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高中人教A版 (2019)7.3* 复数的三角表示练习
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这是一份高中人教A版 (2019)7.3* 复数的三角表示练习，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019必修二专题75复数的三角表示重难点题型精讲Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019必修二专题75复数的三角表示重难点题型精讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）z=1−3i（i是虚数单位），则z的辐角主值argz=（ ）
A．53πB．116πC．−π3D．−π6
【解题思路】复数可以写成z=rcsθ+isinθ 0≤θ<2π的形式，即可求得复数的辐角主值.
【解答过程】z=1−3i=212−32i=2cs5π3+isin5π3，所以复数z=1−3i的辐角主值argz=53π.
故选：A.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）2的辐角主值为（ ）．
A．π2B．3π2C．0D．2π
【解题思路】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，若辐角主值为π2，则z=rcsπ2+isinπ2=ri，不可能为2，故A错误；
对于B，若辐角主值为3π2，则z=rcs3π2+isin3π2=−ri，不可能为2，故B错误；
对于C，若辐角主值为0，则z=rcs0+isin0=r，当r=2时，z=2，故C正确；
对于D，由于辐角主值的范围为0,2π，不可能为2π，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数csπ4−isinπ4的辐角主值是（ ）
A．π4B．3π4C．5π4D．7π4
【解题思路】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【解答过程】复数csπ4−isinπ4=22−22i
=cs7π4+isin7π4，
所以复数csπ4−isinπ4的辐角主值是7π4．
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）设π<θ<5π4，则复数cs2θ+isin2θcsθ−isinθ的辐角主值为（ ）
A．2π−3θB．3θ−2πC．3θD．3θ−π
【解题思路】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【解答过程】解：cs2θ+isin2θcsθ−isinθ=cs2θ+isin2θcs(−θ)+isin(−θ)=cs3θ+isin3θ，
因为π<θ<5π4，
所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，
所以该复数的辐角主值为3θ−2π．
故选：B.
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)tanθ+i,θ∈(0,π2)；
(2)1+csα+isinα,α∈[0,2π)．
【解题思路】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式
即可求解；
（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；
【解答过程】(1)
tanθ+i=sinθcsθ+i=1csθ(sinθ+icsθ)，
∵θ∈(0,π2),∴csθ>0，
tanθ+i=1csθ[sin(π2−θ)+ics(π2−θ)].
(2)
1+csα+isinα=2cs2α2+isinα2csα2
=2csα2(csα2+isinα2).
∵当0≤α<π时，0≤α2<π2，csα2>0，
∴1+csα+isinα=2csα2(csα2+isinα2)，
当π≤α<2π时，π2≤α2<π，csα2≤0，
∴1+csα+isinα=−2csα2(−csα2−isinα2)
=−2csα2[cs(π+α2)+isin(π+α2)].
【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．
(1)－1＋3i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【解题思路】对于（1）、（2）、（3）、（4）四个小题，分别求出模和辐角主值，即可写出对应的三角形式.
【解答过程】(1)
因为z=－1＋3i，所以a＝－1，b＝3，
则r＝(−1)2+(3)2＝2，tanθ＝－3.
而对应点M(－1，3)在第二象限，θ的主值为23π，
∴－1＋3i＝2(cs23π+isin23π)．
(2)
因为z=1－i，所以a＝1，b＝-1，
则r＝12+(−1)2=2，tanθ＝－1.
而对应点M(1，-1)在第四象限，θ的主值为74π，
∴－1＋3i＝2(cs74π+isin74π)．
(3)
因为z=2i，所以a＝0，b＝2，
则r＝2.
对应点M(0，2)在y轴正半轴上，θ的主值为12π，
∴2i＝2(csπ2+isinπ2)．
(4)
因为z=－1，所以a＝－1，b＝0，
则r＝1，对应点M(-1，0)在x轴正半轴上，θ的主值为π.
∴－1＝csπ+isinπ．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：
(1)sin5π7−ics5π7；
(2)csα−isinα．
【解题思路】（1）利用诱导公式直接可得；
（2）根据诱导公式直接转化即可.
【解答过程】（1）
sin5π7−ics5π7=sin(π2+3π14)−ics(π2+3π14)=cs3π14+isin3π14；
（2）
csα−isinα=cs(−α)+isin(−α).
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)−3+i；
(2)−1−3i；
(3)−2csπ5+isinπ5；
(4)2sinπ5+icsπ5．
【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成r(csθ+isinθ)的形式即可得解.
【解答过程】（1）
−3+i=2(cs5π6+isin5π6)；
（2）
−1−3i=2(cs4π3+isin4π3)；
（3）
−2csπ5+isinπ5=2(cs6π5+isin6π5)；
（4）
2sinπ5+icsπ5=2(cs3π10+isin3π10).
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ6+isinπ62023在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
【解答过程】由棣莫弗公式知，csπ6+isinπ62023=cs2023π6+isin2023π6=cs337π+π6+isin337π+π6
=cs(π+π6)+isin(π+π6)=−32−12i，
∴复数csπ6+isinπ62023在复平面内所对应的点的坐标为−32,−12，位于第三象限．
故选：C．
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算2cs75°+isin75°⋅12−12i的值是（ ）
A．−62+22iB．62+22i
C．22−62iD．22+62i
【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.
【解答过程】因为12−12i=2222−22i=22cs315∘+isin315∘
所以2cs75°+isin75°⋅12−12i=2cs75°+isin75°⋅22cs315∘+isin315∘，
所以2cs75°+isin75°⋅12−12i=2cs390°+isin390°=62+22i，
故选：B.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝2csπ12+isinπ12，z2＝3csπ6+isinπ6，则z1z2的代数形式是（ ）
A．6csπ4+isinπ4B．6csπ12+isinπ12
C．3－3iD．3＋3i
【解题思路】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.
【解答过程】z1z2=2csπ12+isinπ12×3csπ6+isinπ6
=6[cs(π12+π6)+isin(π12+π6)]
=6(csπ4+isinπ4)
=3+3i，
故选:D.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量为OZ（O为坐标原点），设|OZ|=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ，则z=r(csθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)n∈N∗，则(−1+3i)10=（ ）
A．1024−10243iB．−1024+10243iC．512−5123iD．−512+5123i
【解题思路】先将z=−1+3i表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答过程】由题意，得当z=−1+3i时，r=2，θ=2π3，
∴(−1+3i)10=2cs2π3+isin2π310
=210cs20π3+isin20π3．
∵cs20π3=cs7π−π3=−csπ3=−12,sin20π3=sin7π−π3=sinπ3=32，
∴210cs20π3+isin20π3=210−12+32i=−512+5123i，
故选：D.
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π3，所得到的向量对应的复数是（ ）
A．1−32+−1+32iB．−1+32+−1−32i
C．−1+32+1−32iD．1−32+−1−32i
【解题思路】由题意用复数1+i乘以cs−2π3+isin−2π3，化简可得结果.
【解答过程】复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π3，所得到的向量对应的复数为
(1+i)cs−2π3+isin−2π3
=(1+i)−12−32i
=−12−32i−12i+32
=−1+32+−1−32i，
故选：B.
【变式4-1】设复数z1=−1−i在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数为z2的辐角主值为θ，则tanθ=（ ）
A．2−3B．−2+3C．2+3D．−2−3
【解题思路】将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出z2的辐角主值，即可计算作答.
【解答过程】复数z1=2[cs(5π4)+isin(5π4)]，因OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，
依题意，z2=z1[cs(−5π6)+isin(−5π6)]=2(cs5π4)+isin3π4)[cs(−5π6)+isin(−5π6)=2(cs5π12+isin5π12)，
因此复数z2的辐角主值θ=5π12，所以tanθ=tan(π6+π4)=tanπ6+tanπ41−tanπ6tanπ4=33+11−33=2+3.
故选：C.
【变式4-2】（2022·高一课时练习）将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM1，那么OM1对应的复数是
A．2iB．2iC．22+22iD．2+2i
【解题思路】根据复数的三角形式运算求解即可.
【解答过程】复数1+i的三角形式是2csπ4+isinπ4,向量OM1对应的复数
2csπ4+sinπ4×csπ4+isinπ4 =2csπ2+isinπ2=2i
故选：B.
【变式4-3】设复数z1=2sinθ+icsθπ4<θ<π2在复平面上对应向量OZ1，将向量OZ1绕原点O按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ2，OZ2对应复数z2=rcsφ+isinφ，则tanφ=（ ）
A．2tanθ+12tanθ−1B．2tanθ−12tanθ+1C．12tanθ+1D．12tanθ−1
【解题思路】先把复数z1化为三角形式，再根据题中的条件求出复数z2，利用复数相等的条件得到sinφ和csφ的值，求出tanφ.
【解答过程】因为z1=4sin2θ+cs2θ=1+3sin2θ，
所以z1=1+3sin2θ2sinθ1+3sin2θ+icsθ1+3sin2θ，
设csβ=2sinθ1+3sin2θ，sinβ=csθ1+3sin2θ，β∈0,π2，
则tanβ=csθ2sinθ，
z2=1+3sin2θcsβ−3π4+isinβ−3π4=1+3sin2θcs5π4+β+isin5π4+β，
即r=1+3sin2θ，csφ=cs5π4+β，sinφ=sin5π4+β，
故tanφ=sin5π4+βcs5π4+β=tan5π4+β=tanπ4+β
=1+tanβ1−tanβ=1+csθ2sinθ1−csθ2sinθ=2tanθ+12tanθ−1.
故选：A.
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角来表示复数z.
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是
+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0<2π范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，
即 (+i)(+i)=[(+)+i(+)].
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数，相乘时，可以像图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量
绕点O按逆时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这是复数乘法的几何意义.
3．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设=(+i)，=(+i)，且≠，因为(+i)[(-)+i
(-)]=(+i)，所以根据复数除法的定义，有=[(-)+i(-)].
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按
顺时针方向旋转角(如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角||)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义.
【题型1 求辅角主值】
【方法点拨】
求辅角主值时，要考虑角的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角
形式，再进行求解.
【例1】（2022秋·辽宁·高二开学考试）z=1−3i（i是虚数单位），则z的辐角主值argz=（ ）
A．53πB．116πC．−π3D．−π6
【解题思路】复数可以写成z=rcsθ+isinθ 0≤θ<2π的形式，即可求得复数的辐角主值.
【解答过程】z=1−3i=212−32i=2cs5π3+isin5π3，所以复数z=1−3i的辐角主值argz=53π.
故选：A.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）2的辐角主值为（ ）．
A．π2B．3π2C．0D．2π
【解题思路】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，若辐角主值为π2，则z=rcsπ2+isinπ2=ri，不可能为2，故A错误；
对于B，若辐角主值为3π2，则z=rcs3π2+isin3π2=−ri，不可能为2，故B错误；
对于C，若辐角主值为0，则z=rcs0+isin0=r，当r=2时，z=2，故C正确；
对于D，由于辐角主值的范围为0,2π，不可能为2π，故D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2022·高一课时练习）复数csπ4−isinπ4的辐角主值是（ ）
A．π4B．3π4C．5π4D．7π4
【解题思路】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【解答过程】复数csπ4−isinπ4=22−22i
=cs7π4+isin7π4，
所以复数csπ4−isinπ4的辐角主值是7π4．
故选：D.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）设π<θ<5π4，则复数cs2θ+isin2θcsθ−isinθ的辐角主值为（ ）
A．2π−3θB．3θ−2πC．3θD．3θ−π
【解题思路】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．
【解答过程】解：cs2θ+isin2θcsθ−isinθ=cs2θ+isin2θcs(−θ)+isin(−θ)=cs3θ+isin3θ，
因为π<θ<5π4，
所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，
所以该复数的辐角主值为3θ−2π．
故选：B.
【题型2 复数的代数形式与三角形式的互化】
【方法点拨】
复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三角形式.
将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
【例2】（2022·高一课时练习）将下列复数表示成三角形式
(1)tanθ+i,θ∈(0,π2)；
(2)1+csα+isinα,α∈[0,2π)．
【解题思路】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式
即可求解；
（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解；
【解答过程】(1)
tanθ+i=sinθcsθ+i=1csθ(sinθ+icsθ)，
∵θ∈(0,π2),∴csθ>0，
tanθ+i=1csθ[sin(π2−θ)+ics(π2−θ)].
(2)
1+csα+isinα=2cs2α2+isinα2csα2
=2csα2(csα2+isinα2).
∵当0≤α<π时，0≤α2<π2，csα2>0，
∴1+csα+isinα=2csα2(csα2+isinα2)，
当π≤α<2π时，π2≤α2<π，csα2≤0，
∴1+csα+isinα=−2csα2(−csα2−isinα2)
=−2csα2[cs(π+α2)+isin(π+α2)].
【变式2-1】（2022·高一课时练习）化下列复数为三角形式．
(1)－1＋3i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1．
【解题思路】对于（1）、（2）、（3）、（4）四个小题，分别求出模和辐角主值，即可写出对应的三角形式.
【解答过程】(1)
因为z=－1＋3i，所以a＝－1，b＝3，
则r＝(−1)2+(3)2＝2，tanθ＝－3.
而对应点M(－1，3)在第二象限，θ的主值为23π，
∴－1＋3i＝2(cs23π+isin23π)．
(2)
因为z=1－i，所以a＝1，b＝-1，
则r＝12+(−1)2=2，tanθ＝－1.
而对应点M(1，-1)在第四象限，θ的主值为74π，
∴－1＋3i＝2(cs74π+isin74π)．
(3)
因为z=2i，所以a＝0，b＝2，
则r＝2.
对应点M(0，2)在y轴正半轴上，θ的主值为12π，
∴2i＝2(csπ2+isinπ2)．
(4)
因为z=－1，所以a＝－1，b＝0，
则r＝1，对应点M(-1，0)在x轴正半轴上，θ的主值为π.
∴－1＝csπ+isinπ．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）将下列复数化为三角形式：
(1)sin5π7−ics5π7；
(2)csα−isinα．
【解题思路】（1）利用诱导公式直接可得；
（2）根据诱导公式直接转化即可.
【解答过程】（1）
sin5π7−ics5π7=sin(π2+3π14)−ics(π2+3π14)=cs3π14+isin3π14；
（2）
csα−isinα=cs(−α)+isin(−α).
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）将下列复数化为三角形式：
(1)−3+i；
(2)−1−3i；
(3)−2csπ5+isinπ5；
(4)2sinπ5+icsπ5．
【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成r(csθ+isinθ)的形式即可得解.
【解答过程】（1）
−3+i=2(cs5π6+isin5π6)；
（2）
−1−3i=2(cs4π3+isin4π3)；
（3）
−2csπ5+isinπ5=2(cs6π5+isin6π5)；
（4）
2sinπ5+icsπ5=2(cs3π10+isin3π10).
【题型3 三角形式下的复数的乘、除运算】
【方法点拨】
复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加；
复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角n倍；
复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减.
【例3】（2022春·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ6+isinπ62023在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
【解答过程】由棣莫弗公式知，csπ6+isinπ62023=cs2023π6+isin2023π6=cs337π+π6+isin337π+π6
=cs(π+π6)+isin(π+π6)=−32−12i，
∴复数csπ6+isinπ62023在复平面内所对应的点的坐标为−32,−12，位于第三象限．
故选：C．
【变式3-1】（2023·高一课时练习）计算2cs75°+isin75°⋅12−12i的值是（ ）
A．−62+22iB．62+22i
C．22−62iD．22+62i
【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.
【解答过程】因为12−12i=2222−22i=22cs315∘+isin315∘
所以2cs75°+isin75°⋅12−12i=2cs75°+isin75°⋅22cs315∘+isin315∘，
所以2cs75°+isin75°⋅12−12i=2cs390°+isin390°=62+22i，
故选：B.
【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知复数z1＝2csπ12+isinπ12，z2＝3csπ6+isinπ6，则z1z2的代数形式是（ ）
A．6csπ4+isinπ4B．6csπ12+isinπ12
C．3－3iD．3＋3i
【解题思路】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.
【解答过程】z1z2=2csπ12+isinπ12×3csπ6+isinπ6
=6[cs(π12+π6)+isin(π12+π6)]
=6(csπ4+isinπ4)
=3+3i，
故选:D.
【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量为OZ（O为坐标原点），设|OZ|=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转所得的角为θ，则z=r(csθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)n∈N∗，则(−1+3i)10=（ ）
A．1024−10243iB．−1024+10243iC．512−5123iD．−512+5123i
【解题思路】先将z=−1+3i表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答过程】由题意，得当z=−1+3i时，r=2，θ=2π3，
∴(−1+3i)10=2cs2π3+isin2π310
=210cs20π3+isin20π3．
∵cs20π3=cs7π−π3=−csπ3=−12,sin20π3=sin7π−π3=sinπ3=32，
∴210cs20π3+isin20π3=210−12+32i=−512+5123i，
故选：D.
【题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【方法点拨】
根据复数乘、除运算的几何意义，进行求解即可.
【例4】把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π3，所得到的向量对应的复数是（ ）
A．1−32+−1+32iB．−1+32+−1−32i
C．−1+32+1−32iD．1−32+−1−32i
【解题思路】由题意用复数1+i乘以cs−2π3+isin−2π3，化简可得结果.
【解答过程】复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转2π3，所得到的向量对应的复数为
(1+i)cs−2π3+isin−2π3
=(1+i)−12−32i
=−12−32i−12i+32
=−1+32+−1−32i，
故选：B.
【变式4-1】设复数z1=−1−i在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，令OZ2对应的复数为z2的辐角主值为θ，则tanθ=（ ）
A．2−3B．−2+3C．2+3D．−2−3
【解题思路】将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出z2的辐角主值，即可计算作答.
【解答过程】复数z1=2[cs(5π4)+isin(5π4)]，因OZ1按顺时针方向旋转56π后得到向量OZ2，
依题意，z2=z1[cs(−5π6)+isin(−5π6)]=2(cs5π4)+isin3π4)[cs(−5π6)+isin(−5π6)=2(cs5π12+isin5π12)，
因此复数z2的辐角主值θ=5π12，所以tanθ=tan(π6+π4)=tanπ6+tanπ41−tanπ6tanπ4=33+11−33=2+3.
故选：C.
【变式4-2】（2022·高一课时练习）将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转π4，得到的向量为OM1，那么OM1对应的复数是
A．2iB．2iC．22+22iD．2+2i
【解题思路】根据复数的三角形式运算求解即可.
【解答过程】复数1+i的三角形式是2csπ4+isinπ4,向量OM1对应的复数
2csπ4+sinπ4×csπ4+isinπ4 =2csπ2+isinπ2=2i
故选：B.
【变式4-3】设复数z1=2sinθ+icsθπ4<θ<π2在复平面上对应向量OZ1，将向量OZ1绕原点O按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ2，OZ2对应复数z2=rcsφ+isinφ，则tanφ=（ ）
A．2tanθ+12tanθ−1B．2tanθ−12tanθ+1C．12tanθ+1D．12tanθ−1
【解题思路】先把复数z1化为三角形式，再根据题中的条件求出复数z2，利用复数相等的条件得到sinφ和csφ的值，求出tanφ.
【解答过程】因为z1=4sin2θ+cs2θ=1+3sin2θ，
所以z1=1+3sin2θ2sinθ1+3sin2θ+icsθ1+3sin2θ，
设csβ=2sinθ1+3sin2θ，sinβ=csθ1+3sin2θ，β∈0,π2，
则tanβ=csθ2sinθ，
z2=1+3sin2θcsβ−3π4+isinβ−3π4=1+3sin2θcs5π4+β+isin5π4+β，
即r=1+3sin2θ，csφ=cs5π4+β，sinφ=sin5π4+β，
故tanφ=sin5π4+βcs5π4+β=tan5π4+β=tanπ4+β
=1+tanβ1−tanβ=1+csθ2sinθ1−csθ2sinθ=2tanθ+12tanθ−1.
故选：A.
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