2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形高考大题研究课四正弦定理余弦定理的综合应用

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第四章三角函数与解三角形高考大题研究课四正弦定理余弦定理的综合应用，共9页。

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会用正弦定理、余弦定理解决三角形中的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一 多边形中的解三角形问题
例 1 [2024·江西九江模拟]在△ABC中，AC＝，D为∠ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD＝2.
(1)求△DAC的面积；
(2)若∠ABC＝120°，求BD的长．
题后师说
平面几何中解三角形问题的求解策略
巩固训练1
[2024·河南焦作模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，D＝60°，AC＝4，CD＝3.
(1)求cs ∠CAD；
(2)若AB＝，求BC.
题型二 三角形的中线与角平分线问题
例 2 [2024·河北唐山模拟]在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC.
(1)若BC＝3，求CD与AD；
(2)若∠ADC＝60°，设∠BAD＝θ，求tan θ.
题后师说
三角形中的中线、角平分线问题的处理策略
巩固训练2
[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
题型三 三角形中的最值、范围问题
例 3 (12分)[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值．
思路导引
(1)二倍角公式化简→去分母、两角和与差公式化简→求出sin B.
(2)由角B，C正余弦关系→角B与角C，A的关系→化成正弦→用角B表示角A，C化简→角B的关系式→基本不等式．
[满分答卷·评分细则]
解析：(1)因为＝＝＝，→正确用二倍角公式化简得1分
即sin B＝cs A cs B－sin A sin B＝cs (A＋B)＝－cs C＝，→正确用两角和与差公式化简得2分
→正确求出角B得1分
(2)由(1)知，sin B＝－cs C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cs C＝sin (C－)→用诱导公式正确找出角B，C的正弦关系得2分
所以C＝＋B，即有A＝－2B，→用角B表示角C，A得1分
所以＝→正确用正弦定理化边为角得1分
＝＝→将角C，A代入化角，二倍角公式化简得2分
＝4cs2B＋－5≥4－5，当且仅当cs2B＝时取等号，→正确变形再利用基本不等式求解得1分
所以的最小值为4－5.→正确写出结论得1分
题后师说
解三角形中的最值或范围问题的2种常用方法
巩固训练3
[2024·辽宁沈阳模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知b2＋c2－a2＝4S.
(1)求角A；
(2)若a＝2，求b－c的取值范围．
高考大题研究课四 正弦定理、余弦定理的综合应用
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)在△DAC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs ∠ADC，
即13＝4＋CD2＋2CD，解得CD＝(负根舍)，
所以S△DAC＝AD·CD·sin ∠ADC＝×2×＝.
(2)因为∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，所以∠DBA＝∠DBC＝60°，
又∠ADC＝150°，所以∠DAB＋∠DCB＝360°－120°－150°＝90°，
在△ABD中，由正弦定理，得＝， ①
在△DBC中，由正弦定理，得＝， ②
①÷②，得＝＝，所以＝，
又sin2∠DCB＋cs2∠DCB＝1，且∠DCB∈(0，)，所以sin∠DCB＝，
将sin ∠DCB＝代入②，得＝，所以BD＝.
巩固训练1 解析：(1)在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠CAD＝.由题设知0°<∠CAD<90°，所以cs ∠CAD＝ ＝.
(2)由题设及(1)知，cs ∠BAC＝sin ∠CAD＝，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cs ∠BAC＝＋16－2××4×＝，所以BC＝.
例2 解析：(1)如图所示：
因为AD平分∠BAC，所以＝＝＝，又因为D在BC上，所以＝＝，
因此＝，又BC＝3，BD＋CD＝BC，所以CD＝.
在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝2，可得cs C＝＝＝.
在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC×CD×cs C＝22＋－2×2×＝，故AD＝.
(2)因为AD平分∠BAC，∠DAC＝∠BAD＝θ，又∠ADC＝60°，
所以B＝60°－θ，C＝120°－θ，在△ABC中，由正弦定理可得
＝，又AB＝3，AC＝2，所以3sin (60°－θ)＝2sin (120°－θ)，
展开并整理得cs θ－sin θ＝cs θ＋sin θ，解得tan θ＝.
巩固训练2 解析：(1)证明：由题设得，BD＝，由正弦定理知＝，即＝，
∴BD＝，又∵b2＝ac，
∴BD＝b，得证．
(2)由题意知BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cs ∠ADB＝＝，同理cs ∠CDB＝＝，
∵∠ADB＝π－∠CDB，∴cs ∠ADB＝－cs ∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝，又b2＝ac，
∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝，
由余弦定理知cs ∠ABC＝＝，
当＝时，cs ∠ABC＝＞1不合题意；当＝时，cs ∠ABC＝；综上，cs ∠ABC＝.
巩固训练3 解析：(1)已知b2＋c2－a2＝4S，由余弦定理和三角形的面积公式，
得2bc cs A＝4·bc sin A，即cs A＝sin A，
若cs A＝0，则sin A＝0，不符合题意，故cs A≠0，
所以tan A＝，由A∈(0，π)，得A＝.
(2)a＝2，A＝，B＋C＝π－A＝，
由正弦定理＝＝＝＝4，
b－c＝4sin B－4sin C＝4(sin B－sin C)＝4＝4[cs C＋sin C)－sin C]＝4(cs C＋sin C)＝4sin (C＋)，
由C∈(0，)，则C＋∈()，
得sin (C＋)∈(－，1]，
所以4sin (C＋)∈(－2，4]，即b－c的取值范围为(－2，4].