浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理精品达标测试

这是一份浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理精品达标测试，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在△ABC中，ED/​/BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.如图，AC与BD相交于点O，∠A=∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是 ( )
A. OA=ODB. AB=CD
C. ∠ABO=∠DCOD. ∠ABC=∠DCB
4.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE // BC交AB于点D，交AC于点E，且AB=5，AC=3，∠A=50°，则下列说法错误的是 ( )
A. △DBI和△EIC均是等腰三角形B. DI=1.5IE
C. △ADE的周长是8D. ∠BIC=115°
5.如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE//BC，分别交AB于点D，交AC于点E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB+AC.其中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
6.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作BC的平行线交AB于点D，交AC于点E，则△ADE的周长是 ( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.如图，AB//CD，∠BCD=90°，AB=2，CD=8，E为AD的中点，连接BE，∠CBE=45°，则BC的长为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C=60°，AD平分∠BAC交BC于D，AC=a，AB=b，BP⊥AD于P，则BP的长为( )
A. a−bB. a−b2C. a−b2D. a−b3
9.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论错误的是 ( )
A. ∠BAQ=40°B. DE=12BDC. AF=ACD. ∠EQF=25°
10.如图，已知∠A=36°，∠C=72°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED//BC交AB于点D，则图中等腰三角形的个数是 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 无法确定
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AC⊥BC于点C，AB=5，CD=3，则BC= ______．
12.如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F.若CD=3AE，AC=5，则CF= ．
13.如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1，B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=2，则△A4B4A5的边长是 ．
14.如图，D为△ABC的边BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点O，过点O作BC的平行线，分别交AB，AC于点E，F.若BE=5，CF=3，则EF= ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求∠F的度数．
(2)若CD=2，求DF的长．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF/​/AC交AD的延长线于点F.求证：AE=FE．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求△PDE的周长．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F.试判断△AFC的形状，并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A=36∘．
(1)在AC上作一点D，使AD=BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明);
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=45°，点D在边AB上，DC=AC，AE⊥DC，垂足为F，AE交BC于点E．
(1)用等式表示∠BAE与∠ACD之间的数量关系，并证明；
(2)求证：AE=DC．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，A、D是黄金三角形，C项过A点作BC的垂线即可，只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形． 此题的4个选项中D选项有点难度，所以此题属于中档题．
【解答】
A.作∠B的角平分线即可；
B.不能被一条直线分成两个小等腰三角形；
C.过A点作BC的垂线即可；
D.以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72°的角即可．
故选B．
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．
【解答】解：①∵IB平分∠ABC，
∴∠DBI=∠CBI，
∵DE/​/BC，
∴∠DIB=∠CBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴BD=DI，
∴△DBI是等腰三角形，
故本选项正确；
②∵∠BAC不一定等于∠ACB，
∴∠IAC不一定等于∠ICA，
∴△ACI不一定是等腰三角形，
故本选项错误；
③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴AI平分∠BAC，
故本选项正确；
④∵BD=DI，同理可得EI=EC，
∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC，
故本选项正确；
其中正确的是①③④，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质的有关知识，延长BE交CD于点F，利用平行线的性质得到∠A=∠D，然后利用全等三角形的判定和性质得到AB=DF=2，进而求出CF，然后利用等腰三角形的判定求解BC即可．
【解答】
解：延长BE交CD于点F，
∵AB/​/CD，E为AD的中点，
∴∠A=∠D，AE=DE，
在△ABE与△DFE中，
{∠A=∠DAE=DE∠AEB=∠DEF
∴ΔABE≌ΔDFE(ASA)，
∴AB=DF=2，
∴CF=CD−DF=8−2=6，
∵∠BCD=90°，∠CBE=45°，
∴∠CFB=90°−∠CBE=45°，
∴BC=CF=6．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
延长BP交AC于点E，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC，再根据垂直定义可得∠BPA=∠APE=90°，从而利用ASA证明△ABP≌△AEP，然后利用全等三角形的性质可得∠ABP=∠AEP，BP=EP，AB=AE，从而可得∠ABE=∠AEB，再利用三角形的外角性质可得∠AEB=∠EBC+∠C，从而可得∠ABC=2∠EBC+∠C，最后结合已知∠ABC=3∠C，可得∠EBC=∠C，从而可得EB=EC，进行计算即可解答
【解答】
解：延长BP交AC于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵BP⊥AD，
∴∠BPA=∠APE=90°，
∵AP=AP，
∴△ABP≌△AEP(ASA)，
∴∠ABP=∠AEP，BP=EP=12BE，AB=AE=b，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AC=a，
∴EC=AC−AE=a−b，
∵∠AEB是△BEC的一个外角，
∴∠AEB=∠EBC+∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠AEB+∠EBC=2∠EBC+∠C，
∵∠ABC=3∠C=60°，
∴∠EBC=∠C，
∴EB=EC=a−b，
∴BP=EP=12BE=a−b2 ．
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】C
【解析】略
11.【答案】1.4
【解析】解：延长AD与BC相交于点E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD(ASA)，
∴AB=BE=5，AD=DE，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=∠ACB=90°，
∴AD=CD=DE=12AE=3，
∴AE=2CD=6，
在Rt△ABD中，BD= AB2−AD2= 52−32=4，
∵△ABE的面积=12BE⋅AC=12AE⋅BD，
∴BE⋅AC=AE⋅BD，
∴5AC=6×4，
解得：AC=4.8，
在Rt△ABC中，BC= AB2−AC2= 52−4．82=1.4，
故答案为：1.4．
延长AD与BC相交于点E，先根据角平分线+垂直构造△ABD≌△EBD，从而可得AB=BE=5，AD=DE，再根据垂直定义可得∠ACE=∠ACB=90°，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得AD=CD=3，AE=2CD=6，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，从而利用面积法求出AC的长，最后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】如图，设AC与DE交于点G，AE=x.因为CD=3AE，所以CD=3x.因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，∠A=∠B=60°.因为DE⊥AB，所以∠AED=∠BED=90°，所以∠D=90°−∠B=30°，∠AGE=90°−∠A=30°，所以AG=2AE=2x.因为∠CGD=∠AGE=30°，所以∠D=∠CGD，所以CG=CD=3x，所以AB=BC=AC=AG+CG=5x，所以BE=AB−AE=4x.因为EF⊥BC，所以∠EFB=90°，所以∠BEF=90°−∠B=30°，所以BF=12BE=2x，所以CF=BC−BF=3x.因为AC=5，所以5x=5，解得x=1，所以CF=3．
13.【答案】16
【解析】略
14.【答案】2
【解析】略
15.【答案】【小题1】
30∘
【小题2】
4

【解析】1. 见答案
2. 见答案
16.【答案】解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，
∴∠BAD=∠CAD=90°−42°=48°；
(2)∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF/​/AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确识别图形是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD=∠CAD=90°−42°=48°；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠F=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠F，于是得到结论．
17.【答案】∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE．
∵PD//AB，PE//AC，
∴∠ABP=∠DPB，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠DPB，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，EC=PE．
∵BC=5cm，
∴△PDE的周长为PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．

【解析】见答案
18.【答案】解：△AFC是等腰三角形．理由如下：
∵在△ABD和△CBE中，
∠BAD=∠BCE∠B=∠BBD=BE
∴△ABD≌△CBE(AAS)，
∴AB=BC，
∵BE=BD，
∴AE=CD，
在△AEF和△CDF中，
∠AFE=∠CFD∠EAF=∠DCFAE=CD,
∴△AEF≌△CDF(AAS)，
∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【解析】略
19.【答案】(1)解：如图所示．
(2)证明：∵AB=AC，∠A=36∘，
∴∠C=12(180∘−∠A)=12×(180∘−36∘)=72∘．
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD．
∴∠BDC=2∠A=2×36∘=72∘．
∴∠BDC=∠C.
∴BD=BC．
∴△BCD是等腰三角形．

【解析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了等腰三角形的判定与性质．
20.【答案】【小题1】解： ∠BAE=12∠ACD ．
证明：∵DC=AC，
∴ ∠ADC=∠DAC=12180∘−∠ACD=90∘−12∠ACD ．
∵AE⊥DC，∴∠AFD=90°．
∴∠ADC+∠BAE=90°．
∴ ∠BAE=90∘−∠ADC=90∘−90∘−12∠ACD=12∠ACD ．
【小题2】
证明：∵AE⊥DC，∴∠CFE=90°.∴∠AEC+∠FCE=90°.∵ ∠AEC=∠B+∠BAE=
45∘+12∠ACD ，∴ ∠FCE=90∘−∠AEC=90∘−45∘+12∠ACD=45∘−12∠ACD .∴ ∠ACB=
∠FCE+∠ACD=45∘−12∠ACD+∠ACD=45∘+12∠ACD .∴∠AEC=∠ACB.∴AE=AC. 又∵DC=AC，∴AE=DC．

【解析】1. 本题考查等腰三角形的性质；
在等腰△ACD中用∠ACD表示∠ADC，再结合AE⊥CD，用∠ACD表示∠BAE，从而得到∠BAE与∠ACD的数量关系．
2. 本题考查等腰三角形的判定与性质；
通过角度计算先证AE=AC，再由DC=AC，等量代换得到AE=DC．