2025版高考数学全程一轮复习练习第六章数列第三节等比数列

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第六章数列第三节等比数列，共12页。试卷主要包含了理解等比数列的概念．，故选C，故选B等内容，欢迎下载使用。
1.理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．了解等比数列与指数函数的关系．
问题思考·夯实技能
【问题1】 类比指数函数的性质，说出公比q>0的等比数列的单调性．
【问题2】 任何两个实数都有等差中项和等比中项对吗？
关键能力·题型剖析
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)[2024·山东昌乐模拟]等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q的值为( )
A．－ B．1
C．－或1 D．或1
(2)[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
A．35 B．75
C．155 D．315
[听课记录]


题后师说
等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，体现了方程思想的应用．
巩固训练1
(1)[2024·河北秦皇岛模拟]一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)[2024·河南开封模拟]记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2(a1＋a2)＝a2＋a3＝12，则S5＝( )
A．30 B．31
C．61 D．62


题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n∈N*.
(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[听课记录]
题后师说
巩固训练2
Sn为等比数列的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
题型三 等比数列的性质
角度一 等比数列项的性质
例3 (1)在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则的值为( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
(2)[2024·湖北黄冈模拟]已知数列{an}是正项等比数列，数列{bn}满足bn＝lg2an.若a2a5a8＝212，b1＋b2＋b3＋…＋b9＝( )
A．24 B．32
C．36 D．40
[听课记录]

题后师说
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
巩固训练3
(1)[2024·河南郑州模拟]在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a3a4a5＝6，则a7a8a9的值为( )
A．48 B．72
C．216 D．192
(2)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为________．
角度二 等比数列前n项和的性质
例4 (1)[2024·河北沧州模拟]正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝21S10，S10＋S30＝220，则S20＝( )
A．90 B．50
C．40 D．30
(2)已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝( )
A．11 B．12
C．13 D．14
[听课记录]

题后师说
在等比数列中，当前n项和的下标成等差数列时，往往借助Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列这一性质求解，减少了运算量，提高了解题速度．
巩固训练4
(1)[2024·辽宁沈阳模拟]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝( )
A． B． C． D．
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
1．[2022·全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14 B．12
C．6 D. 3
2．[2023·全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝( )
A．7 B．9
C．15 D．30
3．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )
A．120 B．85
C．－85 D．－120
4．[2023·全国乙卷]已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________．
第三节 等比数列
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：①当q>1时，若a1>0，则{an}单调递增；若a10，又{an}为等比数列，则a7＝a1·q6>0，又a1a13＝a2a12＝＝9，所以a7＝3或a7＝－3 (舍去)，所以＝a7＝3.
答案：(1)C (2)3
例4 解析：(1)因为Sn是正项等比数列{an}的前n项和，所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，又因为S30＝21S10，S10＋S30＝220，所以S10＝10，S30＝210，所以(S20－10)2＝10(210－S20)，解得S20＝50或S20＝－40(舍)．故选B.
(2)由题意可得所有项之和S奇＋S偶是所有偶数项之和的4倍，∴S奇＋S偶＝4S偶，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得S偶＝qS奇，即S奇＝S偶，∴S偶＋S偶＝4S偶，∵S偶≠0，∴解得q＝，又前3项之积a1a2a3＝＝64，解得a2＝4，∴a1＝＝12.故选B.
答案：(1)B (2)B
巩固训练4 解析：(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，设S4＝m，则S8＝3m，S8－S4＝2m，S12－S8＝4m，S12＝7m，所以＝＝.故选D.
(2)由题意，得解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2.
答案：(1)D (2)2
随堂检测
1．解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，两式相除，得＝4，解得q＝.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.
答案：D
2．解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
答案：C
3．解析：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得，化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C.
答案：C
4．解析：设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1 ①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝q17＝－8 ②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.
答案：－2