高中人教A版 (2019)3.3 幂函数巩固练习

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1．幂函数的概念
(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征：
①xα的系数为1；
②xα的底数是自变量；
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件，才是幂函数.
2．常见幂函数的图象与性质
温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
3．一般幂函数的图象与性质
(1)一般幂函数的图象：
①当α=1时，y=x的图象是一条直线.
②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.
③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：
(2)一般幂函数的性质：
通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：
①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).
②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.
③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.
⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
4．对勾函数的图象与性质
参考幂函数的性质，探究函数的性质.
(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.
(2)函数的定义域为；
(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函数为奇函数.
(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在
(-1,0)，(0,1)上单调递减.
【题型1 幂函数的概念、解析式】
【方法点拨】
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2022春•杨陵区校级期末）现有下列函数：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．
【解答过程】解：∵形如y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数，
∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件；
而②y=(12)x、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件；
显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件；
故其中幂函数的个数为2，
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，则f（4）的值为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．4
【解题思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值．
【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，
因为幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，所以3α=3，解得α=12．
所以f（x）=x，f（4）=4=2．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•榆林期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x2﹣1C．y＝x3D．y＝2x
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论．
【解答过程】解：根据形如y＝xα （α为常数）的函数为幂函数，
由选项可知，C符合．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，则函数f（x）的解析式是（ ）
A．f(x)=x43B．f(x)=x13C．f(x)=x−43D．f(x)=x23
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，
∴2a=316=234，解得a=43，∴f(x)=x43，
故选：A．
【题型2 幂函数的定义域、值域】
【方法点拨】
根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.
【例2】（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（ ）
A．y=x13B．y=(13)xC．y=x23D．y=(23)x
【解题思路】由题意，利用幂函数、指数函数的单调性和值域，得出结论．
【解答过程】解：在R上，函数y=x13=3x的值域为R，故A满足条件；
由于函数y=(13)x的值域为（0，+∞），故B不满足条件；
由于函数y=x23=3x2 的值域为[0，+∞），故B不满足条件；
由于函数y=(23)x的值域为（0，+∞），故D不满足条件；
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•吕梁期末）已知幂函数f（x）的图象过点(2，2)，则f（x）的定义域为（ ）
A．RB．（0，+∞）
C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【解题思路】先利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，从而得到f（x）的定义域．
【解答过程】解：设f（x）＝xα，
因为f（x）的图象过点(2，2)，
所以2α=2，解得α=12，
则f(x)=x，
所以f（x）的定义域为[0，+∞），
故选：C．
【变式2-2】（2021秋•广南县校级期中）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点(2，12)，则函数f（x）的值域为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，+∞）
【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，12），代入幂函数的解析式求得即可．
【解答过程】解：∵2α=12=2﹣1，
解得α＝﹣1，
∴f（x）=1x，
故函数的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•天山区校级期中）若幂函数y=(m2−2m−2)x−m2+m+3的定义域为{x∈R|x≠0}，则m的取值是（ ）
A．﹣1≤m≤3B．m＝﹣1或m＝3C．m＝﹣1D．m＝3
【解题思路】根据函数y是幂函数得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再验证是否满足定义域为{x∈R|x≠0}即可．
【解答过程】解：函数y=(m2−2m−2)x−m2+m+3是幂函数，
则m2﹣2m﹣2＝1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝3或m＝﹣1；
当m＝3时，﹣m2+m+3＝﹣3，幂函数y＝x﹣3的定义域为{x∈R|x≠0}，满足题意；
当m＝﹣1时，﹣m2+m+3＝1，幂函数y＝x的定义域为R，不满足题意；
所以m的值是3．
故选：D．
【题型3 幂函数的图象】
【方法点拨】
根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；
温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
②无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四
象限.
【例3】（2021秋•成都校级期中）幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 （ ）
A．a＞b＞c＞dB．d＞b＞c＞aC．d＞c＞b＞aD．b＞c＞d＞a
【解题思路】根据幂函数的性质结合函数的图象判断即可．
【解答过程】解：由图象得：b＞c＞d＞a，
故选：D．
【变式3-1】（2021秋•凉山州期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．y=x58
【解题思路】由题意，根据①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），从而得出结论．
【解答过程】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），
故选：D．
【变式3-2】（2021秋•湖北期末）幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【解答过程】解：设幂函数的解析式为y＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），
∴2＝4a，
解得a=12，
∴y=x，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y＝x的上方．对照选项．
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•徐汇区校级期中）如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取13、3、﹣3、−13这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（ ）
A．3，13，−13，﹣3B．﹣3，−13，13，3
C．−13，3，﹣3，13D．3，13，﹣3，−13
【解题思路】根据幂函数的图象与性质：图象越靠近x轴的指数越小，即可判断出．
【解答过程】解：根据幂函数的图象与性质，当x＞1时，图象越靠近x轴的指数越小，
因此相应于曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为3，13，−13，﹣3．
故选：A．
【题型4 比较幂值的大小】
【方法点拨】
(1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
(2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
(3)中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.
【例4】（2021秋•岳阳期中）设a=(34)12，b=(43)14，c=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【解题思路】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答过程】解：a=(34)12=(916)14＜1，
b=(43)14＞1，
c=(23)34=(827)14＜1；
且0＜827＜916＜1，函数y=x14在（0，+∞）上是单调增函数，
所以(827)14＜(916)14，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
【变式4-1】（2021秋•武昌区校级期末）已知幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，则下列两函数的大小关系为：（x2﹣2x+4）a（ ）（﹣3）a
A．≤B．≥C．＜D．＞
【解题思路】幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，解得a＝﹣2，从而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2−19≤0．由此能求出结果．
【解答过程】解：幂函数y＝xa的图象过点(3，19)，
∴3a=19，解得a＝﹣2，
∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2−19≤0．
∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．
故选：A．
【变式4-2】（2021•湖北开学）若a=(2)25，b=325，c=(12)25，d=(13)25，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞dB．b＞a＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．a＞b＞d＞c
【解题思路】由题意根据幂函数的单调性，得出结论．
【解答过程】解：∵a=(2)25，b=325，c=(12)25，d=(13)25，函数y=x25是（0，+∞）上的增函数，
3＞2＞12＞13，∴b＞a＞c＞d，
故选：C．
【变式4-3】（2021秋•香坊区校级期中）三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【解题思路】利用幂函数和指数函数的单调性即可求解．
【解答过程】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上为增函数，
∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，
∵a＝0.32＜0.30＝1，
∴c＞b＞a，
故选：B．
【题型5 利用幂函数的性质求参数】
【方法点拨】
①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值；
②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.
【例5】（2021秋•张掖期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m﹣4）•xm在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，
求得m＝﹣1，
故选：C．
【变式5-1】（2022春•延吉市校级期末）若函数y=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为（ ）
A．0B．1或2C．1D．2
【解题思路】利用幂函数的定义和性质列方程组，能求出m．
【解答过程】解：∵函数y=(m2−3m+3)xm2+2m−4为幂函数，且在（0，+∞）单调递减，
∴m2−3m+3=1m2+2m−4＜0，
解得m＝1．
故选：C．
【变式5-2】（2021秋•凌河区校级期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m−2在（0，+∞）上是减函数，则f（m）的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（m）的值．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m−2 在（0，+∞）上是减函数，则m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，
求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2=1x2，故f（m）＝f（﹣1）=1(−1)2=1，
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•广陵区校级月考）幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（ ）
A．﹣2B．0或2C．0D．2
【解题思路】根据幂函数的定义和性质求解．
【解答过程】解：由题意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，
又∵幂函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴2m﹣1＞0，∴m＝2，
故选：D．
【题型6 利用幂函数的性质解不等式】
【方法点拨】
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、
奇偶性等综合命题.求解步骤如下:
(1)确定可以利用的幂函数；
(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【例6】（2021秋•安徽期中）已知幂函数f（x）的图象经过点（13，9），且f（a+1）＜f（2），则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）
C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解题思路】由条件先求出f（x）的解析式，显然f（x）为偶函数，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），从而不等式转化为f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的单调性可得a的取值范围．
【解答过程】解：设f（x）＝xα，
因为图象过（13，9），
所以（13）α＝9，
所以α＝﹣2，
故f（x）=1x2，
因为f（x）为偶函数，
所以f（a+1）＝f（|a+1|），
所以由f（a+1）＜f（2），
得f（|a+1|）＜f（2），
当x≥0时，f（x）为减函数，
所以|a+1|＞2，
解得a＜﹣3或a＞1，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），
故选：D．
【变式6-1】（2021秋•迎江区校级期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）
C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解题思路】先由幂函数的定义和性质求出m的值，得到函数f（x）的解析式，再解不等式即可．
【解答过程】解：由幂函数的定义可知m2﹣2m﹣7＝1，
解得m＝﹣2或4，
又∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴m﹣2＞0，
∴m＝4，
∴f（x）＝x2，
由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，
∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，
∴a＜0或a＞2，
即实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），
故选：D．
【变式6-2】（2021秋•江苏月考）已知幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，且f（a+1）＜f（3），则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）D．（﹣4，2）
【解题思路】根据已知条件可求出α的值，得到函数f（x）的解析式，再利用函数f（x）的奇偶性和单调性求解．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图象经过点(12，4)，
∴4=(12)α，∴α＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2=1x2，
∴函数f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，
∵f（a+1）＜f（3），
∴|a+1|＞3，
解得：a＜﹣4或a＞2，
即a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
故选：C．
【变式6-3】（2021秋•雁塔区校级期中）已知f（x）=(m2−2m−7)xm−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围为（ ）
A．（﹣∞，0）B．（2，+∞）
C．（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解题思路】由幂函数的定义先求出m的值，得到函数f（x）的解析式，进而得到函数f（x）的单调性和奇偶性，根据函数的单调性和奇偶性求出满足f（a﹣1）＞1的实数a的范围即可．
【解答过程】解：∵f（x）=(m2−2m−7)xm−23是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，
∴m2−2m−7=1m−23＞0，
解得m＝4，
∴f（x）=x23=3x2，定义域为R，且是偶函数，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
又∵f（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，
∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，
解得a＜0或a＞2，
∴实数a的范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞），
故选：D．