2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形专题培优课三角函数中有关ω的范围问题

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关键能力·题型剖析
题型一 利用三角函数的单调性求ω的范围
例 1 [2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝2cs (x－)cs x－2sin2x，若f(x)在区间上单调递减，则实数m的取值范围为( )
A． B．
C．[) D．[)
题后师说
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围．
巩固训练1
[2024·河南实验中学模拟]已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数f(x)在区间()不单调，则ω的取值范围是( )
A．(，1) B．(，1) C．(，1) D．(，1)
题型二 利用三角函数的对称性求ω的范围
例 2 [2024·江西景德镇模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋)，(ω>0)在区间上恰好有两条对称轴，则ω的取值范围是( )
A．[) B．[)
C．[) D．()
题后师说
三角函数的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围．
巩固训练2
[2024·广东珠海模拟]已知函数f(x)＝sin ωx＋cs ωx(ω>0)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则ω的取值范围为( )
A．(0，3) B．(，3) C．(0，) D．(1，3)
题型三 利用三角函数的最值(或值域)求ω的范围
例 3 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)在区间(－)上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为( )
A．[，7) B．(，4) C．[4，) D．(，7)
题后师说
利用三角函数的最值与对称性或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围．
巩固训练3
[2024·辽宁大连模拟]已知函数f(x)＝cs (ωx－)(其中ω>0)在(0，π)上的值域为(，1]，则ω的取值范围是________．
题型四 利用三角函数的零点求ω的范围
例 4 [2024·山西大同模拟]已知函数f(x)＝2cs (ωx＋φ) (ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，且f(x)在区间[0，1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )
A．(] B．[)
C．(] D．[)
题后师说
根据题意作出函数在定义域内的图象，将零点转化成函数y＝f(x)与x轴的交点问题，结合图象得出ωx＋φ的范围，即可求解．
巩固训练4
[2024·江苏南京模拟]若函数f(x)＝sin (ωcs x)－1(ω>0)在区间(0，2π)恰有2个零点，则ω的取值范围是( )
A．(0，) B．()
C．() D．(，＋∞)
1．[2024·江苏宿迁模拟]已知函数f(x)＝sin (ωx＋)，其中ω>0.若f(x)在区间()上单调递增，则ω的取值范围是( )
A．(0，4] B．(0，]
C． D．(0，
2．[2024·河北承德模拟]若函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，则非零实数ω的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．[6，＋∞)
C．(－∞，－2]，＋∞)
D．(－∞，
3．[2022·全国甲卷]设函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )
A．[) B．[)
C．(] D．(]
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知函数f(x)＝cs ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
专题培优课 三角函数中有关ω的范围问题
关键能力·题型剖析
例1 解析：f(x)＝2cs (x－)cs x－2sin2x＝2sinx cs x－2·＝sin 2x－1＋cs 2x＝2(sin 2x＋cs 2x)－1＝2sin (2x＋)－1，由x∈，则2x＋∈，由题意，⊆，则≤2m＋<，解得≤m<.故选C.
答案：C
巩固训练1 解析：已知f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，
令ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，
则函数f(x)对称轴方程为x＝(k∈Z)，
∵函数f(x)在区间()不单调，
∴<<，(k∈Z)，解得4k＋<ω<6k＋1，k∈Z，
又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1，
故仅当k＝0时，<ω<1满足题意．故选C.
答案：C
例2 解析：因为f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，
令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝，k∈Z，
函数f(x)＝sin (ωx＋)在区间上有且仅有2条对称轴，即≤π有2个整数k符合，
又在区间上恰好有两条对称轴，π－＝，ω≥，
由≤π，得≤1⇒2ω≤1＋6k≤6ω，
若k＝1，2，则∴≤ω<；
若k＝2，3，则∴<ω<.
故选A.
答案：A
巩固训练2 解析：因为f(x)＝sin ωx＋cs ωx＝sin (ωx＋)(ω>0)，
因为函数f(x)的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以函数f(x)的最小正周期T满足T>，即>，则0<ω<3，
由ωx＋＝kπ(k∈Z)可得x＝(k∈Z)，
因为函数f(x)的图象的一个对称中心的横坐标在区间()内，
则<<，可得<ω<4k－1，
又因为0<ω<3且ω存在，则，解得因为k∈Z，则k＝1，所以<ω<3.故选B.
答案：B
例3 解析：因为f(x)在区间(－)上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以－(－)>，所以ω>.
令t＝ωx＋，当x∈(－)时，t∈(－ω＋ω＋)，
于是f(x)＝2sin (ωx＋)在区间(－)上的最值点个数等价于g(t)＝2sin t在(－ω＋ω＋)上的最值点个数．
由ω>知，－ω＋<0，ω＋>0，
因为g(t)在(－ω＋ω＋)上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以解得<ω<4.
答案：B
巩固训练3 解析：因为x∈(0，π)，所以ωx－∈(－，ωπ－)，
因为函数f(x)＝cs (ωx－)(其中ω>0)在(0，π)上的值域为(，1]，所以0<ωπ－，解得ω∈(].
答案：(]
例4 解析：由题意f(x)＝2cs (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，则T＝，
又f(T)＝，可得cs (ω×＋φ)＝，即cs φ＝，
又0<φ<π，所以φ＝，
f(x)＝2cs (ωx＋)在区间[0，1]上恰有3个零点，
当x∈[0，1]时，ωx＋∈[，ω＋]，
结合函数y＝cs x的图象如图所示：
则y＝cs x在原点右侧的零点依次为，…，
所以≤ω＋<，解得≤ω<，即ω的取值范围为[)．故选D.
答案：D
巩固训练4 解析：令t＝ωcs x，∵x∈(0，2π)，∴t∈[－ω，ω)，
由于x∈(0，π)时，t＝ωcs x有两个零点；
则等价于sin t－1＝0，t∈[－ω，ω)有1个根，
∴原题等价于y＝sin t，t∈(－ω，ω)与y＝1有一个公共点，如图，
则－ω>－且ω>，所以<ω<.故选B.
答案：B
随堂检测
1．解析：由－＋2kπ≤ωx＋＋2kπ，k∈Z解得－≤x≤，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.因为f(x)在区间()上单调递增，所以T≥2()＝，所以0<ω≤4.
当k＝0时，由f(x)在区间()上单调递增可知，得0<ω≤；当k＝1时，由解得≤ω≤3；当k＝2时，无实数解．易知，当k≤－1或k≥2时不满足题意．综上ω的取值范围为(0，.故选D.
答案：D
2．解析：①若ω＞0，则－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，
所以－ω≤－，得到ω≥；
②若ω＜0，则ω≤ωx≤－ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上存在最小值－2，
所以ω≤－，ω≤－2.
所以非零实数ω的取值范围是(－∞，－2]，＋∞)．
故选C.
答案：C
3．解析：因为f(x)＝sin (ωx＋)，结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)时，f(x)取得极值．又因为f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，所以解得＜ω≤.当ωx＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－(k∈Z)时，f(x)＝0.又因为f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，所以解得＜ω≤.综上可得，ω的取值范围是(].故选C.
答案：C
4．解析：函数f(x)＝cs ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cs ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cs x在[0，2π]上的图象可知，cs x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cs ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cs ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3)．
答案：[2，3)