1,2a)·\f(1,2b))＝2eq \r(\f(1,2a＋b))＝2eq \r(\f(1,2))＝eq \r(2)，
∵a≠b，∴等号不成立，故eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)>eq \r(2)，
综上，eq \r(a)＋eq \r(b)答案：A
10．解析：因为点A(1，4)在直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)上，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1，
故a＋b＝(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(4,b))＝eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)＋5≥2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＋5＝9，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)且eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝1，即a＝3，b＝6时等号成立，
因为关于t的不等式a＋b≥t2＋5t＋3恒成立，
所以9≥t2＋5t＋3，解得－6≤t≤1，
所以t∈[－6，1].故选A.
答案：A
11．解析：因为a，b均为正数，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，A正确；
因为a，b均为正数，所以(a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋2≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B正确；
因为a，b均为正数，所以a2＋b2≥2ab>0，所以eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，C正确；
因为a，b均为正数，所以a＋b≥2eq \r(ab)，所以eq \f(2\r(ab),a＋b)≤1，所以eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，D不正确．故选ABC.
答案：ABC
12．解析：对于A，a>0，b>0，a＋b≥2eq \r(ab)，即eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以A正确；
对于B，a>0，b>0，(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝4＋2eq \r(ab)≤4＋2×2＝8，又eq \r(a)＋eq \r(b)>0，则eq \r(a)＋eq \r(b)≤2eq \r(2)，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以B错误；
对于C，a＋b＝4，b＝4－a>0，所以0则eq \f(a2,3)＋b2＝eq \f(a2,3)＋(4－a)2＝eq \f(4a2,3)－8a＋16＝eq \f(4,3)(a－3)2＋4≥4，并且a＝3时等号成立，所以C正确；
对于D，a>0，b>0，a＋b＝4，所以eq \f(a＋b,4)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))·eq \f(a＋b,4)＝eq \f(1,4)×(2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b))≥eq \f(1,4)×(2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)))＝1，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝b＝2时等号成立，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
13．解析：(eq \f(1,\r(x))＋eq \f(1,\r(y)))(eq \r(x)＋4eq \r(y))＝5＋eq \f(\r(x),\r(y))＋eq \f(4\r(y),\r(x))≥5＋2eq \r(4)＝9，
当且仅当eq \f(\r(x),\r(y))＝eq \f(4\r(y),\r(x))，即x＝4y>0时，等号成立，
所以(eq \f(1,\r(x))＋eq \f(1,\r(y)))(eq \r(x)＋4eq \r(y))的最小值为9.
答案：9
14．解析：因为ab＝a＋b＋3≤eq \f(1,4)(a＋b)2，
故可得：(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，
解得a＋b≥6或a＋b≤－2.
因为a>0，b>0，故a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取得最小值).
答案：6
15．解析：(1)f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋4)可化为f(x)＝eq \f(1,x＋1＋\f(4,x))，
由基本不等式可得，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝2时等号成立，
所以f(x)＝eq \f(1,x＋1＋\f(4,x))≤eq \f(1,5)，当且仅当x＝2时等号成立，
所以当x＝2时，函数f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋4)取最大值，最大值为eq \f(1,5).
(2)设4x－5＝t，则x＝eq \f(t＋5,4)，
因为x所以y＝eq \f(16x2－28x＋11,4x－5)＝eq \f(16×（\f(t＋5,4)）2－28×\f(t＋5,4)＋11,t)＝eq \f(t2＋3t＋1,t)＝t＋3＋eq \f(1,t)，
所以y＝t＋3＋eq \f(1,t)＝－[(－t)＋(－eq \f(1,t))]＋3≤－2eq \r(（－t）·（－\f(1,t)）)＋3＝1，
当且仅当t＝－1时，等号成立，
所以当x＝1时，函数y＝eq \f(16x2－28x＋11,4x－5)取最大值，最大值为1.
16．解析：设AB＝x，AD＝y，则圆锥M的侧面积为2πx，圆锥N的侧面积为8πy，
则2πx＋8πy＝xy，则eq \f(1,y)＋eq \f(4,x)＝eq \f(1,2π)，
则eq \f(1,y)＋eq \f(4,x)＝eq \f(1,2π)≥2eq \r(\f(1,y)·\f(4,x))，得xy≥64π2，
当且仅当eq \f(1,y)＝eq \f(4,x)，即x＝4y，AB＝4AD时，等号成立，
所以矩形ABCD的面积的最小值为64π2，此时AB＝4AD，所以B错误，C正确．
矩形ABCD的周长为2(x＋y)＝4π(eq \f(1,y)＋eq \f(4,x))(x＋y)＝4π(5＋eq \f(x,y)＋eq \f(4y,x))≥4π(5＋2eq \r(\f(x,y)·\f(4y,x)))＝36π，
当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(4y,x)，即x＝2y，AB＝2AD时，等号成立，
所以矩形ABCD的周长的最小值为36π，此时AB＝2AD，所以A正确，D错误．故选AC.
答案：AC
17．证明：(1)由柯西不等式可得(a2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(c2,9))(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2＝16，
当且仅当a＝eq \f(b,4)＝eq \f(c,9)＝eq \f(2,7)时取等号．
即a2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(c2,9)≥eq \f(16,14)＝eq \f(8,7)，则原式成立．
(2)eq \f(1,a＋c)＋eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(1,8)(a＋c＋a＋b＋b＋c)(eq \f(1,a＋c)＋eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c))＝eq \f(3,8)＋eq \f(1,8)(eq \f(b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b,b＋c)＋eq \f(b＋c,c＋a)＋eq \f(c＋a,b＋c)＋eq \f(a＋b,c＋a)＋eq \f(a＋c,a＋b))≥
eq \f(3,8)＋eq \f(1,8)(2eq \r(\f(b＋c,a＋b)·\f(a＋b,b＋c))＋2eq \r(\f(b＋c,c＋a)·\f(c＋a,b＋c))＋2eq \r(\f(a＋b,c＋a)·\f(c＋a,a＋b)))＝eq \f(9,8).
当且仅当a＝b＝c＝eq \f(4,3)时取等号．