2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件

这是一份2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件，共48页。PPT课件主要包含了课前自主预习案，课堂互动探究案，单调递增，单调递减，定义域，答案D，答案A，答案C，1＋∞，－∞2等内容，欢迎下载使用。

必 备 知 识1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的________；第2步，求出导数f′(x)的________；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
【常用结论】1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
2．(教材改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析：由导函数的图象可知函数在(－∞，0)上是先减后增，在(0，＋∞)上先增后减再增．故选D.
3．(教材改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为_________，单调递减区间为________．
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
问题思考·夯实技能【问题1】　请你说出导数的绝对值与函数值变化的关系？   【问题2】　f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件，那么f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件是什么？   
　答案：一般地，如果一个函数在某一个范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
答案：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)
(－∞，－1)，(－1，＋∞)
题后师说确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
(2)函数f(x)＝e－xcs x，x∈(0，π)的单调递减区间为________．
题后师说(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
巩固训练2　已知函数f(x)＝mex－x，m∈R，试讨论函数f(x)的单调性．
解析：f′(x)＝mex－1，当m≤0时，f′(x)＝mex－1<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当m>0时，令f′(x)＝0，得x＝－ln m，当x<－ln m时，f′(x)<0，当x>－ln m时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增，综上，当m≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当m>0时，f(x)在(－∞，－ln m)上单调递减，在(－ln m，＋∞)上单调递增．
解析：∵y＝x2，y＝cs x均为偶函数，故函数f(x)为偶函数，f′(x)＝－2x＋sin x，令g(x)＝f′(x)则g′(x)＝－2＋cs x，∵cs x∈[－1，1]，∴g′(x)<0，即g(x)＝f′(x)在R上单调递减，又∵f′(0)＝0，∴f′(x)<0在(0，＋∞)恒成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．f(x－1)>f(－1)⇔|x－1|<1⇔x∈(0，2)．故选C.
题后师说1.利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用单调性比较大小．2．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式．(构造函数的方法见下面专题课——函数中的构造问题)
(2)[2024·天津南开中学模拟]已知定义在(0，＋∞)的函数f(x)满足任意x>0，xf′(x)－f(x)<0成立，且f(1)＝2，则不等式f(x)<2x的解集为__________．
角度二　根据函数的单调性求参数范围例4已知函数f(x)＝x2－a ln x＋1在[1，2]内单调递增，则实数a的取值范围是________．
【变式练习1】　已知函数f(x)＝x2－a ln x＋1在[1，2]内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
题后师说根据函数的单调性求参数的策略
1．函数f(x)＝xex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，由f′(x)>0，得x>－1，所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．故选D.
3．[2024·江苏扬州模拟]若函数f(x)＝cs x－ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：函数f(x)＝cs x－ax定义域为R，且f′(x)＝－sin x－a，依题意f′(x)≤0恒成立，－sin x－a≤0恒成立，即a≥－sin x恒成立，又－1≤－sin x≤1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选A.
4．已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(x＋1)＋f(1－4x)>0的解集是________．