2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第五节椭圆

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第八章解析几何第五节椭圆，共14页。试卷主要包含了若e2＝，则a＝等内容，欢迎下载使用。
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程．
2．掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
3．掌握椭圆的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的什么条件？
【问题2】 椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？并在图中表示出来．
关键能力·题型剖析
题型一 椭圆的定义及应用
例1(1)[2024·山东滨州模拟]已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16，圆I与圆O1，O2均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(2)设点P为椭圆C：＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
【变式练习】 若将本例中的“∠F1PF2＝60°”改为“PF1⊥PF2”，则△PF1F2的面积为________．
题后师说
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
巩固训练1
(1)设椭圆＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点P，Q满足P，Q，F1三点共线，则△F2PQ的周长为( )
A．2a B．2b C．4a D．4b
(2)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知F(1，0)为椭圆＝1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．6－ B．1
C．6－2 D．6－
题型二 椭圆的标准方程
角度一 定义法
例2[2024·江西吉安模拟]已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＋x2＝1 D．＋y2＝1
角度二 待定系数法
例3若A(－2，0)，B(1，2)，C(1，)，D(1，－)四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆的标准方程为________．
题后师说
求椭圆方程的常用方法
巩固训练2
(1)若k∈R，则“－20)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(3)[2024·广东河源模拟]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线y＝－x的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
题后师说
求椭圆离心率或其范围的方法
巩固训练3
(1)[2024·九省联考]椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝( )
A． B．
C． D．2
(2)椭圆＝1(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e＝________．
角度二 与椭圆有关的范围(最值)问题
例5[2024·重庆沙坪坝模拟]过椭圆＝1上一动点P分别向圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2＋2|PN|2的取值范围为____________．
题后师说
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、椭圆的定义、椭圆性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用基本不等式．
巩固训练4
已知F1，F2为椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，∠F1MF2的最大值为( )
A． B．
C． D．
1．[2023·新课标Ⅰ卷]设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝，则a＝( )
A． B．
C． D．
2．[2023·全国甲卷]设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．1 B．2
C．4 D．5
3．[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
第五节 椭圆
问题思考·夯实技能
【问题1】 答案：若P点的轨迹是椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)成立．
若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)，当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．
所以“动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)”是“点P的轨迹是椭圆”的必要不充分条件．
【问题2】 答案：c2＝a2－b2.
关键能力·题型剖析
例1 解析：由圆O1：x2＋y2＝1可得，圆心O1(0，0)，半径r1＝1；
由圆O2：(x－2)2＋(y－2)2＝16可得，圆心O2(2，2)，半径r2＝4.
又|O1O2|＝＝2，且|O1O2|＝2b>0)的两个焦点为F1，F2，显然椭圆的弦PQ经过点F1，
由椭圆的定义得，△F2PQ的周长|PF2|＋|PQ|＋|QF2|＝|PF2|＋|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＝4a.故选C.
解析：
由F(1，0)为椭圆＝1的焦点，
∴c＝1，a2＝9，b2＝m，
∴9＝m＋1，∴m＝8，
设椭圆的左焦点为F1，由椭圆的定义得|PF|＝2a－|PF1|＝6－|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≥6－|AF1|＝6－，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6－.故选A.
答案： C
答案：A
例2
解析：由对称性|AF2|＝|AB|＝，又|F1F2|＝2，则|AF1|＝＝ ＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2，又c＝1，则b＝＝，
椭圆的标准方程为＝1.故选B.
答案：B
例3 答案：因为椭圆是对称图形，所以C(1，)，D(1，－)必在椭圆上．
又点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，所以点B(1，2)不在椭圆上，所以点A(－2，0)在椭圆上．
设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则得所以椭圆的方程为＝1.
巩固训练2 解析：若方程＝1表示椭圆，
则解得－2