[数学][期末]湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]湖北省咸宁市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合表示函数的定义域，则，
集合表示函数的值域，则，
故.
故选：A.
2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数对应的点在第三象限，设，则，
，由，则复数对应的点在第四象限.
故选：D.
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. “直线不相交”是“直线为异面直线”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】对于A，若，则或，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则或与相交，故C错误；
对于D，直线不相交，则直线平行或异面，
故“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，故D错误.
故选：B.
4. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】有解，即对于方程的，
则；可知D选项为一个必要不充分条件.
故选：D.
5. 在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
由，得，得，即得，
则C选项正确.
故选：C.
6. 在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空（保留表面，不计厚度）后放入一个球，则该球最大半径为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】设中点为中点为中点为，
外接球球心在中点处，
设，
该三棱柱的体积为，
该三棱柱的外接球表面积为，
外接球半径，即，，，
，，
底面内切圆半径，
，因此该球最大半径为.
故选：B.
7. 矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，其中，则，
在直角中，由勾股定理得：，
解得：，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
8. 定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递增，若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，
在上单调递增，则在上单调递减，
所以越靠近对称轴函数值越小，
由得，
由于，所以，
故，
可得，即时恒成立，
可得，
由于在时单调递增，，此时，
时单调递减，，此时，
则实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
【答案】BC
【解析】对A，平均成绩为
，故A错误；
对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内，
则第75百分位数为，故B正确；
对C，分数在区间内的频率为，故C正确；
对D，区间应抽取人，故D错误.
故选：BC.
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 在上的投影向量为
C. 若与的夹角为锐角，则
D. 若要使最小，则
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，所以，
又，且，所以，解得：，故A正确；
对于B：由，则，
所以在上的投影向量为，故B正确；
对于C：当与共线时，有，此时与方向相同，
当与的夹角为锐角，有，解得，
所以且时，与的夹角为锐角，故C错误；
对于D：由，，
结合二次函数的性质可知，时取最小值，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（ ）
A. 翻折过程中存在某个位置，使
B. 当时，与平面所成角的正弦值为
C. 在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2
D. 当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于：当平面平面时，，
证明如下：因为平面平面，平面平面，
，平面，则平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有，
，平面，则平面，
平面，有平面平面，由A选项知平面，
所以是直线与平面所成的角；
由，有，，，，
，则，故B错误；
对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面，
即是三棱锥的高，，故C正确；
对于D：当时，因为为的中点，所以，则，
又因为的中点，所以，
又，所以，所以，
如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，
则当三点共线时，最小，即的最小值为，
在中，，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角满足，则______.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
，
，
.
13. 已知函数，则关于的方程的不等实根的个数为______.
【答案】2
【解析】由题意得，当时，，即，
即时，解得，符合题意；
时，解得，舍；
当时，，即，
时，解得，舍；
时，，解得，符合题意；
综上，关于的方程的不等实根为和，共2个.
故答案为：2.
14. 在锐角中，角的对边为，为的面积，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，则，
所以，即，
即，解得或（舍去），可得，
，
因为是锐角三角形，则有，所以，
，，则，有，
由于，
所以，可得的取值范围为.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的不等式.
（1）若，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
解：（1）由，
当时，可得解集为.
（2）对应方程的两个根为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为或.
16. 如图，在梯形中，为线段中点，记
（1）用表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值.
解：（1）.
（2）由于，可得，又有，
所以.
（3）由于，可得，又有，
所以，
由，可得，
.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且的面积为.
（1）求证：面；
（2）当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值.
解：（1）证明：面 面，，
又面 面，
在面内，，
底面是正方形，，
又面 面.
（2）因为平面，平面，
所以，
设，
设四棱锥的外接球的半径为，
则
（当且仅当，即取等号），
可得，故，
过作交于，连接，
由，则，
故为平面与平面所成的二面角的平面角，
由（1）知面，面，故，
在中，可得，
由等面积可得
又
，
平面与平面所成二面角的余弦值为.
18. 已知函数，若函数在上恰好有两个零点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，关于方程有两个不同的实根，求实数的取值范围；
（3）在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度.
解：（1）
由得，
由函数在上恰好有两个零点得
，
∴，
由，
得函数的单调递增区间为.
（2），令，则，
由题意得在上有两个不同的实根，
.
（3）由得，
，
因为，则由，
解得：，
由，
得，
.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.
（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；
（2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；
（3）若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.
解：（1）因为，
则，
任取，令，
可得，
即或，
可得，或，
所以对于任意，能找到两个，使得，
所以是的“重覆盖函数”，且.
（2）可得的定义域为，
即对任意，存在3个不同的实数，
使得（其中），
，则，
，
即，
即对任意有3个实根，
当时，已有两个根，
故只需时，仅有1个根，
当时，，不符合题意，
当时，，则需满足，
解得，此时无解，
当时，抛物线开口向下，由，可得，
所以函数在单调递减，
又，
所以，
所以，
综上，实数的取值范围是.
（3）因为，
当时，当时且，
当且仅当时取等号，所以，
综上可得，即，
则对于任意要有2024个根，
，
由函数的图象，
要使要有2024个根，
则，
又，则，
故正实数的取值范围.