2025版高考数学全程一轮复习练习第十章第六节离散型随机变量的分布列均值期望与方差

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1.理解离散型随机变量及其分布列的概念．
2．理解并会求离散型随机变量的数字特征(均值与方差)．
问题思考·夯实技能
【问题1】 离散型随机变量X的每一个可能的取值为实数，其实质代表是什么？
【问题2】 随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系？
关键能力·题型剖析
题型一 分布列的性质
例 1 (1)[2024·江西宜春模拟]设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为( )
A． B．
C． D．
(2)[2024·河北张家口模拟]设随机变量X的分布列如下表：
则P(|X－2|＝1)＝________．
题后师说
离散型随机变量的分布列性质的应用
巩固训练1
(1)[2024·山东济南模拟]设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q＝( )
A. B．
C． D．
(2)离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
则P(题型二 求离散型随机变量的分布列
例 2 [2024·河北张家口模拟]同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．
(1)求同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；
(2)同学甲成功通过关卡的个数为ξ，求ξ的分布列．
题后师说
离散型随机变量分布列的求解步骤
巩固训练2
袋子中有标号为1号的球3个，标号为2号的球3个，标号为3号的球2个，如下表．现从这8个球中任选2个球．
(1)求选出的这2个球标号相同的概率；
(2)设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．
题型三 离散型随机变量的均值(期望)与方差
角度一 均值(期望)与方差的计算
例 3 (1)[2024·河南洛阳模拟]已知某离散型随机变量X的分布列如下：
若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)＝( )
A． B．
C． D．
(2)(多选)[2024·湖南永州模拟]已知随机变量ξi服从两点分布，且P(ξi＝1)＝pi(i＝1，2)，若A．E(ξ2)B．E(ξ1)C．E(ξ1)D．D(ξ1)角度二 均值与方差中的决策问题
例 4 [2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
题后师说
求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
巩固训练3
[2024·河北唐山模拟]某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小康按照CBA的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；
(2)相比较小康自选的CBA的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照ABC的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．
1．[2024·山东淄博模拟]已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量Y＝2X＋1，则P(Y≥5)＝( )
A． B．
C． D．
2．[2024·河南新乡模拟]已知随机变量X的分布列为
则E(X)＝( )
A． B．1
C． D．
3．[2024·江苏镇江模拟]已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝，则D(X)＝( )
A. B． C． D．
4．[2024·广东汕头模拟]现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是________元．
第六节 离散型随机变量的分布列、均值(期望)与方差
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．
【问题2】 提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本的均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×()2＋m×()3＝＝1，∴m＝.故选B.
(2)m＝1－＝，P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＝.
答案：(1)B (2)
巩固训练1 解析：(1)由离散型随机变量的性质可得＋1－2q＋3q2－q＋＝1，即(3q－1)(3q－2)＝0，解得q＝或q＝，q＝时1－2q<0，不合题意，∴q＝.故选B.
(2)由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则P(答案：(1)B (2)0.5
例2 解析：(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率P＝＝.
(2)同学甲成功通过关卡的个数ξ的值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝×2＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以同学甲成功通过关卡的个数ξ的分布列为：
巩固训练2 解析：(1)从这8个球中任选2个球，有＝28(种)结果，
其中这2个球标号相同有＝7(种)结果，
所以从这8个球中任选2个球，其中这2个球标号相同的概率为P＝＝.
(2)随机变量X可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
则X的分布列为：
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
例3 解析：(1)由题意，得a＋b＋c＋＝1，所以a＋b＋c＝①.
因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝，所以－a＋c＝②.
由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝，代入①②解得a＝，b＝.
所以D(X)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝.故选C.
(2)依题意，得P(ξ1＝1)＝p1，P(ξ2＝1)＝p2，ξi服从两点分布，
所以E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
因为所以p2>p2(1－p2)，p1p1(1－p1)，
所以E(ξ2)>D(ξ2)，E(ξ1)D(ξ1)，
D(ξ1)－D(ξ2)＝p1(1－p1)－p2(1－p2)＝(p1－p2)(1－p1－p2)>0，即D(ξ1)>D(ξ2)，
所以ACD错误，B正确．故选ACD.
答案：(1)C (2)ACD
例4 解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
(2)由(1)知，
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；
P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
巩固训练3 解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60，
P(X＝0)＝1－0.4＝0.6，
P(X＝30)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(X＝50)＝0.4×0.6×(1－0.8)＝0.048，
P(X＝60)＝0.4×0.6×0.8＝0.192，
所以X的分布列为
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.6＋30×0.16＋50×0.048＋60×0.192＝18.72.
若小康按照ABC顺序答题，记Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60，
P(Y＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(Y＝10)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(Y＝30)＝0.8×0.6×(1－0.4)＝0.288，
P(Y＝60)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，
所以E(Y)＝0×0.2＋10×0.32＋30×0.288＋60×0.192＝23.36，
故小乐的判断正确．
随堂检测
1．解析：由分布列的性质可知：a＋＋5a＋＝1，解得a＝，
由Y＝2X＋1，Y≥5 等价于X≥2，由表可知P(X≥2)＝＝ .故选A.
答案：A
2．解析：由题可知，＋m＋－2m＝1，解得m＝，
则E(X)＝0×＋2×＋4×＝.故选D.
答案：D
3．解析：因为E(X)＝，且各概率之和为1，
所以解得
所以D(X)＝×(－2－)2＋×(0－)2＋×(1－)2＝.故选B.
答案：B
4．解析：设每张彩票的中奖金额为随机变量X，则X＝0，2，10，50，100，1 000.
由题意可知，P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01，P(X＝100)＝＝0.005，P(X＝1 000)＝＝0.000 5，
所以P(X＝0)＝1－0.1－0.03－0.01－0.005－0.000 5＝0.854 5.
所以，X的分布列为
所以E(X)＝0＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2.
答案：2X
1
2
3
4
P
m
X
－1
0
1
P
1－2q
3q2－q＋
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
标号
1号
2号
3号
合计
个数
3
3
2
8
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
X
0
1
2
3
P
a
5a
X
0
2
4
P

m
－2m
X
－2
0
1
P
a
b
ξ
0
1
2
P
X
0
1
2
P
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
X
0
30
50
60
P
0.6
0.16
0.048
0.192
X
0
2
10
50
100
1 000
P
0.854 5
0.1
0.03
0.01
0.005
0.000 5