2025版高考数学全程一轮复习练习第七章立体几何与空间向量第一节基本立体图形简单几何体的表面积与体积

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第七章立体几何与空间向量第一节基本立体图形简单几何体的表面积与体积，共18页。试卷主要包含了6 km D． km，5 cm D．5，故选C等内容，欢迎下载使用。

1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
3．能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．
问题思考·夯实技能
【问题1】 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？请画图说明．
【问题2】 柱体、锥体、台体体积之间有什么关系？
关键能力·题型剖析
题型一 基本立体图形
角度一 结构特征
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A．棱台的侧面都是等腰梯形
B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形
D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
[听课记录]

题后师说
辨别空间几何体的两种方法
角度二 直观图
例2 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC＝AB＝1，则原平面图形的面积为( )
A． B．
C．3 D．6
[听课记录]

题后师说
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：S直观图＝S原图形．
角度三 展开图
例3 [2024·江西九江模拟]如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2AA1＝2，N为A1C1的中点，M为线段AA1上的点．则|MN|＋|MB|的最小值为________．
[听课记录]

题后师说
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
巩固训练1
(1)下列命题正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
(2)[2024·山东济南模拟]已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )
A． B．
C．2 D．2
(3)[2024·福建漳州模拟]如图是一座山的示意图，山体大致呈圆锥形，且圆锥底面半径为2 km，山高为2 km，B是母线SA上一点，且AB＝2 km.为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡．当公路长度最短时，下坡路段长为( )
A． km B．3 km
C．3.6 km D． km
题型二 空间几何体的表面积
例4 (1)金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的如图所示的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的表面积为( )
A．8 B．8
C．8 D．16
(2)[2024·河北秦皇岛模拟]在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3 cm，高为4 cm，内孔半径为1 cm，则此几何体的表面积是________ cm2.( )
A．72＋＋6π B．72＋27＋8π
C．72＋27＋6π D．60＋27＋6π
[听课记录]

题后师说
求解几何体表面积的策略
巩固训练2
(1)[2024·安徽亳州模拟]如图，一种棱台形状的无盖容器(无上底面A1B1C1D1)模型其上、下底面均为正方形，面积分别为，且A1A＝B1B＝C1C＝D1D.若该容器模型的体积为 cm3，则该容器模型的表面积为( )
A．(5＋9)cm2 B．(4＋9)cm2
C．(3＋9)cm2 D．(2＋9)cm2
(2)[2024·广东湛江模拟]如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为( )
A．42π cm2 B．84π cm2
C．36π cm2 D．64π cm2
题型三 空间几何体的体积
例5 (1)[2024·安徽滁州模拟]我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量．若一个圆台形盆的上口直径为40 cm，盆底直径为20 cm，盆深18 cm，某次下雨盆中积水9 cm，则这次降雨量最接近(注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积)( )
A．3 cm B．3.5 cm
C．5.5 cm D．5.8 cm
(2)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在对角线BC1上移动，则三棱锥的体积为( )
A． B．8
C． D．4
(3)如图中的多面体的底面是边长为a的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2a，其余的棱长都是a.已知a＝6，则这个多面体的体积是________．
[听课记录]





题后师说
求空间几何体的体积的三种方法
巩固训练3
(1)[2023·全国乙卷]已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A．π B．π
C．3π D．3π
(2)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
1．如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
2．[2023·全国甲卷]在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为( )
A．1 B． C．2 D．3
3．[2023·新课标Ⅰ卷]在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
4．[2024·九省联考]已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
第七章 立体几何与空间向量
第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不一定．如图．
【问题2】 提示：
关键能力·题型剖析
例1 解析：A.棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故错误；B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故正确；C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形，故正确；D.以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个同底的圆锥，故错误．故选BC.
答案：BC
例2
解析：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
因为∠ADC＝45°，所以AD＝AE＝BC＝，
CD＝CE＋DE＝CE＋AE＝AB＋BC＝2，
原平面图形中A′D′＝2，A′B′＝AB＝1，C′D′＝CD＝2，作原平面图形如图，
则原平面图形的面积为(C′D′＋A′B′)×A′D′＝3，故选C.
答案：C
例3 解析：将侧面ABB1A1沿A1A展开，使得侧面ABB1A1与侧面ACC1A1在同一平面内，如图，连接BN交AA1于M，则|MN|＋|MB|的最小值为此时的|BN|，|BN|＝＝＝，∴|MN|＋|MB|的最小值为.
答案：
巩固训练1 解析：(1)只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，所以A错；棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形，但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，所以B错；
圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形，所以C对；直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以D错．故选C.
(2)正三角形的高为，根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为(×1××sin )×2＝.故选B.
(3)由题意，半径为2 km，山高为2 km，则母线SA＝＝8，底面圆周长2πr＝4π，所以展开图的圆心角α＝＝，
如图，是圆锥侧面展开图，
结合题意，AB＝＝10，由点S向AB引垂线，垂足为点H，此时SH为点S和线段AB上的点连线的最小值，即点H为公路的最高点，HB段即为下坡路段，则SB2＝BH·AB，即36＝10·BH，得BH＝3.6 km，下坡路段长度为3.6 km.故选C.
答案：(1)C (2)B (3)C
例4 解析：(1)根据题意，设等边三角形的高为h，所以h＝＝，所以每个边长为2的等边三角形的面积为×2×＝，所以正八面体的表面积为8.故选C.
(2)所求几何体的侧面积为3×4×6＝72(cm2)，上下底面面积为(×32××6－π)×2＝(27－2π)(cm2)，挖去圆柱的侧面积为2π×4＝8π(cm2)，则所求几何体的表面积为(72＋27＋6π)(cm2)．故选C.
答案：(1)C (2)C
巩固训练2 解析：(1)依题意可知，上底面边长为2 cm，下底面边长为3 cm，设模型的高为h1，则容器模型的体积为：×(4＋＋9)×h1＝×h1＝，h1＝1 cm，所以侧面等腰梯形的高h2＝ ＝ cm，所以模型的表面积为4×＋9＝(5＋9) cm2.故选A.
(2)圆柱的上底面面积为4π，圆柱的侧面面积为4π×5＝20π cm2，圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为＝5 cm，所以圆台的侧面面积为π(2＋5)×5＝35π cm2，则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π cm2.故选B.
答案：(1)A (2)B
例5 解析：(1)根据题意，盆中水的体积约为×9＝1 425π(cm3)，降雨量等于＝3.562 5 cm.故选B.
(2)令B1到平面AMD1的距离为d，
＝＝·d，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
所以＝，
＝·d＝·d＝，
所以＝＝，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1中AA1⊥平面A1B1C1D1，
则AA1为三棱锥A-B1C1D1的高，
＝＝＝×2××2×2＝.故选C.
(3)如图，在线段PQ上分别取C，C1两点，使得平面ABC，A1B1C1⊥平面AA1B1B，AB中点为M，连接CM.
则由题意，CC1＝BB1＝6，CP＝C1Q＝CC1＝3.
又BP＝6，故CB＝＝3，CM＝＝＝6.
故这个多面体的体积V＝
＝×6×6×3×6×6×6×6×6×3＝36＋216＋36＝288.
答案：(1)B (2)C (3)288
巩固训练3 解析：
(1)在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取AB中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图，
∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，
于是PO＝＝ ＝，
所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B.
(2)在图1中的几何体中，水的体积为V1＝S△ABC×2＝2S△ABC，在图2的几何体中，水的体积为：V2＝＝×h＝S△ABCh，因为V1＝V2，可得S△ABCh＝2S△ABC，解得h＝3.故选B.
答案：(1)B (2)B
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1．解析：三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′-BCC′B′.故选B.
答案：B
2．解析：
如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，
所以PD＝CD＝，
又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，
所以PD⊥CD，
又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，
所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝×S△ABC×PD＝×2×＝1，故选A.
答案：A
3．解析： 如图所示，
设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×(22＋12＋)×＝.
答案：
4．解析：设圆锥的底面半径为r，球的半径为R.
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线l＝2r，
由题可知：h＝2R，所以球的半径R＝r，
所以圆锥的体积为V1＝×(π×r2)×r＝，
球的体积V2＝πR3＝π×(r)3＝πr3，
所以＝＝；
圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球的表面积S2＝4πR2＝4π×(r)2＝3πr2，
所以＝＝1.
答案： 1