湘教版八年级上册2.3 等腰三角形精品同步训练题

这是一份湘教版八年级上册2.3 等腰三角形精品同步训练题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，AC=CD=DA=BC=DE，则∠BAE是∠BAC的( )
A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍
2.如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过D作DE/​/AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为( )
A. 20°
B. 140°
C. 20°或140°
D. 40°或140°
3.若△ABC是等腰三角形，∠A=36°，则∠C的度数是( )
A. 72°或108°B. 36°或72°C. 108°或36°D. 36°或72°或108°
4.如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=( )
A. a+b2B. a−b2C. a−bD. b−a
5.如图，▵ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是( )
①▵ABD≌▵CAE； ②∠BFE=60∘；③△AFB∽△ADF；④若ADAC=13，则AFBF=12
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
6.若P是等边三角形ABC内一点，PA2+PB2=PC2，且PC=2PA，则∠BPC的度数为 ( )
A. 75°B. 90°C. 120°D. 135°
7.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )
A. 9B. 8C. 6D. 12
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则PB+PE的最小值和下列线段长度相等的是( )．
A. BCB. CEC. ADD. AC
9.如图，∠MAN是一钢架，且∠A=15°.为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管CD，DE，EF，…，添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加的钢管的根数为 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.下列三角形：①有两个角等于60∘；②有一个角等于60∘的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D为直线BC上异于B，C的一点，若△ABD是等腰三角形，则∠ADB的度数为 ．
12.如图，∠BAC是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在AB，AC足够长的情况下，若最多只能焊上7根，且AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，则∠BAC度数的最大值为 (结果保留整数)．
13.如图，P是射线ON上一动点，∠O=30°，则当∠A的度数为 时，△AOP为等腰三角形．
14.如图，过D，A，C三点的圆的圆心为点E，过B，E，F三点的圆的圆心为点D.如果∠A=63°，那么∠B= ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE/​/AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
16.(本小题8分)
已知：如图，▵ABC中，AB=AC，AB>BC．

(1)利用尺规作图，作▵ABC中AC边上的高BD(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：∠CBD=12∠A．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，若AE=1，求CE的长．
18.(本小题8分)
问题情境：
已知在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，D为直线BC上的动点(不与点B，C重合)，点E在直线AC上，且AE=AD，设∠DAC=n．
(1)如图①，若点D在BC边上，n=36°，求∠BAD和∠CDE的度数；
(2)拓广探索：如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；
(3)当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．
19.(本小题8分)
如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为_________．
20.(本小题8分)
如图，在△MBC中，点D是BC的中点，MB=MC，连接MD，E为MC上一点，∠CBE=45°，BE交MD于点F，若MB=13，BC=10，求MF的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是掌握等边三角形的性质.由题意得出△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，再结合三角形外角的性质得出∠BAC=∠DAE=30∘，∠BAE=120∘，即可求解．
【解答】
解： ∵AC=CD=DA=BC=DE，
∴△ACD是等边三角形，△BCA和△ADE均为等腰三角形，
∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，
∵∠ACD=∠B+∠BAC=60°，∠ADC=∠E+∠DAE=60°，
∴∠BAC=∠DAE=30∘，∠BAE=∠CAD+∠BAC+∠DAE=120∘，
∴∠BAE=4∠BAC，
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F′点，连接DF，DF′，则DE=DF=DF′，
∴∠DFF′=∠DF′F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB=∠DEB，
∵DE//AB，∠ABC=40°
∴∠DEB=180°−40°=140°，
∴∠DFB=140°；
当点F位于点F′处时，
∵DF=DF′，
∴∠DF′B=∠DFF′=40°，
故选：D．
以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F′点，连接DF，DF′，则DE=DF=DF′，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB，结合平行线的性质可求解∠DFB=140°，当点F位于点F′处时，由DF=DF′可求解∠DF′B的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质与判定，证明∠DFB=∠DEB是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：①当AB=AC时，
∵∠A=36°，
∴∠C=∠B=72°．
②当CA=CB时，
∵∠A=∠B=36°，
∴∠C=108°．
③当BA=BC时，
∴∠C=∠A=36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC−AD=a−b，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．
5.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得AB=CA,∠BAD=∠ACE=60∘，则有▵ABD≌▵CAE，然后可得∠CAE=∠ABD，进而根据三角形外角的性质及相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵▵ABC是等边三角形，
∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60∘，
∵AD=CE，
∴▵ABD≌▵CAESAS，故①正确；
∴∠CAE=∠ABD，AE=BD，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAD=60∘，故②正确；
∵∠AFB>∠ADB，
∴△AFB∽△ADF不成立，故③错误；
过点E作EH/​/BD，交AC于点H，
∴△CEH∽△CBD，
∵ADAC=13，
∴ADDC=12,CECB=13，
∴CHCD=EHBD=CECB=13，
∴CD=3CH,DH=2CH，
∴AD=32CH，
∴ADDH=34=AFFE，
∴AFAE=37=AFBD，
∵EH//BD，
∴▵ADF∽▵AHE，
∴FDEH=AFAE=37，即FD=37EH=17BD，
∴BF=BD−DF=67BD，
∴AFBF=37BD67BD=12；故④正确；
综上所述：说法正确的有①②④；
故选B．
6.【答案】B
【解析】提示：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°，使BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处，所以BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°.连接MP，则△BPM是等边三角形，所以PB=PM.因为PA2+PB2=PC2，所以MC2+PM2=PC2，所以△PMC是直角三角形，∠CMP=90°.因为PC=2PA，所以PC=2MC，所以∠CPM=30°.又因为∠BPM=60°，所以∠BPC=90°．
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
【解答】
解：如图，连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
9.【答案】C
【解析】如图，因为AC=CD，所以∠CDA=∠A=15°，所以∠DCE=∠CDA+∠A=30°.因为CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30°，所以∠EDF=∠DEC+∠A=45°.因为DE=EF，所以∠EFD=∠EDF=45°，所以∠GEF=∠EFD+∠A=60°.因为EF=FG，所以∠EGF=∠GEF=60°，所以∠GFH=∠EGF+∠A=75°.因为FG=GH，所以∠GHF=∠GFH=75°，所以∠MGH=∠GHF+∠A=90°.因为等腰三角形的底角小于90°，所以最多能添加的钢管为CD，DE，EF，FG，GH，共5根．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查等边三角形的判定，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形的判定判断，三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】
解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选D．
11.【答案】30°或37.5°或52.5°
【解析】略
12.【答案】12°
【解析】提示：设∠BAC=x.因为AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8，所以∠A=∠AP2P1=x，所以∠P2P1P3=2x，所以∠P3P4P2=3x，…，∠P7P8P6=7x.所以7x<90°且8x≥90°，所以11.25∘≤x<907∘，所以∠BAC度数的最大值约为12°．
13.【答案】75°或120°或30°
【解析】略
14.【答案】18°
【解析】提示：连接CE，DE，则AE=CE=DE=BD，所以∠ACE=∠A=63°，∠DEB=∠B.易得∠ECD=∠CDE=∠DEB+∠B=2∠B，所以∠AEC=∠ECD+∠B=3∠B.因为∠A+∠ACE+∠AEC=180°，所以63°+63°+3∠B=180°，所以∠B=18°．
15.【答案】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE/​/AC，
∴∠EDA=∠CAD．
∴∠BAD=∠EDA．
∵AD⊥BD，
∴∠B+∠BAD=90°，
∠BDE+∠EDA=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，
∴△BDE是等腰三角形．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用．
直接利用平行线的性质得出∠EDA=∠CAD，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
16.【答案】(1)解：如图，BD即为所求；

(2)证明：∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠CBD+∠C=90∘，
∴∠CBD=90∘−∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵∠ABC+∠C+∠A=180∘，
∴∠C=12180∘−∠A=90∘−12∠A，
∴∠CBD=90∘−90∘−12∠A=12∠A．

【解析】【分析】本题考查尺规作图(作垂线)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理：
(1)过直线外一点作已知直线的垂线即可；
(2)根据等边对等角可得∠ABC=∠C，结合三角形内角和定理可得∠C=90∘−12∠A，结合∠CBD=90∘−∠C，即可证明∠CBD=12∠A．
17.【答案】解：连接AD.∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠DAE=12∠BAC，∴∠ADB=90°.∵∠BAC=120°，∴∠C=30°，∠DAE=60°.∵DE⊥AC，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，AC=2AD，∴AC=4AE.∵AE=1，∴AC=4，∴CE=AC−AE=4−1=3．
【解析】略
18.【答案】【小题1】
∠BAD=∠BAC−∠DAC=100°−36°=64°.∵∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=40°.∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=40°+64°=104°.∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED.∵∠DAC=36°，∴∠ADE=∠AED=72°.∴∠CDE=∠ADC−∠ADE=104°−72°=32°．
【小题2】
∠BAD=2∠CDE.理由如下： 由(1)知，∠ABC=∠ACB=40°. 在△ADE中，∵∠DAC=n，AE=AD，∴∠ADE=∠E=180∘−n2.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠ACB−∠E=40∘−180∘−n2=n−100∘2.∵∠BAC=100°，∠DAC=n，∴∠BAD=n−100°．
∴∠BAD=2∠CDE．
【小题3】
∠BAD=2∠CDE．

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
19.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了轴对称、等边三角形的判定与性质、三角形面积、垂线段最短等知识，关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．由∠ABC=30°和对称想到构造正三角形，将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．
【解答】
解：设PP3与AC交于点Q，则PQ=12PP3，连接BP、BQ、BP1、BP2，作BM⊥AC，垂足为M，
∵AC=4，△ABC的面积为5，
∴BM=52，
根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，
∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，
∴△P1BP2是正三角形，
∴P1P2=BP1=BP，
∴2P1P2+PP3=2(P1P2+12PP3)=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5．
20.【答案】解：∵点D是BC的中点，MB=MC，
∴MD⊥BC，
∵BC=10，
∴BD=12BC=5，
∵MB=13，
∴MD= MB2−BD2=12，
∵∠CBE=45°，
∴∠DFB=45°，
∴DF=BD=5，
∴MF=MD−DF=7．
【解析】根据题意可得MD⊥BC，根据MD= MB2−BD2先求出MD，再结合∠CBE=45°推出DF=BD=5，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．