浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理优秀课时练习

这是一份浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理优秀课时练习，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ( )
A. 35°B. 45°C. 55°D. 60°
2.如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110∘，延长BC到点D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15∘.过点A作AF⊥CE，垂足为F.若AF= 5，则AB的长为( )
A. 10B. 2 5C. 4D. 6
3.如果等腰三角形的一个外角为150∘，则它的底角度数为( )
A. 30∘B. 75∘C. 30∘或75∘D. 60∘
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30∘，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 75∘
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D，E.若CD=3，则BD的长为 ( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.典例3在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在边BC上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ( )
A. 80°B. 90°C. 130°D. 90°或130°
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC的面积为15，则BM+MD的最小长度为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4 cm，面积为16 cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点，则△CDM周长的最小值为 ( )
A. 6 cmB. 8 cmC. 9 cmD. 10 cm
10.若实数m，n满足|m−3|+ n−6=0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是 ( )
A. 12B. 15C. 12或15D. 16
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t= s时，△AMN为等腰三角形．
12.若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
13.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的度数是 ．
14.已知△ABC中，CA=CB，AD⊥BC交直线BC于点D，∠CAD=50°，则∠B的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，AD的延长线交BC于点E，求证：AE⊥BC．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．
18.(本小题8分)
已知：如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A>∠B．
(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠CAD−∠BAD=10°.求∠B和∠C的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.根据AB=AC，D为BC中点，可知AD是∠BAC的平分线，且∠B=∠C，∠BAD=35°，则∠BAC=70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
【解答】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
又∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=12×(180∘−∠BAC)=12×(180∘−70∘)=55∘．
故选C．
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】B
【解析】见答案
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
【解答】
解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
所以∠B=∠C=40°，
因为点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
所以如图1，
当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
所以∠ADC=130°，
如图2，
当∠ADB=90°时，则
∠ADC=90°．
综上所述，∠ADC的度数是130°或90°．
7.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或DA=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADC=60°+40°=100°，
∴∠EDC=100°−40°=60°，故④错误，
故选：C．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=DE或DA=DE，当AE=DE时，∠BAD=60°，求出∠EDC=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AD，交直线EF于点N，连接BN，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=15，BC=5，
∴AD=15×25=6．
由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴NA=NB，
∴当点M与点N重合时，BM+MD=BN+ND=AN+ND=AD，为最小值，
∴BM+DM的最小值为6．
故选：B．
连接AD，交直线EF于点N，连接BN.结合等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据三角形的面积公式可求出AD=6.由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，则NA=NB，可知当点M与点N重合时，BM+MD=AN+ND=AD，为最小值，即可得出答案．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】 提示：连接AD，AM.因为△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，所以AD⊥BC，所以S△ABC=12BC⋅AD=12×4⋅AD=16cm2，所以AD=8 cm.因为EF是线段AC的垂直平分线，所以AM=CM，所以CM+DM=AM+DM≥AD，所以AD的长为CM+DM的最小值，所以△CDM周长的最小值为(CM+DM)+CD=AD+12BC=10cm．
10.【答案】B
【解析】略
11.【答案】4或16
【解析】解：如图1，设点M、N运动x秒后，AN=AM，
由运动知，AN=12−2x，AM=x，
∴12−2x=x，
解得：x=4，
∴点M、N运动4秒后，△AMN是等腰三角形；
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB
∴△ACM≌△ABN(AAS)，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y−12，NB=36−2y，
∵CM=NB，
∴y−12=36−2y，
解得：y=16.故假设成立．
∴点M、N运动时间为4秒或16秒时，△AMN为等腰三角形．
故答案为：4或16．
分两种情况求解：如图1，由AN=AM，可列方程求解；如图2，首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点M和N的路程，理清线段之间的数量关系．
12.【答案】15
【解析】解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15.
故答案为：15.
因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】10°或100°
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图−作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．分两种情况画图，由作图可得AC=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：根据题意，补全图如下图所示；
①在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
∴∠ACB=180°−40°−80°=60°，
由作图可知：AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=12×(180°−80°)=50°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=60°−50°=10°；
②由作图可知：AC=AD′，
∴∠ACD′=∠AD′C，
∵∠ACD′+∠AD′C=∠BAC=80°，
∴∠AD′C=40°，
∴∠BCD′=180°−∠ABC−∠AD′C=180°−40°−40°=100°．
综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．
故答案为10°或100°．
14.【答案】70°或20°
【解析】解：①当∠C为锐角时，∠B=70°； ②当∠C为钝角时，∠B=20°．
15.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠CBE=90∘−∠C，∠CAD=90∘−∠C，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE=∠BAD．

【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
16.【答案】证明：在△ABD和△ACD中，
AB=ACAD=ADBD=CD
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC．
【解析】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质.由AB=AC，BD=CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD(SSS)，则可得∠BAD=∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．
17.【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90∘，
∴∠CBE=90∘−∠C，∠CAD=90∘−∠C，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠CBE=∠BAD．

【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
18.【答案】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．

∵AB=AC，
∴BP=CP；
∵AD=AE，
∴DP=EP，
∴BP−DP=CP−EP，
∴BD=CE．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
19.【答案】【小题1】
解：如图所示，DE即为所求．
【小题2】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.∴∠EAB=∠B=50°．
∴∠AEC=∠EAB+∠B=100°．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD.∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠ADB=2∠C=2∠CAD. 设∠C=α，则∠B=2α.∵∠CAD−∠BAD=10°，∴∠BAD=α−10°. 在△ABD中， ∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∴(α−10°)+2α+2α=180°，∴α=38°，∴∠B=76°，∠C=38°．
【解析】略