初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理精品同步练习题

这是一份初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理精品同步练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结AE，AF，则∠EAF的度数为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 35∘
2.如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB=90∘，AB=5cm，AC=3cm，现将△ABC折叠，使边AC与AB重合，折痕为AE，则CE的长为( )
A. 1 cmB. 2cmC. 32cmD. 52cm
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于D，则CD的长是( )
A. 5B. 7C. 125D. 245
4.学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在▵ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，解这个直角三角形．
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由∠B的度数，根据直角三角形的性质得到∠A的度数；
②由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数；
③由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值；
④由BC，AB的值，根据∠B的余弦值得到∠B的度数．
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是( )
A. ③④①B. ④①③C. ②①③D. ③②①
5.勾股定理最早出现在《周髀算经》:“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5; 5，12，13; 7，24，25;...这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10;8，15，17;...若此类勾股数的勾为2m(m>0,m为正整数)，则弦是(结果用含m的式子表示)( )
A. m2+1B. m2−1C. 2m+2D. 2m+3
6.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC= 5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的长为 ( )
A. 3B. 32C. 2D. 1
7.如图，把一张长为8 cm的长方形纸对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开后得到一个等腰梯形．若剪掉部分的面积为6 cm2，则打开后的等腰梯形的腰长为 ( )
A. 10 cmB. 13 cmC. 5 cmD. 15 cm
8.如图，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，则DE的长为 ( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.如图，有一块Rt▵ABC的纸片，∠ABC=90∘，AB=6，BC=8，将▵ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，连接ED，则BD的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6.
10.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由8个全等的直角三角形拼接而成．若记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3=15，则S2的值是 ( )
A. 3B. 154C. 5D. 152
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如果三角形的三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长为 ．
12.如图，A，C两点在数轴上，点C表示的数是1，B是数轴上方一点，且BC=AC，过点B作数轴的垂线．若垂线段的长是1，垂足表示的数是−1，则点A表示的数是 ．
13.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A、B、C均在格点上，则AB的长为 ，BC的长为 ，AC的长为 ．
14.我们知道，三个正整数a，b，c满足a2+b2=c2，那么a，b，c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x，y的平方和，即m=x2+y2，那么称m为“广义勾股数”.现有下列结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x=m2−n2，y=2mn，z=m2+n2，其中x，y，z，m，n均是正整数，则x，y，z是一组勾股数．其中正确的是 (填序号)．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC= 10，AD= 7.求DE的长．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=10，BD=8，∠ACD=45°．

(1)求线段AD的长；
(2)求△ABC的周长．
17.(本小题8分)
定义：如图①，点M，N把线段AB分割成线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．

(1)如图①，已知M，N是线段AB的“勾股分割点”，AM=2，BM=6，求MN的长；
(2)如图②，已知点C是线段AB上一定点，请用尺规作图在线段BC上作一点D，使得点C，D是线段AB的“勾股分割点”(不写作法，保留作图痕迹，画一种情形即可)．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，求AC的长．
19.(本小题8分)
已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，AO=BO，CO=DO．
(1)如图1，连接AC，BD，试说明线段AC与BD的数量关系和位置关系．
(2)如图2，若将△COD绕点O顺时针旋转，当点D恰好在边AB上时，求证：BD2+AD2=2OD2．
20.(本小题8分)
阅读下面材料：
已知，在▵ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点D是射线CB上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB于点F，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G．

(1)如图1，当AC=6，点D是BC边中点时，求CG的长；
(2)当点D在CB的延长线上时，根据题意补全图形2，用等式表示线段AC、BG和BD的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】C
【解析】略
3.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 42+32=5，
∵12×AC×BC=12×CD×AB，
∴12×3×4=12×5×CD，
解得CD=125．
故选C．
首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
4.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：A.由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值，再由∠B的余弦值得到∠B的度数，进而求出∠A的度数，选项排序正确，不符合题意；
B. 条件④需要知道AB的值，才能得到∠B的余弦值，而AB的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意；
C. 由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数，进而求出∠A的度数，再由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值，选项排序正确，不符合题意；
D. 由AC，BC的值，根据勾股定理得到AB的值，再由AC，BC的值，根据∠B的正切值得到∠B的度数，进而求出∠A的度数；
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，
则弦为a+2，
根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，
解得a=m2−1，
∴弦是a+2=m2−1+2=m2+1，
故选：A．
根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】B
【解析】如图，由题意，得四边形BCFE即为打开后的等腰梯形，且∠A=90°，AE=3 cm，S△ABE=12×6=3cm2，所以AB=3×23=2(cm)，所以BE= AB2+AE2= 13 cm.故打开后的等腰梯形的腰长为 13 cm．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
∴A、B、E共线，AC=AE=10，DC=DE，
∴BE=AE−AB=10−6=4，
在Rt△BDE中，设DE=x，则BD=8−x，
∵BD2+BE2=DE2，
∴(8−x)2+42=x2，
解得x=5，
∴DE=5，
故选：B．
由勾股定理求出AC=10，求出BE=4，设DE=x，则BD=8−x，得出(8−x)2+42=x2，解方程求出x即可得解．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系.由题意可得∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，由勾股定理CD2=EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED，
∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2=10，
∴EC=AC−AE=10−6=4，
设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x，
在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，
即：(8−x)2=x2+16，
解得：x=3，
∴BD=3．
故选A．
10.【答案】C
【解析】因为8个直角三角形全等，四边形ABCD、四边形EFGH、四边形MNKT是正方形，
所以CG=NG，CF=DG=NF=KG．
所以S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG.S2=GF2，S3=(NG−KG)2=(NG−NF)2=NG2+NF2−2NG·NF=GF2−2CG·DG．
所以S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+GF2−2CG·DG=3GF2=15，
所以GF2=5，
所以S2=5．
11.【答案】2.5
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：∵32+42=25=52，
∴该三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长为12×5=2.5．
故答案为：2.5．
12.【答案】1− 5
【解析】略
13.【答案】 17
34
37

【解析】由题图中网格，得AB= 12+42= 17，BC= 32+52= 34，AC= 12+62= 37．
14.【答案】②④⑤
【解析】提示：因为7≠x2+y2(x,y为非负整数)，所以7不是广义勾股数，故①错误；因为13=22+32，所以13是广义勾股数，故②正确；举反例，如1=02+12，5=12+22，而6≠x2+y2(x,y为非负整数)，故③错误；设两个广义勾股数分别为m=x2+y2，n=p2+q2，则mn=(x2+y2)(p2+q2)=x2p2+y2q2+x2q2+y2p2，即mn=x2p2+2xypq+y2q2+x2q2−2xypq+y2p2=(xp+yq)2+(xq−yp)2，所以mn是广义勾股数，故④正确；因为x2+y2=m4−2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=z2，所以x，y，z是一组勾股数，故⑤正确．
15.【答案】解：∵BD=1，DC=3，BC= 10，
又∵12+32=( 10)2，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形且∠BDC=90∘，
∴∠ADC=90∘，
∴AC= AD2+DC2=4，
又∵E点为AC的中点，
∴DE=AC2=2．

【解析】根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90∘，求出线段AC长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
16.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，BD=8，
∴AD= AB2−BD2=6．
(2)∵AD⊥BC，∠ACD=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
又∵AD=6，
∴CD=6，AC=6 2，
∴C△ABC=AB+BD+CD+AC=24+6 2．
【解析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：(1)在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长；(2)根据等腰直角三角形的性质求出CD、AC的长．
(1)由AD⊥BC可得出∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长；
(2)由AD⊥BC、∠ACD=45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD、AC的长度，再利用周长的定理即可求出△ABC的周长．
17.【答案】解：(1)设MN=x，则BN=6−x．
当MN为直角三角形的斜边时，
可得x2=22+(6−x)2，
解得x=103，
∴MN的长为103．
当MN为直角三角形的直角边时，
可得BN为直角三角形的斜边，
∴(6−x)2=22+x2，
解得x=83，
∴MN的长为83．
综上所述，MN的长为103或83．
(2)如图②，过点C作AB的垂线CM，再以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交射线CM于点F，连接BF，作线段BF的垂直平分线，交BC于点D，连接DF，
此时DB=DF，AC=CF，△CDF为直角三角形，
∴以AC，CD，BD为边的三角形是直角三角形，
即点C，D是线段AB的“勾股分割点”，
则点D即为所求．

【解析】(1)设MN=x，则BN=6−x.当MN为直角三角形的斜边时，由勾股定理得x2=22+(6−x)2，求出x的值即可；当MN为直角三角形的直角边时，可得BN为直角三角形的斜边，由勾股定理得(6−x)2=22+x2，求出x的值，即可得出答案．
(2)过点C作AB的垂线CM，再以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交射线CM于点F，连接BF，作线段BF的垂直平分线，交BC于点D，则点C，D是线段AB的“勾股分割点”．
本题考查作图—复杂作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】如图，过点C作CE⊥l3于点E，交l2于点D，过点A作AF⊥l3于点F，则∠BEC=∠AFB=90°，所以∠ABF+∠BAF=90°.因为l1//l2//l3，l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，所以AF=DE=2，CD=1，所以CE=CD+DE=3.因为∠ABC=90°，所以∠ABF+∠CBE=180°−∠ABC=90°，所以∠CBE=∠BAF.在△BCE和△ABF中，∠BEC=∠AFB,∠CBE=∠BAF,BC=AB,所以△BCE≌△ABF(AAS)，所以BE=AF=2，所以AB=BC= BE2+CE2= 13，所以AC= AB2+BC2= 26．

【解析】略
19.【答案】【小题1】
解：设BD分别交AC，AO于点E，F.∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠DOB=∠COA.又∵OA=OB，OC=OD，∴△COA≌△DOB(SAS).∴AC=BD，∠OAC=∠OBD.又∵∠AFE=∠BFO，∴∠AEB=∠AOB=90°.∴AC⊥BD．
【小题2】
证明：连接AC.∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB−∠AOD=∠COD−∠AOD，即∠BOD=∠AOC.又∵OB=OA，OD=OC，∴△BOD≌△AOC(SAS).∴BD=AC，∠B=∠OAC=45°.∴∠CAD=∠CAO+∠OAB=45°+45°=90°.在Rt△COD中，∵∠COD=90°，CO=DO，∴CD2=CO2+OD2=2OD2.在Rt△ACD中，∵∠CAD=90°，∴AC2+AD2=CD2.又∵BD=AC，∴BD2+AD2=2OD2．

【解析】1. 略
2. 略
20.【答案】(1)解：∵点D是BC边中点，AC=BC，AC=6，
∴CD=12BC=3，
∵∠ACB=90∘，
∴AD= AC2+CD2=3 5，
∵BG⊥BC，
∴∠CBG=90∘，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ACE+CAD=90∘，
∵∠BCG+∠ACE=∠ACB=90∘，
∴∠CAD=∠BCG，
在▵ACD与▵CBG中，
∠CAD=∠BCGAC=CB∠ACD=∠CBG=90∘,
∴▵ACD≌▵CBGASA，
∴CG=AD=3 5．
(2)解：如图，

BG=AC+BD，理由：
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠ACE+CAD=90∘，
∵∠BCG+∠ACE=∠ACB=90∘，
∴∠CAD=∠BCG，
∵BG⊥BC，
∴∠CBG=90∘，
∴∠ACD=∠CBG=90∘，
在▵ACD与▵CBG中，
∠CAD=∠BCGAC=CB∠ACD=∠CBG,
∴▵ACD≌▵CBGASA，
∴CD=BG．
∴CB+BD=BG，
∵AC=CB，
∴BG=AC+BD．

【解析】【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)先由勾股定理求得AD=3 5，再证明▵ACD≌▵CBGASA，得CG=AD，即可求解；
(2)根据题意画出图形，再证明▵ACD≌▵CBGASA，得CD=BG，即可得出结论．