人教A版 (2019)必修 第一册5.2.1 三角函数的概念当堂达标检测题

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1．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；
②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离
为r.则=，=，=.

2．三角函数的定义域和函数值的符号
(1)三角函数的定义域
(2)三角函数值在各象限的符号
由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知
①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；
②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；
③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.
因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.
3．诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
由此得到一组公式(公式一)：
4．同角三角函数的基本关系
(1)同角三角函数的基本关系
(2)基本关系式的变形公式
【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】
【方法点拨】
解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.
【例1】（2022·广东·高一开学考试）已知角α的终边经过点M1,2，则csα=（ ）
A．63B．33C．2D．3
【解题思路】利用三角函数的定义可求得csα的值.
【解答过程】由三角函数的定义可得csα=11+2=33.
故选：B.
【变式1-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则x=（ ）
A．−3B．−4C．−6D．−10
【解题思路】由任意角的三角函数定义即可求解
【解答过程】因为Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，
所以sinα=8x2+82=45，解得x=±6，
因为α是第二象限角，所以x=−6，
故选：C.
【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点P−4m,3mm≠0，则2sinα+csα的值为（ ）
A．−35B．25C．1或−25D．25或−25
【解题思路】先求得点P与原点间的距离r=5m，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分m>0，m<0两种情况讨论求解.
【解答过程】由题意可得：点P与原点间的距离r=−4m2+3m2=5m，
∴sinα=3m5m,csα=−4m5m.
当m>0时，则sinα=35,csα=−45，故2sinα+csα=25；
当m<0时，则sinα=−35,csα=45，故2sinα+csα=−25.
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A−1,y是角θ终边上一点，且sinθ=−31010，则y=（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
【解题思路】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.
【解答过程】解：因为sinθ=−31010<0，A−1,y是角θ终边上一点，所以y<0，
由三角函数的定义，得yy2+1=−31010，解得y=−3（正值舍去）.
故选：B.
【题型2 三角函数值在各象限的符号】
【方法点拨】
对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的
符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三
角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（ ）
A．sinα<0B．tanα>0C．csα<0D．sinαcsα>0
【解题思路】根据三角函数在各象限的符号求解即可.
【解答过程】因为α为第二象限角，
所以sinα>0,csα<0,tanα<0，故ABD错误，C正确.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限的角，则1−cs2α的值为（ ）
A．sinαB．−sinαC．±sinαD．csα
【解题思路】根据α所在的象限，可以定sinα的符号
【解答过程】因为α为第二象限角，所以sinα>0
所以1−cs2α=sin2α=sinα=sinα
故选：A.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据三角函数的正负，确定角θ所在的象限.
【解答过程】sinθ<0，则角θ在第三，四象限，tanθ<0，则角θ在第二，四象限，
所以满足sinθ<0且tanθ<0，角θ在第四象限.
故选：D.
【变式2-3】（2022·北京高一期中）设α是第一象限的角，且csα2=csα2，则α2所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】由α的范围进而得出α2的范围，结合csα2≥0即可得出结果.
【解答过程】因为α是第一象限的角，所以2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
所以kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，即α2为第一或第三象限角，
又因为csα2=csα2，即csα2≥0，所以α2所在的象限是第一象限，
故选：A.
【题型3 诱导公式一的应用】
【方法点拨】
1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.
2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数，实现了“负
化正，大化小”.
【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：3cs420°+tan330°+sin−60°．
【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得；
【解答过程】解：3cs420°+tan330°+sin−60°
=3cs360°+60°+tan360°−30°−sin60°
=3cs60°−tan30°−sin60°
=3×12−33−32
=−33.
【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：
(1)tan405°−sin450°+cs750°；
(2)sin25π3+tan−15π4.
【解题思路】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；
【解答过程】(1)
解：tan405°−sin450°+cs750°
=tan360°+45°−sin360°+90°+cs2×360°+30°
=tan45°−sin90°+cs30°=1−1+32=32；
(2)
解：sin25π3+tan−15π4
=sinπ3+4×2π+tanπ4−2×2π
=sinπ3+tanπ4
=32+1.
【变式3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：
(1)sin760∘1−cs240∘；
(2)tanα1sin2α−1（其中α是第二象限角）.
【解题思路】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得结果；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简可得结果.
【解答过程】(1)
解：sin760∘1−cs240∘=sin2×360∘+40∘sin40∘=sin40∘sin40∘=1.
(2)
解：∵α为第二象限角，则sinα>0，csα<0，
则tanα1sin2α−1=tanα1−sin2αsin2α=sinαcsα⋅−csαsinα=−1.
【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：
(1)cs25π3＋tan−15π4；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cs 420°.
【解题思路】三角函数诱导公式的一个很大作用是把一个角的三角函数值转化为某个相关锐角的三角函数值，以便于化简或求值.
【解答过程】(1)
cs25π3＋tan−15π4 =cs(8π+π3)+tan(−4π+π4)
=csπ3+tanπ4=12+1=32；
(2)
sin810∘＋tan1125∘＋cs420∘
=sin(2×360∘+90∘)+tan(3×360∘+45∘)+cs(360∘+60∘)
=sin90∘+tan45∘+cs60∘=1+1+12=52.
【题型4 根据同角三角函数的基本关系求值】
【方法点拨】
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；
第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.
【例4】（2022·江西省高三阶段练习（理））已知tanα=−2，则sinα−3csαsinα+csα=（ ）
A．−7B．−53C．−13D．5
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.
【解答过程】解：因为tanα=−2，所以sinα−3csαsinα+csα=tanα−3tanα+1==−2−3−2+1=5.
故选：D.
【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知sinα−csα=12，则sinα1−tanα的值为（ ）
A．−34B．34C．−316D．316
【解题思路】先把已知的等式平方得到sinαcsα=38，再化简代入即得解.
【解答过程】由sinα−csα=12，
所以1−2sinαcsα=14，
∴sinαcsα=38，
所以sinα1−tanα=sinα1−sinαcsα=sinαcsαcsα−sinα=−34.
故选：A．
【变式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+csα=15，且α∈0,π，sinα−csα=（ ）
A．±75B．−75C．75D．4925
【解题思路】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sinαcsα的值，结合α的范围确定sinα与csα的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得sinα−csα的值.
【解答过程】因为sinα+csα=15，两边平方得sinα+csα2=1+2sinαcsα=125，
故2sinαcsα=−2425<0，所以sinα与csα导号，
又因为0<α<π，所以sinα>0，csα<0，
所以sinα−csα=sinα−csα2=1−2sinαcsα=1−−2425=75.
故选：C.
【变式4-3】（2022·山东·高二阶段练习）已知tanθ=2,则csθ−sinθsinθ+csθ的值为（ ）
A．−13B．13C．−3D．3
【解题思路】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以csθ,将弦化切,代入求解即可.
【解答过程】∵ tanθ=2,
∴ csθ−sinθsinθ+csθ=1−tanθtanθ+1=1−21+2=−13.
故选:A.
【题型5 三角函数式的化简】
【方法点拨】
1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽
可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.
2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目
的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分
解或构造，以降低次数，达到化简的目的.
【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知csα+2sinα=0求1−2cs2αsin2α−sinαcsα的值；
（2）已知sinβ+csβ=23，且β为第四象限角，求sinβ−csβ的值.
【解题思路】（1）先求出tanα=−12，进而由1=sin2α+cs2α，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含tanα的式子，从而得解
（2）由(sinβ+csβ)2+(sinβ−csβ)2=2，结合角的范围可得解.
【解答过程】（1）由csα+2sinα=0，得−csα=2sinα，
所以tanα=−12，
1−2cs2αsin2α−sinαcsα=sin2α+cs2α−2cs2αsin2α−sinαcsα=sin2α−cs2αsin2α−sinαcsα
=tan2α−1tan2α−tanα=14−114+12=−1.
（2）(sinβ+csβ)2+(sinβ−csβ)2=2，
所以(sinβ−csβ)2=2−(sinβ+csβ)2=149，
又β为第四象限角，所以sinβ<0,csβ>0，
所以sinβ−csβ=−143.
【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知3sin2α−4sinαcsα+1=0．
(1)求tanα的值；
(2)求sinαcsα1+cs2α的值．
【解题思路】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求tanα=12.
（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.
【解答过程】（1）
解法一：∵sin2α+cs2α=1，3sin2α− 4sinαcsα+1=0，
∴3sin2α−4sinαcsαsin2α+cs2α+1=0，
分子分母同时除以cs2α，得3tan2α−4tanαtan2α+1+1=0，
即(2tanα−1)2=0，解得tanα=12．
解法二：∵3sin2α−4sinαcsα+1=0，∴4sin2α−4sinαcsα+cs2α=0，
即(2sinα−csα)2=0，∴2sinα−csα=0
∴tanα=12．
（2）
∵tanα=12，∴sinαcsα1+cs2α=sinαcsαsin2α+2cs2α=tanαtan2α+2=29．
【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tanα=2，求下列各式的值.
(1)1sinαcsα；
(2)11−sinα+11+sinα.
【解题思路】（1）利用1=sin2α+cs2α和tanα=sinαcsα将原式化简计算即可，
（2）通分化简后，再利用1=sin2α+cs2α和tanα=sinαcsα化简计算
【解答过程】（1）
因为tanα=2
所以原式=sin2α+cs2αsinαcsα=tan2α+1tanα=52
（2）
因为tanα=2，
所以11−sinα+11+sinα
=1+sinα+1−sinα(1−sinα)(1+sinα)
=21−sin2α
=2cs2α=2sin2α+cs2αcs2α=2tan2α+2=10.
【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3π4<α<π， tanα＋1tana=−103.
(1)求tanα的值；
(2)求sinα+csαsinα−csα的值；
(3)求2sin2α−sinαcsα−3cs2α .的值
【解题思路】（1）根据tanα＋1tana=−103可得3tan2α＋10tana+3=0，解方程并结合角的范围求得tanα；
（2）利用弦化切，将sinα+csαsinα−csα化为tanα+1tanα−1，可得答案；
（3）利用1=sin2α+cs2α，将2sin2α−sinαcsα−3cs2α化为2sin2α−sinαcsα−3cs2αsin2α+cs2α，继而化为2tan2α−tanα−3tan2α+1，求得答案.
【解答过程】（1）
由tanα＋1tana=−103得3tan2α＋10tana+3=0，
解得tanα=−3或−13 ，
因为3π4<α<π，故−1（2）
sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=−13+1−13−1=−12；
（3）
2sin2α−sinαcsα−3cs2α=2sin2α−sinαcsα−3cs2αsin2α+cs2α
=2tan2α−tanα−3tan2α+1=2(−13)2+13−3(−13)2+1=−115.
【题型6 三角恒等式的证明】
【方法点拨】
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.
【例6】（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)(1−csαsinα+1sinα)(1−tanα+1csα)=2；
(2)sinα(1+tanα)+csα(1+1tanα)=1sinα+1csα.
【解题思路】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.
【解答过程】（1）
(1−csαsinα+1sinα)(1−tanα+1csα) =(1−csαsinα+1sinα)(1−sinαcsα+1csα)
=sinα−csα+1sinα⋅csα−sinα+1csα =1−(sinα−csα)2sinα⋅csα
=1−1+2sinα⋅csαsinα⋅csα=2.
所以原式成立.
（2）
sinα(1+tanα)+csα(1+1tanα) =sinα(1+sinαcsα)+csα(1+csαsinα) =sinα+sin2αcsα+csα+cs2αsinα =sinα+csα+1−cs2αcsα+1−sin2αsinα =sinα+csα+1csα−csα+1sinα−sinα =1sinα+1csα.
所以原式成立.
【变式6-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：
(1)1−2sinxcsxcs2x−sinx2=1−tanx1+tanx
(2)tan2α−sin2α=tan2α⋅sin2α
【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
【解答过程】(1)
左边=csx−sinx2csx−sinxcsx+sinx=csx−sinxcsx+sinx=1−tanx1+tanx=右边.
即证1−2sinxcsxcs2x−sinx2=1−tanx1+tanx.
(2)
左边=sin2αcs2α−sin2α=sin2α−sin2αcs2αcs2α=sin2α1−cs2αcs2α
=tan2αsin2α=右边.
即证：tan2α−sin2α=tan2α⋅sin2α.
【变式6-2】（2021·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cs4α＝1﹣2sin2αcs2α
【解题思路】利用同角三角函数平方关系进行证明，利用等式左边完全平方公式变形，计算得到结果与右边相等
【解答过程】证明：左边＝（sin2α+cs2α）2﹣2sin2αcs2α＝1﹣2sin2αcs2α＝右边，
则sin4α+cs4α＝1﹣2sin2αcs2α．
【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：
(1)sinα−csα+1sinα+csα−1＝1+sinαcsα；
(2)2sin6θ+cs6θ−3sin4θ+cs4θ+1=0
【解题思路】（1）将左边化为sinα−csα+1sinα+csα+1sinα+csα−1sinα+csα+1，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明；
（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.
【解答过程】（1）
左边=sinα−csα+1sinα+csα+1sinα+csα−1sinα+csα+1=sinα+12−cs2αsinα+csα2−1
=sin2α+2sinα+1−cs2α2sinαcsα=2sin2α+2sinα2sinαcsα=sinα+1csα=右边.
（2）
左边=2sin2θ+cs2θsin4θ+cs4θ−sin2θcs2θ−3sin2θ+cs2θ2−2sin2θcs2θ+1 =2sin4θ+cs4θ−sin2θcs2θ−31−2sin2θcs2θ+1
=2sin2θ+cs2θ2−3sin2θcs2θ−31−2sin2θcs2θ+1
=21−3sin2θcs2θ−31−2sin2θcs2θ+1=0=右边.