新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题05三角函数教师版

这是一份新高考专用备战2024年高考数学易错题精选专题05三角函数教师版，共61页。试卷主要包含了角的概念，弧度制，任意角的三角函数，三角函数线，已知角终边上有一点，则为，已知角，终边上有一点，则等内容，欢迎下载使用。

易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数）
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（4）象限角的集合表示方法：
2．弧度制
（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
（2）角度制和弧度制的互化：，，．
（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
3．任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
三角函数的性质如下表：
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
4．三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．
易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角．
（2）确定的终边位置的方法
先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置．
（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．
（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
例 如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．

(1)求的解析式；
(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．
【详解】（1）由质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，得时质点A，B的坐标分别为，，
则
，
所以的解析式为.
（2）因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数的一个零点，
因此为在区间上第n个零点，由，得，解得，
所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间.
变式1．如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.
(1)求的值；
(2)射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.
【详解】（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点，，
所以.
（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，
设，则，
所以，
所以.
变式2．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值．
【详解】
点P关于x轴对称的点的坐标，点P关于y轴对称的点的坐标，点P关于原点对称的点的坐标.
易知角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，
，；
角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，
，；
角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，
，；
角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，
，.
变式3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.

(1)若，求线段的长；
(2)已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？
【详解】（1） ，
，.
（2）由题意知，
，
，，
所以当，即时，面积最大，最大值为.
1．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A．2B．C．或2D．
【答案】D
【分析】先确定所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出，再根据商数关系化弦为切即可得解.
【详解】由题意，得角是第二象限角，则，
故，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
所以是第一象限角或第三象限角，则，
又因为，所以或（舍去），
所以．
故选：D．
2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用终边经过的点求出即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以，解得，
所以．
故选：B
3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数的定义可得，再结合三角函数的性质计算即可.
【详解】∵角θ的终边经过点，
∴，，∴，，
由正弦函数的性质可知在取最小值时．，，
即，时A正确；
对于B，，不符合；
对于C，，不符合；
对于D，，不符合；
故选:A．
4．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为是第三象限角，故，
则，
故在第二象限，
故选：B
5．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】已知角终边上有一点，即点，
，
为第三象限角.
故选：C.
6．已知角，终边上有一点，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得，结合角的范围即可求解.
【详解】，故，．
又，，
故在第三象限，故，．
故选:C．
7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义式可得，又结合二倍角的余弦公式及齐次式的原因可得，接方程组即可.
【详解】由已知可得，，
又，
，
，即，
联立得，解得或，
，故选：C.
8．已知角的终边落在直线上，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义以及同角三角函数关系和二倍角公式即可解决.
【详解】因为角的终边落在直线上，所以.
则.
故选：B
9．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，利用三角函数定义求出的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【详解】由题得，所以，所以或，
所以.
故选：B
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则与是终边相同的角
B．若角的终边过点，则
C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度
D．若，则角的终边在第一象限或第三象限
【答案】CD
【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.
【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；
对于B：，当时，，故B错误；
对于C：由，得，故C正确；
对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；
故选：CD
11．如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.

(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
【答案】(1)(2)或.
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.
【详解】（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，，
，且，所以，
而，则，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
易错点二：诱导公式认识不清导致变形错误（同角三角函数的基本关系与诱导公式求值问题）
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：．
（2）商数关系：；
2．三角函数诱导公式
题型1．同角三角函数关系齐次化
（1）利用方程思想，对于，由公式，可以“知一求二”．对于，由下面三个关系式，可以“知一求二”．
（2）的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”求解．
题型2．利用诱导公式化简及其计算
（1）诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．
（2）学会诱导公式的逆用，如等，再如，能将中的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．
（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．
技巧：1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．“”方程思想知一求二．
易错提醒：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可。
例．已知．
(1)求的值． (2)求的值．
【详解】（1）；
（2）.
变式1．已知均为锐角，且．
(1)求的值； (2)求的值．
【详解】（1），，
又，，
，.
（2）为锐角，，．
．
变式2．已知，且，化简并求的值.
【详解】解：因为，且，则，
所以，，
故.
变式3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
(1)求的值；
(2)若锐角满足，求的值.
【详解】（1）由题设知：，则，
又，
；
（2）由（1）知：，且，
又为锐角，为第四象限角，所以为第四象限角或第一象限角.
当为第一象限角时，则，
当为第四象限角时，则.
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合正弦、余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】由，则
.
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
，
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用终边经过的点求出即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以，解得，
所以．
故选：B
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法一：根据平方关系、二倍角公式化简已知可得，结合诱导公式化简可得所求；方法二：利用辅助角公式化简已知可得，再根据二倍角公式化简可得所求.
【详解】方法一：，，，即，.
方法二，即，，，.
故选：D.
5．已知为锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两角和差的正弦公式求解即可.
【详解】因为
所以，
当时，
，为锐角，不合题意，舍去；
当时，
，满足题意；
所以.
故选：C
6．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.
【详解】由，得，
而，则，，因此，
即有，所以.
故选：C
7．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．
【详解】∵，∴，即，∴，
∴，得，∴，
∴或，
∵，且，∴由三角函数定义知，
∴，故．
故选：D.
8．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】先将两边平方，结合，得出，结合得出，再计算出，即可求出和，根据同角三角函数的商数关系，二倍角的余弦公式和正切公式，两角的余弦公式分别计算即可判断各选项．
【详解】由得，，则，
因为，，
所以，所以，
由，解得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
，即，
解得或（舍去），故C正确；
对于D，，故D错误，
故选：BC．
9．已知，则.
【答案】
【分析】利用弦切互化和两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，即，所以.
故答案为：.
10．已知是第四象限角，且满足，则．
【答案】
【分析】根据得到，利用三角函数的基本关系式，求得，进而求得，联立方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由是第四象限角，可得，则，
因为，可得，
可得，
又由，
因为，可得，
联立方程组，可得，所以.
故答案为：.
11．若，且，则．
【答案】/
【分析】结合角的范围和同角三角函数的基本关系，先求出角的正弦与余弦，再将所求式子利用二倍角公式转化为角的正余弦，代入求值即可.
【详解】因为，
联立，解得，
则．
故答案为：.
易错点三：忽视三角函数图象变换研究对象选取（三角函数的图象和性质）
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
3．与的图像与性质
（1）最小正周期：．
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设．
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心．
假设．
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．
（5）单调性．
假设．
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换．
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
结论：关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
题型1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；
（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函．
题型2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围．
若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式．
题型3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：
（1），令，则；
（2），引入辅助角，化为；
（3），令，则；
（4），令，
则，所以；
（5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．
易错提醒：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
例 ．定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
【详解】依题可知，于是，于是，
∴，又，
∴，∴，
对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；
对于B，因为，
所以将的图象向右平移个单位长度后得，
则，所以不关于原点对称，故B错误；
对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．故选：ABC．
变式1．已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：CD.
变式2．已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
所以，
所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB.
变式3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【详解】
，故A正确；
函数的最小正周期为，故B正确；
由，得，故C错误；
由的图象向左平移个单位长度，
得
，故D错误.故选：AB
1．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】将函数变为的同名函数，然后利用函数图象的平移变换法则即可得解.
【详解】，
所以将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
故选：D．
2．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简得到，然后根据图象的平移变换判断即可.
【详解】，，
，
所以的图象向右平移得到的图象.
故选：A.
3．函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B．函数在上单调递减
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
【答案】AB
【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A，根据单调性判断B，由函数的图象与性质可判断CD.
【详解】由题意且，
可得，，
故当时，，.
对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；
对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；
对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；
对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即
，故D错误.
故选：AB
4．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递减D．函数在上有3个零点
【答案】AC
【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，所以，
则，
把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，
因为为奇函数，所以，，即，，
因为，所以，，所以，
对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，当时，，
函数在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故C正确；
对于D，由，得，即，
令，解得，又，所以或，
所以函数在上有2个零点，分别为，，故D错误.
故选：AC.
5．已知函数，且对，都有，且把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象右移，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上有两个零点
【答案】AB
【分析】对于A，求导得，由可得关于直线对称，从而可得，结合求得即可判断；对于B，由题意，计算即可判断；对于C，计算，从而可判断；对于D，由可得，从而可判断零点的个数，从而可判断.
【详解】对于A，，
关于直线对称，
，，
又当时，，故A为正确；
对于B，，由题意，
当时，，
∴关于点对称，满足，B正确；
对于C，∵为偶函数，C不正确；
对于D，当时，，则在上只有一个零点，D不正确.
故选：AB．
6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】ABC
【分析】由图象变换得到解析式，再根据三角函数的有界性，将条件转化为在上最值的取值情况，将看作整体角，根据函数图象得到不等关系求解即可.
【详解】由题意得，
,
由，得或，
由已知在上有且仅有两个不同实数满足，
则在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，则，
由图象可知，，解得，
即的取值范围是，
故选：ABC．

7．已知函数，，其中，则（ ）
A．与的图像关于直线对称
B．与的图像关于点对称
C．当与在区间上单调性相反时，的最大值为1
D．当与在区间上单调性相同时，的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据余弦函数的单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.
【详解】，所以与的图像关于直线对称，故A正确；
，与的图像关于点对称，故B正确；
如图，

函数的图像为函数的图像向左平移得到，函数的图像为函数的图像向右平得到，所以与的图像关于轴对称，
且的每一个极值点对应的一个零点，易知在轴右侧的第一个极大值点为；
若与在区间上单调性相反,则有，即，故C不正确；
若函数在轴右侧的第一个极小值点为上单若与在区间上单调性相同，则有，且，即，故D正确.
故选 ：ABD.
8．已知函数，以下说法中，正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数在上单调递增
C．当时，的取值范围为
D．将函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为
【答案】BCD
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为，
对于A，由，即，所以对称中心为，
令，得到一个对称中心为，所以A错误；
对于B，当时，，由的图像与性质知，在上单调递增，所以B正确；
对于C，当时，，所以，
所以，所以C正确；
对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，得到图像对应的解析式为，所以D正确.
故选：BCD.
9．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
【答案】BD
【分析】先化简函数，得，根据正弦型函数的图像性质研究周期性、平移、值域等问题.
【详解】，
所以的最小正周期为，故A错误；
把的图象向左平移个单位长度，所得函数为，是偶函数，
所以图象关于y轴对称，故B正确；
当时，，
当，即时，最大值为，
所以m的最小值为，故C错误；
令，解得，
当时，的一个对称中心为，
故时，有，故D正确.
故选：BD.
10．已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
【答案】CD
【分析】利用诱导公式可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，
则或，
可得或，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的，再向左平移个单位得到，B错；
对于C选项，因为，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：CD.
11．已知是的导函数（ ）
A．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到的
B．是由图象上的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移得到的
C．的对称中心坐标是
D．是的一条切线方程.
【答案】BC
【分析】由三角函数的平移和伸缩变换可判断A，B；由三角函数的性质可判断C；由导数的几何意义可判断D.
【详解】，
是由横坐标缩短到原来的倍，纵坐标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移，故A错误；
函数图象将横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个长度单位，得，即，故B正确；
因为，令，
则，则的对称中心坐标是，故C正确；
因为，所以，
由导数的几何意义令，可得：，
即，解得:
，所以切点为，
而不在上，故D错误.
故选：BC.
易错点四： 求φ时忽略升降零点的区别（函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用）
函数的物理意义
简谐运动的图象所对应的函数解析式，其中．在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；时的相位称为初相．
题型1．已知的部分图象求的方法：
（1）利用极值点的纵坐标求；（2）把某点的坐标代入求．
题型2．已知的部分图象求的方法：
由，即可求出．常用结论：（1）相邻两个极大（小）值点之间的距离为；（2）相邻两个零点之间的距离为（3）极值点到相邻的零点，自变量取值区间长度为．
题型3．已知的部分图象求的方法：
求的值时最好选用最值点求．
峰点：；谷点：．
也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点．
升零点（图象上升时与轴的交点）：；
降零点（图象下降时与轴的交点）：（以上）．
易错提醒：求的值时若用零点求时一定要明确该零点是升零点，还是降零点.
例 ．已知函数满足．
(1)求函数的解析式及最小正周期；
(2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值．
【详解】（1）∵，
∴，而，
∴，即，
∴的最小正周期为：；
（2）由题意，，
∵，
∴，
∴Z，
∴，∴的最小值为．
变式1．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
【详解】（1）
．
，．
故
令，解得，
故对称轴方程为：
（2）由得，
．
，，,．
，，，
变式2．已知函数的部分图象如图所示.
(1)
求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.
【详解】（1）设的最小正周期为，则，可得,
且，解得，
由图象可知：当时，取到最大值，
且，则，
可得，解得，
又因为，可得，则，
且的图象过点，则，解得，
所以.
（2）令，
由，可得，
可知的零点等价于与的图象交点横坐标，
且，
作出在内的图象，不妨设，如图所示：
由图象可知：，且关于直线对称，所以.
变式3．如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【详解】（1）根据题意得，，故，，故．
将代入，得，解得，
又，故．
（2）依题意，．
函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．
当时，，结合余弦函数图象可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，，，
作出函数在上的大致图象如图所示．
观察可知，当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点．
1．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】依题意可得，
因为，所以，
因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，
令，得在上单调递减，
所以，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故选：C.
2．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于对称
C．函数在的值域为
D．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
【答案】ACD
【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.
【详解】如图所示：

由图可知，又，
所以，所以，
又函数图象最高点为，
所以，即，
所以，解得，
由题意，所以只能，故A选项正确；
由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，
但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；
当时，，，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以函数在的值域为，故C选项正确；
若将函数的图象向左平移个单位，
则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.
故选：ACD.
3．函数的部分图像如图所示，在上的极小值和极大值分别为..，，下列说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为
B．
C．的图像关于点对称
D．在上单调递减
【答案】BC
【分析】AB选项，根据图象得到振幅和周期，求出；C选项，根据分别为极小值点和极大值点，由对称性得到C正确；D选项，由图象得到函数在上单调递减，在上单调递增.
【详解】A选项，由题图可知，，则，故A错误.
B选项，，所以.
又在极小值和极大值分别为，，所以，故B正确.
C选项，因为分别为极小值点和极大值点，
故点为函数的图像的对称中心，故C正确.
D选项，，从图象可以看出函数在上单调递减，
在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
4．已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】AB
【分析】A选项，由左加右减得到的解析式，从而判断出奇偶性；B选项，，故B正确；C选项，整体法判断函数的单调性；D选项，由得到，求出不等式的解集.
【详解】A选项，，
由于的定义域为R，且，
故为奇函数，A正确；
B选项，，故的图象关于直线对称，B正确；
C选项，时，，其中在上不单调，
故在上不单调，故C错误；
D选项，，则，则，
故，D错误.
故选：AB
5．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数B．当时，的值域是
C．的图象关于点对称D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】根据三角函数的平移变换求出的表达式，然后依次判断各个选项即可.
【详解】因为，
所以．
由，得，，
则，又，所以，
所以．
对于A：，所以不是奇函数，A错误；
对于B：当时，，
则，B正确；
对于C：因为，
所以的图象不关于点对称， C错误；
对于D：当时，，
根据正弦函数的图象与性质可知，
在上单调递增，D正确．
故选：BD
6．已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．点是图像的一个对称中心
C．在的值域为
D．函数在上单调递增
【答案】BC
【分析】A选项，根据为偶函数及，得到，进而得到A错误；B选项，计算出，B正确；C选项，由得到，从而结合图象求出值域；D选项，由得到，结合图象得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
因为，所以只有当，满足题意，
A选项，，故最小正周期，A错误；
B选项，，故，
故点是图像的一个对称中心，B正确；
C选项，，则，故，C正确；
D选项，，则，由于在上不单调，
故在上不单调递增，D错误.故选：BC
7．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．的图象在区间上存在对称轴
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度可得到的图象
【答案】AB
【分析】先由函数的最小正周期，求出；根据余弦函数的性质可判断B,C选项，再由三角函数图像平移后可判断D选项.
【详解】由，得，故选项A正确；
令，，解得，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故选项B正确；
当时，，余弦函数在此区间不单调，故选项C错误；
依题意平移后的解析式为，故选项D错误．故选：AB．
8．已知函数在轴上的截距为，若函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是．
【答案】
【分析】先根据在轴上的截距得到方程，求出，进而由得到，根据有零点，无极值点，得到不等式，求出答案.
【详解】由题意知，则，结合，得，
所以．
当时，，
因为函数在区间内有零点，无极值点，
所以，（建立不等式时，要注意是否能取等号）,
解得，
当时，；
当时，，所以，
所以不等式组无解，
当时，，所以，
所以不等式组无解，
当或时，不满足条件．
所以的取值范围是．
故答案为：
9．已知函数在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论：
①的值可能是3； ②的最小正周期可能是；
③在区间上单调递减； ④图象的对称轴可能是.
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①②③
【分析】由题意，结合角的范围可得，求出的范围可判断①，利用三角函数的周期公式可判断②，利用三角函数的性质可判断③④.
【详解】函数，
， ，
函数在区间上有且仅有3个对称中心，
则，
，即的取值范围是，
而，故①正确；
周期，由，
得， ，
的最小正周期可能是，故②正确；
， ，
， ，
又，
在区间上单调递减，故③正确；
当，即，
又，
，
当时，，
当时，，故④不正确.故答案为：①②③.
10．已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据函数图象求出，，进而得出.根据“五点法”，即可求出的值；
（2）先求出，根据已知得出.结合正弦函数的单调性，解，即可得出答案.
【详解】（1）由图易知，，
所以，．
易知，故函数的图象经过点，
所以．
又 ，∴．
∴．
（2）由题意，易知，
因为时，所以.
解可得，，
此时单调递减，故函数的单调递减区间为.
11．已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．
(1)求在R上的单调递增区间；
(2)将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简函数得，再根据单调性求解即可；
（2）先由平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式计算即得.
【详解】（1）
，
由题意知，的最小正周期为，所以，解得，
∴，
令，，解得，
所以在R上的单调递增区间为
（2），，得，
∵，∴，
∴，
∴
12．已知函数的最小值周期为.
(1)求的值与的单调递增区间；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)，单调递增区间为(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，再利用正弦型函数的单调性可求出函数的增区间；
（2）由已知条件可得出，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的余弦公式可求出的值.
【详解】（1）解：
，
因为函数的最小正周期为，且。所以，解得，
所以，令，
得，所以的单调递增区间为.
（2）解：由（1）知，则，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以
.
易错点五： 遗忘非特殊角其实也是一种特殊角（三角恒等变换）
1．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
2．二倍角公式
①；
②；
③；
3．降次（幂）公式
4．半角公式
5．辅助角公式
（其中）．
结论：1．两角和与差正切公式变形
；
．
2．降幂公式与升幂公式
；
．
3．其他常用变式
．
3．拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
注意特殊的角也看成已知角，如．
易错提醒：1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解．
2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间．
例 ．下列各式计算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.故选：BC.
变式1．已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为，所以，所以为第一象限角或第三象限角．
当为第一象限角时，，；当为第三象限角时，，，所以，故A项正确；
；故B项错误；
，故C项正确；
，
当为第一象限角时，原式；
当为第三象限角时，原式，故D项错误．故选：AC
变式2．下列各式的值是方程的根的为（ ）．
A．B．
C．D．
【详解】方程的根为2或，
，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确.故选：BCD
变式3．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】由题意有，
对于A选项：因为，故A选项不符合题意；
对于B选项：因为，故B选项符合题意；
对于C选项：因为，故C选项符合题意；
对于D选项：因为，故D选项不符合题意；故选：BC.
1．已知，则（ ）
A．，使得
B．若，则
C．若，则
D．若，，则的最大值为
【答案】BD
【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确.
【详解】对于A中，若，可得
因为，可得，解得，
又因为时，，所以方程无解，所以A错误；
对于B中，因为，可得，所以，
又因为，所以，
则，所以B正确；
对于C中，由，
则，所以C错误；
对于D中，因为，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以D正确.
故选：BD.
2．已知，且，，，则（ ）
A．的取值范围为B．存在，，使得
C．当时，D．t的取值范围为
【答案】AD
【分析】由可得范围，从而判断A，由正弦、余弦函数性质求得判断B，利用消去后可求得判断C，由上面推导得出随的增大而增大，从而可得的范围，判断D．
【详解】因为，所以，即，若，则，又，所以不能同时成立，所以，故A正确；
由A可知，所以，又，所以，所以，故B错误；
当时，整理，得所以，又，对上式整理得，所以，解得（舍去负根），故C错误；
因为，且，所以随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，又，所以，，即D正确．
故选：AD．
3．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A；利用正弦的两角和展开式化简可判断B；利用正弦的二倍角公式化简可判断C；利用两角和的正切展开式化简可判断D.
【详解】对于A，，
故A错误；
对于B，，
故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：CD.
4．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据两角和差正切公式计算判断A选项，根据两角和差正弦公式计算判断B选项，应用同角三角函数结合诱导公式计算可得C选项，根据两角和差正弦公式结合二倍角正弦公式判断D选项.
【详解】对于A，，故A错误．
对于B，由
，故B正确；
对于C，∵设，
则，
而，故即，故C正确．
对于D，
，所以D正确.
故选：BCD.
5．下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC
6．已知，，，下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【详解】由于且，所以，
又，，
故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D，由B可知，所以，故D正确，
故选：BD
7．下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据题意，由三角函数的和差角公式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，所以A正确；，所以B正确；
，所以C错误；
，所以D错误．
故选：AB．
8．下列等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可.
【详解】对A，，A错误；
对B，，B正确；
对C，，C正确；
对D，
，D错误.
故选：BC
9．下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．＝2B．若，则
C．若，则＝1D．
【答案】AB
【分析】直接通过“切化弦”的思想即可判断AB；通过对分式齐次式化简可判断C；通过同角三角函数关系的平方关系可判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C错误；
对于D，，所以，
，所以
所以，故D错误；
故选：AB
10．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】诱导公式结合和角余弦公式计算判断A；诱导公式结合倍角余弦公式计算判断B;凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D.
【详解】对于A，，A是；
对于B，，B不是；
对于C，，C是；
对于D，，D不是.
故选：AC
11．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由即可判断A；根据诱导公式，先将转化为，再根据两角的差的正弦公式，即可判断B；根据诱导公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，即可判断D．
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，设，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，，故D正确，故选：BCD．三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
＋
＋
－
－
＋
－
－
＋
＋
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无