高中数学5.4 三角函数的图象与性质课后测评

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1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.

②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【方法点拨】
正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函数y=10sinx与函数y=x的图像的交点个数是（ ）
A．3B．6C．7D．9
【解题思路】作出函数y=10sinx和y=x的图象，由图象可得交点个数，
【解答过程】y=10sinx的最小正周期是2π，y=10sinx∈[−10,10]，
y=x∈[−10,10]时，x∈[−10,10]，作出函数y=10sinx和y=x的图象，只要观察x∈[−10,10]的图象，由图象知它们有7个交点，
故选：C．
【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y=|sinx|B．y=sin|x|
C．y=−|sinx|D．y=−sin|x|
【解题思路】判断各选项中函数在区间0,π或π,2π上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【解答过程】对于A选项，当00，A选项不满足条件；
对于B选项，当00，B选项不满足条件；
对于C选项，当π对于D选项，令fx=−sinx，该函数的定义域为R，
f−x=−sin−x=−sinx=fx，故函数y=−sinx为偶函数，
当0故选：D.
【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数y=csx,x∈[0,2π)的图象来看，当x∈[0,2π)时，对于csx=−32的x有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解题思路】画出y=csx,x∈[0,2π)和y=−32的图象，看它们有几个交点即可.
【解答过程】先画出f(x)=csx，x∈[0,2π)的图象，即A与D之间的部分，
再画出g(x)=−32的图象，如下图：
由图象可知它们有2个交点B、C，
所以当x∈[0,2π)时，csx=−32的x的值有2个.
故选：C.
【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在x∈0,2π上，满足csx>sinx的x的取值范围（ ）
A．π4,5π4B．0,π4C．0,π4∪5π4,2πD．5π4,2π
【解题思路】作出y=sinx和y=csx在x∈0,2π的函数图象，数形结合即可求出.
【解答过程】作出y=sinx和y=csx在x∈0,2π的函数图象，
根据函数图象可得满足csx>sinx的x的取值范围为0,π4∪5π4,2π.
故选：C.
【题型2 定义域、值域与最值问题】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数f(x)=sin(2x+π6)，x∈[0,π2]的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1B．12，−12C．1，12D．1，−12
【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.
【解答过程】由题设，2x+π6∈[π6,7π6]，故f(x)=sin(2x+π6)∈[−12,1]，
所以f(x)最大值和最小值分别为1，−12.
故选：D.
【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tanx+π4的定义域为（ ）
A．x|x≠kπ+π4,k∈ZB．x|x≠2kπ+π4,k∈Z
C．x|x≠kπ−π4,k∈ZD．x|x≠kπ,k∈Z
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z，所以x≠kπ+π4,k∈Z.
故f(x)的定义域为x|x≠kπ+π4,k∈Z.
故选：A.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=sin(2x+π3)在−π3,π3上的值域为（ ）
A．0,1 B．−32,0
C．−32,1D．−1,1
【解题思路】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【解答过程】当x∈−π3,π3时，2x+π3∈−π3,π，当2x+π3=π2时，即x=π12 时，fx=sin(2x+π3)取最大值1，当2x+π3=−π3，即x=−π3 时，fx=sin(2x+π3)取最小值大于−32 ，
故值域为−32,1
故选：C.
【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数f(x)=cs(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,π))在区间[−π3,π4]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ）
A．[2,6)B．[2,92)C．[32,92)D．[32,6)
【解题思路】由f(x)为奇函数且φ∈(0,π)得φ=π2，由已知有ωx∈[−ωπ3,ωπ4]，根据正弦型函数的性质及最值分布列不等式组，求参数范围.
【解答过程】由f(x)为奇函数，则φ=kπ+π2，k∈Z，又φ∈(0,π)，故φ=π2，
所以f(x)=−sinωx，在x∈[−π3,π4]，则ωx∈[−ωπ3,ωπ4]，ω>0，
当0<ωπ4<π2，则−5π2<−ωπ3≤−3π2，故ω无解；
当π2≤ωπ4<3π2，则−3π2<−ωπ3≤−π2，可得2≤ω<92；
当−π2<−ωπ3<0，则3π2≤ωπ4<5π2，无解.
综上，ω的取值范围是[2,92).
故选：B.
【题型3 单调性问题】
【方法点拨】
单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与
性质进行求解即可.
【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数fx=2sin3x−π6单调递减的是（ ）
A．π,10π9B．2π3,πC．2π9,2π3D．π9,π2
【解题思路】利用代入检验的方式，分别得到3x−π6的范围，结合正弦函数的单调性可得结论.
【解答过程】对于A，当x∈π,10π9时，3x−π6∈17π6,19π6，此时fx单调递减，A正确；
对于B，当x∈2π3,π时，3x−π6∈11π6,17π6，此时fx先增后减，B错误；
对于C，当x∈2π9,2π3时，3x−π6∈π2,11π6，此时fx先减后增，C错误；
对于D，当x∈π9,π2时，3x−π6∈π6,4π3，此时fx先增后减，D错误.
故选：A.
【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数fx=1+2sinωxω>0，若fx在π6,π4上为增函数，则ω的取值范围为（ ）
A．0,12B．0,2C．9,10D．0,2∪9,10
【解题思路】由2kπ−π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z可得2kπω−π2ω≤x≤2kπω+π2ωk∈Z，然后结合条件可建立不等式求得12k−3≤ω≤8k+2，然后可分析出答案.
【解答过程】令2kπ−π2≤ωx≤2kπ+π2k∈Z，整理得2kπω−π2ω≤x≤2kπω+π2ωk∈Z，
故2kπω−π2ω≤π62kπω+π2ω≥π4，解得12k−3≤ω≤8k+2，k∈Z，
∵ω>0，∴k＝0时，0<ω≤2；k＝1时，9≤ω≤10；
k≥2时，∵12k−3>8k+2，故k≥2不符合题意．综上所述，ω∈0,2∪9,10．
故选：D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数fx=tanπ2x+π4的单调递增区间为（ ）
A．2k−32,2k+12，k∈ZB．4k−32,4k+12，k∈Z
C．k−32,k+12 ，k∈ZD．2k−52,2k+32 ，k∈Z
【解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令−π2+kπ<π2x+π4【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求fx=tanπ2x+π4的单调增区间，
令−π2+kπ<π2x+π4所以函数fx的单调递增区间为2k−32,2k+12，k∈Z，
故选：A.
【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数fx=2csωx+π4 ω>0在π2,3π4上单调递减，则ω的最大值为（ ）
A．1B．114C．113D．4
【解题思路】根据题意得3π4-π2=π4≤12T=πω，即0<ω≤4，再根据ωx+π4∈π2ω+π4,3π4ω+π4，y=csx的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z得π2ω+π4≥2kπ3π4ω+π4≤π+2kπ，解得-12+4k≤ω≤1+83k,k∈Z，进而得当k=1时，72≤ω≤113即可得答案.
【解答过程】因为函数f(x)=2csωx+π4(ω>0)在π2,3π4上单调递减，
所以3π4-π2=π4≤12T=πω，所以0<ω≤4.
所以x∈π2,3π4,ωx+π4∈π2ω+π4,3π4ω+π4
因为y=csx的单调递减区间为2kπ,π+2kπ,k∈Z，
所以π2ω+π4≥2kπ3π4ω+π4≤π+2kπ，解得-12+4k≤ω≤1+83k,k∈Z，
由于-12+4k≤1+83k,k∈Z，故k≤98,k∈Z.
所以当k=1时，得ω的最大区间：72≤ω≤113.
故ω的最大值是113.
故选：C.
【题型4 奇偶性与对称性问题】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A．fx=sinπ+xB．fx=csπ2−x
C．fx=tanπ−xD．fx=sinπ2+x
【解题思路】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.
【解答过程】对于A，f(x)=sin(π+x)=−sinx为奇函数，故A不正确；
对于B，f(x)=csπ2−x=sinx为奇函数，故B不正确；
对于C，fx=tanπ−x =−tanx为奇函数，故C不正确；
对于D，fx=sinπ2+x =csx为偶函数，故D正确.
故选：D.
【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sinx+π4+φ是偶函数，则tanφ的值为（ ）
A．−1B．1C．1或-1D．22
【解题思路】由函数为偶函数得到π4+φ=π2+kπ，求出φ的值，代入后用诱导公式即可得到结果.
【解答过程】由函数fx=2sinx+π4+φ得，π4+φ=π2+kπ，φ=π4+kπ，其中k∈Z，
tanφ=tanπ4+kπ=tanπ4=1.
故选：B.
【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（π2，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinxB．csxC．sinx+1D．csx+1
【解题思路】判断各选项中函数是否有对称中心(π2,0)即可得．
【解答过程】四个选项中函数都是连续函数，x=π2代入函数式，只有B选项函数值为0，其他三个均不为0，
由余弦函数性质知，B正确．
故选：B．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx=2cs2x+φ的图象关于点5π6,0中心对称，则φ的最小值为（ ）
A．7π6B．5π6C．π3D．π6
【解题思路】利用5π6,0为对称中心，列出方程，求出φ=−7π6+kπ，k∈Z，求出φ的最小值.
【解答过程】由题意得：2×5π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得：φ=−7π6+kπ，k∈Z，
所以φ=−7π6+kπ，k∈Z，
当k=1时，φ取得最小值为π6.
故选：D.
【题型5 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
【例5】在函数y=sin2x,y=sinx,y=csx,y=tanx2中，最小正周期为π的函数是（ ）
A．y=sin2xB．y=sinxC．y=csxD．y=tanx2
【解题思路】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.
【解答过程】由正弦函数性质，y=sin2x的最小正周期为2π2=π，y=sinx的最小正周期为2π；
由余弦函数性质，y=csx的最小正周期为2π；
由正切函数性质，y=tanx2的最小正周期为π12=2π.
综上，最小正周期为π的函数是y=sin2x.
故选：A.
【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数fx=sinωx−π3ω>0的最小正周期为π，则（ ）
A．f2C．f−2【解题思路】由周期性得ω，再由对称性与单调性判断，
【解答过程】因为fx的最小正周期为π，所以ω=2，
令2x−π3∈[−π2,π2]得x∈[−π12,5π12]，
即fx在[−π12,5π12]上单调递增，同理得在[5π12,11π12]上单调递减，
−π12<0<−2+π<5π12<2<11π12
而−2+π−5π12=24−7π12，2−5π12=24−5π12，5π12>24−5π12>24−7π12，
由三角函数性质得f0故选：D.
【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：
①y=cs2x；②y=csx；③y=cs2x+π6；④y=tan2x−π4．
其中最小正周期为π的有（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【解题思路】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.
【解答过程】对于①，y=cs2x=cs2x，其最小正周期为π;
对于②，结合图象，知y=csx的最小正周期为π．
对于③，y=cs2x+π6的最小正周期T=2π2=π．
对于④，y=tan2x−π4的最小正周期T=π2．
故选：A．
【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间π2,π上单调递增，且最小正周期为π的是（ ）
A．y=−sin2xB．y=csxC．y=sinxD．y=sinx2
【解题思路】根据正弦、余弦函数的性质计算可得；
【解答过程】解：y=−sin2x在区间π2,π上不单调，A不符合题意.
y=csx在区间π2,π上单调递增，且最小正周期为π，B符合题意.
y=sinx在区间π2,π上单调递减，C不符合题意.
y=sinx2的最小正周期为4π，D不符合题意.
故选：B.
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：
1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数fx=2sinπ6+ωx(ω<0)的最小正周期π．
(1)求函数fx单调递增区间；
(2)若函数gx=fx−m在0,π2上有零点，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由最小正周期求得ω，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求f(x)在[0,π2]上的值域．
【解答过程】（1）因为函数fx=2sinπ6+ωx(ω<0)的最小正周期π，
所以T=2πω=π，由于ω<0，所以ω=−2．
所以fx=2sinπ6−2x=−2sin2x−π6，
所以函数fx单调递增区间，只需求函数y=2sin2x−π6的单调递减区间，
令π2+2kπ⩽2x−π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ,k∈Z，
所以函数fx单调递增区间为π3+kπ,5π6+kπ,k∈Z．
（2）因为函数gx=fx−m在0,π2上有零点，
所以函数y=fx的图像与直线y=m在0,π2上有交点，
因为x∈0,π2,2x−π6∈−π6,5π6，
故函数fx在区间0,π2上的值域为−2,1
所以当m∈−2,1时，函数y=fx的图像与直线y=m在0,π2上有交点，
所以当m∈−2,1时，函数gx=fx−m在0,π2上有零点．
【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ<π2）的图象关于直线x=π4对称：
(1)若fx的最小正周期为2π，求fx的解析式；
(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在7π18,5π9上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出ω和φ，可得函数的解析式；
（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出ω的取值集合.
【解答过程】（1）
∵函数fx=sin(ωx+φ)，ω>0,φ<π2的图象关于直线x=π4对称，
最小正周期为2π，∴2πω=2π，ω×π4+φ=kπ+π2，k∈Z，
求得ω=1，φ=π4，函数fx=sin(x+π4).
（2）
若x=−π4是fx的零点，由于fx的图象关于直线x=π4对称，
则π4−−π4=(2n+1)×(14×2πω)，n∈Z①，
根据fx在7π18,5π9上单调，有12×2πω≥5π9−7π18②，
由②可得ω≤6，由①可得ω=2n+1，所以ω=1,3,5，
故ω的取值集合为：1,3,5.
【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2的图象经过点−π4,0.
(1)若fx的最小正周期为2π，求fx的解析式；
(2)若∀x∈R，fx+π4=fπ4−x，是否存在实数ω，使得fx在7π18,5π9上单调？若存在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据最小正周期为2π得到ω，再根据fx的图象过点−π4,0，得到φ，即可得到fx的解析式；
（2）根据fx+π4=fπ4−x得到x=π4是fx的一条对称轴，代入得到π4ω+φ=k2π+π2，k2∈Z，再根据fx的图象过点−π4,0得到−π4ω+φ=k1π，k1∈Z，联立得到ω=2n+1(n∈N)，根据fx在7π18,5π9上单调得到ω≤6，最后验证fx在7π18,5π9上是否单调即可得到ω的取值集合.
【解答过程】（1）
因为fx的最小正周期为2π，所以2π|ω|=2π.
因为ω>0，所以ω=1.
因为fx的图象经过点−π4,0，所以−π4+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+π4，k∈Z.因为|φ|≤π2，所以φ=π4.
故fx=sinx+π4.
（2）
因为∀x∈R，fx+π4=fπ4−x，所以直线x=π4为fx图象的对称轴，
又fx的图象经过点−π4,0.
所以−π4ω+φ=k1π①，π4ω+φ=k2π+π2②，k1,k2∈Z.
②-①得π2ω=k2−k1π+π2，所以ω=2k2−k1+1
因为k1,k2∈Z，ω>0，所以ω=2n+1(n∈N)，即ω为正奇数.
因为fx在7π18,5π9上单调，所以5π9−7π18=π6≤T2，即T=2πω≥π3，解得ω≤6.
当ω=5时，−5π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时fx=sin5x+π4.
令t=5x+π4∈79π36,109π36，g(t)=sint.
g(t)在79π36,5π2上单调递增，在5π2,109π36上单调递减，
故fx在7π18,5π9上不单调，不符合题意；
当ω=3时，−3π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=−π4，此时fx=sin3x−π4.
令t=3x−π4∈11π12,17π12，g(t)=sint.
g(t)在11π12,17π12上单调递减，
故fx在7π18,5π9上单调，符合题意；
当ω=1时，−π4+φ=kπ，k∈Z.
因为|φ|≤π2，所以φ=π4，此时fx=sinx+π4.
令t=x+π4∈23π36,29π36，g(t)=sint.
g(t)在23π36,29π36上单调递减，
故fx在7π18,5π9上单调，符合题意，
综上，存在实数ω，使得fx在7π18,5π9上单调，且ω的取值集合为1,3.
【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数fx=Acsωx+φ+3(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1，最小正周期为π，且fx的图象关于直线x=π3对称.
(1)求fx的解析式；
(2)将曲线y=fx向左平移π12个单位长度，得到曲线y=gx，求曲线y=gx的对称中心的坐标.
【解题思路】（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出ω=A=2，再根据函数图象关于x=π3对称，结合0<φ<π，求出φ=π3，从而求出函数解析式；
（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.
【解答过程】（1）
依题意可得3−A=12πω=π
解得ω=A=2，
则fx=2cs2x+φ+3，因为fx的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπk∈Z，
又0<φ<π，所以φ=π3.
故fx=2cs2x+π3+3.
（2）
依题意可得gx=fx+π12=2cs2x+π3+π6+3=−2sin2x+3，
令2x=kπk∈Z，得x=kπ2k∈Z，
故曲线y=gx的对称中心的坐标为kπ2,3k∈Z.