2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第四节复数

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第五章平面向量与复数第四节复数，共12页。试卷主要包含了通过方程的解认识复数．，故选A，故选D，根据复数相等，得解得故选A，故选C等内容，欢迎下载使用。

1.通过方程的解认识复数．
2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
问题思考·夯实技能
【问题1】 “3＋2i>1＋2i”“2＋i<4＋i”等结论正确吗？为什么？
【问题2】 设向量分别与复数a＋bi，c＋di对应，请你写出向量对应的复数．
关键能力·题型剖析
题型一 复数的概念
例 1 (1)(多选)[2024·江苏南通模拟]设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A．若z∈R，则z＝
B．若z2∈R，则z∈R
C．若z2＋1＝0，则z＝i
D．若(1＋i)z＝1－i，则|z|＝1
(2)[2024·河北秦皇岛模拟]已知z＝，则z－的虚部为( )
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
(3)[2024·河北衡水模拟]已知复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，则m＝________．
题后师说
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
巩固训练1
(1)[2022·新高考Ⅰ卷]若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)[2022·全国甲卷]若z＝1＋i.则|iz＋3|＝( )
A．4 B. 4
C. 2 D. 2
(3)[2022·全国乙卷]已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
题型二 复数的四则运算
例 2 (1)[2024·河北衡水模拟]已知复数z1，z2，当z1＝1＋2i时，＝z1，则z2＝( )
A．8＋6i B．8－6i
C．10＋10i D．10－10i
(2)[2024·安徽滁州模拟]已知复数满足z·＝4且z＋＋|z|＝0，则z2 022的值为( )
A．±1 B．－22 022
C．±22 022 D．22 022
(3)(多选)[2024·九省联考]已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2 B．＝
C．＝ D．＝
题后师说
复数代数形式运算的策略
巩固训练2
(1)[2020·新高考Ⅰ卷]＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(3)[2024·江西九江模拟]已知复数z＝，则8z的共轭复数为( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－i D．－i
题型三 复数的几何意义
例 3 (1)[2024·河南开封模拟]“a<”是“复数z＝(i为虚数单位)在复平面上对应的点在第四象限”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知复数z1＝1＋2i，z2＝2－i(i为虚数单位)，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C.若四边形OABC为平行四边形(O为复平面的坐标原点)，则复数z3为( )
A．1－3i B．1＋3i
C．－1＋3i D．－1－3i
(3)[2024·江西赣州模拟]已知复数z满足|z＋i|＝1(i为虚数单位)，则|z－i|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题后师说
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)、复平面内的向量三者之间建立了一一对应关系，因此解决复数问题时，可考虑运用数形结合的思想方法．
(2)由于|z1－z2|表示z1，z2在复平面内对应点Z1，Z2之间的距离，因此可由此判断复数对应点的轨迹问题，并结合平面解析几何知识解决最值问题．
巩固训练3
(1)[2024·河南南阳模拟]已知i为虚数单位，z＝，则复数在复平面上所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)[2024·河北沧州模拟]设复数z满足|z－1＋i|＝2，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
(3)[2024·安徽安庆模拟]设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋＋i|取最大值时的复数z为( )
A．i B．－i
C．i D．－i

1．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z＝，则z－＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
3．[2023·全国甲卷]若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．[2023·全国乙卷]设z＝，则＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
第四节 复数
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：不正确．两个实数可以比较大小，但两个虚数只能判断它们是否相等，而不能比较它们的大小．
【问题2】 提示：(a＋c)＋(b＋d)i，(a－c)＋(b－d)i.
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
对于A，因z∈R，则b＝0，则z＝a＋bi＝a－bi＝，故A正确；
对于B，注意到i2＝－1∈R，但i∉R，故B错误；
对于C，注意到(－i)2＝－1，则z有可能为－i，故C错误；
对于D，z＝＝＝＝－i，则|z|＝1，故D正确．故选AD.
(2)因为z＝＝＝＝－1－2i，所以＝－1＋2i，所以z－＝－1－2i－(－1＋2i)＝－4i，所以z－的虚部为－4.故选A.
(3)因为(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，所以，解得m＝1.
答案：(1)AD (2)A (3)1
巩固训练1 解析：(1)由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D.
(2)因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝＝2.故选D.
(3)由z＝1－2i可知＝1＋2i.由z＋a＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.根据复数相等，得解得故选A.
答案：(1)D (2)D (3)A
例2 解析：(1)由＝z1得z2＝z1(z1－z1)＝(1＋2i)×(4－2i)＝8＋6i.故选A.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z·＝4且z＋＋|z|＝0，即
即解得a＝－1，b＝±，
所以z＝－1±i，又z2 022＝(z3)674，
当z＝－1＋i时，z3＝(－1＋i)3＝(－1＋i)2(－1＋i)＝(－2－2i)(－1＋i)＝8＝23，
当z＝－1－i时，z3＝(－1－i)3＝(－1－i)2(－1－i)＝(－2＋2i)(－1－i)＝8＝23，
故z2 022＝(z3)674＝(23)674＝22 022.故选D.
(3)设z＝a＋bi(a，b∈R)，w＝c＋di(c，d∈R)；
对A： z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；
对B: ＝，又·z＝2，即有＝，故B正确；
对C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，则＝a－c－(b－d)i，＝a－bi，＝c－di，则＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有＝，故C正确；
对D：＝＝＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正确．故选BCD.
答案：(1)A (2)D (3)BCD
巩固训练2 解析：(1)＝＝＝－i.
故选D.
(2)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.
(3)因为z＝＝＝＝＝i，则8z＝8(i)＝2－2i，所以8z的共轭复数为2＋2i. 故选B.
答案：(1)D (2)D (3)B
例3 解析：(1)因为z＝＝，
又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以解得－6因此a<是－6(2)设z3＝x＋yi(x，y∈R)，则C(x，y)，依题意A(1，2)，B(2，－1)，＝(1，－3)，由于四边形OABC是平行四边形，所以＝，(x，y)＝(1，－3)，所以z3＝1－3i.故选A.
(3)设复数z在复平面中对应的点为Z，由题意可得：|z＋i|＝|z－(－i)|＝1，表示复平面中点Z到定点C(0，－1)的距离为1，所以点Z的轨迹为以C(0，－1)为圆心，半径r＝1的圆，因为|z－i|表示复平面中点Z到定点B(0，1)的距离，所以|ZB|≤|BC|＋r＝2＋1＝3，即|z－i|的最大值为3.故选C.
答案：(1)B (2)A (3)C
巩固训练3 解析：(1)因为i4k＋1＋i4k＋2＋i4k＋3＋i4k＋4＝i－1－i＋1＝0，k∈N，则z＝＝＝＝－i，所以＝－i在复平面上所对应的点为(－)位于第二象限．故选B.
(2)复数z满足z＝x＋yi(x，y∈R)，则|x－1＋(y＋1)i|＝2，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故选D.
(3)复数z满足条件|z|＝1，它是复平面上的单位圆，那么|z＋＋i|表示单位圆上的点到Q(－，－1)的距离，要使此距离取最大值的复数z，就是(－，－1)和(0，0)连线和单位圆在第一象限的交点M.∵点(－，－1)到原点距离是2.单位圆半径是1，又∠MOx＝30°，所以M()，故对应的复数为i.故选A.
答案：(1)B (2)D (3)A
随堂检测
1．解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.
答案：A
2．解析：因为z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
答案：A
3．解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C.
答案：C
4．解析：z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i.故选B.
答案：B