新高中数学压轴题二轮专题专题1导数与函数的单调性试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题1导数与函数的单调性试题含解析答案，共50页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1．已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减,求的取值范围;
（Ⅱ）当时,证明.
2．设函数，若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
3．已知函数在上存在单调递减区间，求实数m的取值范围．
4．已知函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围．
5．已知函数，．
(1)对任意，使得是函数在区间上的最大值，试求最大的实数．
(2)若，对于区间的任意两个不相等的实数、，且，都有成立，求的取值范围．
6．已知函数，．
(1)若曲线与x轴相切，求a的值．
(2)若，证明：对任意，都有．
(3)若函数在区间上既不是增函数，也不是减函数，求a的取值范围．
7．已知函数，讨论的单调性；
8．讨论的单调性．
9．已知函数在上存在单调递减区间，求实数的取值范围．
10．讨论的单调性．
11．已知函数．讨论的单调性；
12．已知函数，，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的单调性．
13．已知函数，．
(1)若函数存在单调递减区间，求的取值范围；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围．
(3)若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
(4)若函数在上单调递增，求的取值范围．
14．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
15．已知函数．
(1)若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若，时，函数有两个极值点，，求证：．
16．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数的值；
(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．
17．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使在区间上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．
18．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）设函数.
①若在区间上单调递增，实数的取值范围；
②若在区间内存在单调递减的区间，求实数的取值范围.
19．设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)设函数，且在区间内存在单调递减区间，求的取值范围．
(3)若在内为减函数，如何求解？
(4)若在上不单调，求的取值范围．
20．已知函数.讨论的单调性.
21．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，.
22．已知二次函数，恒有.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值；
(3)若，若函数在上是单调函数，求的取值范围.
23．已知函数．
(1)若函数在处的极值为10，求实数，的值；
(2)若函数在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．
24．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若函数的图象在处的切线的斜率为，在区间上不是单调函数，且当时不小于，求实数m的取值范围．
25．已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）当时，求证：.
26．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
(1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
(2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
27．已知函数，
(1)若与有相同的单调区间，求实数的值；
(2)若方程有两个不同的实根，证明：.
28．已知函数，，且对于任意实数，恒有．
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）若函数有2个零点？求的取值范围.
29．已知函数，．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在上不单调，求实数a的取值范围．
30．已知函数.
(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.
31．已知函数，.
(1)求证：函数存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间的长度的取值范围；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
32．已知函数，为函数的导函数．
(1)证明：当时，函数在区间内存在唯一的极大值点，且；
(2)若在上单调递减，求实数a的取值范围．
（参考数据：，，）
33．已知函数．
(1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．
参考答案：
1．（1）（2）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）函数的定义域为．因为．又因为函数在单调减，所以不等式在上恒成立，从而得解；
（Ⅱ）当时，，则，令，求得函数的单调区间，即得函数的最小值，即证．
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为．
因为．
又因为函数在单调减，所以不等式在上成立．
设，则，即即可，解得．
所以的取值范围是．
（Ⅱ）当时，，
．
令，得或（舍）．
当变化时，变化情况如下表：

所以时，函数的最小值为．
所以成立．
考点：1．恒成立问题；2．导函数的应用．
2．
【分析】先求得的单调区间，再根据函数在区间上是单调函数，列出不等式，即可得到结果.
【详解】，，
令，解得或，
令，解得.
故在上严格增，在上严格减，在上严格增.
又在区间上是单调函数，
则只需，解得.
故实数m的取值范围为.
3．
【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解．
【详解】∵，
∴，
因为函数在上存在单调递减区间,
所以在上有解，即在上有解，
即在上有解，
令，则，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
∴，则，
∴，即．
4．
【分析】首先计算出，由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果．
【详解】函数的定义域为 ，且其导数为，
因为存在单调递减区间，则在上有解，
即在上有解，可知，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以实数的取值范围是 ．
5．(1)2
(2)不存在
【分析】（1）将已知转化为在区间上恒成立，利用二次函数的性质及一次函数的可得解；
（2）将已知转化，，，构造函数和在区间上是减函数，通过函数的单调性求解即可.
【详解】（1）是函数在区间上的最大值，区间恒成立，
即在区间上恒成立，
又，所以只需在区间上恒成立，
，函数的对称轴为
只需对一切恒成立，
记，关于a的单调递减的一次函数，
只需，解得，
最大的实数为2．
（2）当，，求导
函数在区间上是减函数，
，成立，
成立，
即，，
构造函数和在区间上是减函数．
所以，即在区间上恒成立，
利用二次函数的性质知的最大值为
，即；
同理，即在区间上恒成立，
利用二次函数的性质知的最大值为
，即；
，不存在．
【点睛】思路点睛：本题考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力，本题的第一问借助二次函数及一次函数的性质求解；第二问求解时先将已知转化，再构造函数数和，再利用函数的单调性求解参数的范围，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题．
6．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求原函数的导数，由曲线与x轴相切得切线的斜率为0即可求出参数值；
（2）根据所证不等式构造新的函数，再利用导数解决不等式恒成立的问题；
（3）先求出函数的单调区间，再根据在区间上既不是增函数也不是减函数，列出不等式即可求出参数的范围.
【详解】（1）对函数求导得．
∵曲线与x轴相切，∴切线的斜率为0．
由，解得．
由曲线与x轴相切知，函数在处，有．
代入，得，解得．
（2）证明：若，则．
“任意，都有”等价于“对任意，都有”．令函数，求导，得．
由，得．
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴当时，．
∴对任意，都有．
∴对任意，成立．
（3）∵，∴，
如果函数在区间上单调递增，那么．
∵，∴等价于．
令函数，求导，得．
令，得．
当x变化时，与的变化情况如下表所示：
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴当时，．
由，得．
解得，且当时，函数在区间上单调递增．
∴当函数在区间上单调递增时，．
如果函数在区间上单调递减，那么．
∵，∴等价于．
由前面解答知，在上单调递减，在上单调递增．
，．
则由，且．
得，且当时，函数在区间上单调递减．
∴当函数在区间上单调递减时，．
∴当函数在区间上既不是增函数，也不是减函数时，
实数a的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数证明不等式，根据导数单调性情况求参数.其关键一是要弄清楚导数的几何意义是曲线上切线的斜率；二是要善于根据所证不等式的特征构造新的函数，再利用导数求出新函数的单调性、极值和最值，从而使原不等式得证；三是如何根据单调性的情况求解参数，即先求出函数的单调区间，再与所给区间的情况相比较，列出不等式即可得出参数的范围.
7．答案见解析
【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】∵，定义域为，∴，
当时，由于，则，故恒成立，
∴在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
8．答案见解析
【分析】的零点为和，根据与0，1的大小分类讨论，从而分别确定和的解集即可.
【详解】函数的定义域为：，．
当时，若，则；若，则，
∴在上单调递减，在上单调递增；
当时，若或，则；若，则，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，若，则；若，则；若，则，∴在上单调递增；
当时，若或，则；若，则，
∴在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
9．
【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．
【详解】，，
函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
又，则，
∴在区间上有解，
∴，，令，，
则，
令，则在区间恒成立，
∴在上单调递减，∴，
即，
∴，∴实数的取值范围是．
10．答案见解析
【分析】，根的情况转化为根的情况．步骤一：讨论（有1个根）．步骤二：讨论，的拟合函数为 （根据的大小再分）．
【详解】函数的定义域为：，，
（1）当时，，若，则；若，则，
∴在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，若或，则；
若，则，
∴在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，，∴在上单调递增；
（4）当时，，若或，则；若，则，
∴在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：
（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，在上单调递增；
（4）当时，在上单调递增，在上单调递减．
11．答案见解析
【分析】求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
【详解】解：因为定义域为，所以，
对于方程，则，
当，即时，所以，所以在上单调递增，
当，即时，的解为：，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
综上可得：当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
12．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）求定义域，二次求导，结合特殊点的函数值，得到的单调性；
（2）求定义域，再求导，结合（1）中所求，分，，和四种情况，求出函数的单调性.
【详解】（1）的定义域为R，
，
令，则
因为，所以恒成立，
所以函数在R上单调递增．
而，所以当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增．
综上，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2），
定义域为R，
．
由（1）知，当时，；当时，．
当时，，
∴时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减．
当时，令，解得．
①若，则，
∴时，，，则，函数单调递增，
时，，，，函数单调递增，
时，，，，函数单调递减，
②若，则，当时，，，
当时，，，
∴时，，函数在R上单调递增．
③若，则，
∴时，，，，函数单调递增，
时，，，，函数单调递增，
时，，，，函数单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在R上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
13．(1)
(2)
(3)
(4)．
【分析】(1)将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围；
(2) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围；
(3) 将问题转化为在上有解，使用常数分离求出的取值范围；
(4) 将问题转化为在上恒成立，使用常数分离求出的取值范围.
【详解】（1），
所以，由于在上存在单调递减区间，
所以当时，有解，即有解．
设，所以只要即可．
而，所以.所以.
又因为，所以a的取值范围为．
（2）因为在上单调递减，
所以当时，恒成立，
即恒成立．由(1)知，
所以，而，
因为，所以，所以(此时)，所以，
又因为，所以a的取值范围是．
（3）在上存在单调递增区间，
则在上有解，
所以当时，有解，
又当时，，所以 ，
所以a的取值范围是．
（4）因为在上单调递增，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
又当时，(此时)，
所以，即的取值范围是．
14．(1)；
(2).
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法
①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．
②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．
15．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，将函数在其定义域内不是单调函数，转化为方程有解，构造函数，，利用导数判断其单调性，确定其取值范围，结合验证，即可求得答案；
（2）函数有两个极值点，即有两解，转化为函数的图象与直线有两个交点的问题，进而设的图象与x轴的交点为，，表示出两点处的切线方程，即可求得与直线交点的横坐标，的表达式，结合，整理变形，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，．
令，显然不是该方程的解，故，令，，
当以及时，；当时，；
在递减，在递减，在单调递增．
当时，；当时，．
由于函数在其定义域内不是单调函数，即方程有解，
从而或，
当时，令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，即，取等号，
此时在上单调递增，不符合题意，
故或；
（2）时，，．
因为函数有两个极值点，即有两解，
即函数的图象与直线有两个交点，
令，得．当，；当，，
在上单调递减，在上单调递增，
故，所以．
设的图象与x轴的交点为，，
则函数的图象在点P处的切线为．又，，，
所以，函数的图象在Q处的切线为．
设直线与直线，的交点的横坐标分别为，，则，，
所以，
由于，
故，
即．
【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，涉及到函数的单调性以及极值和不等式的证明问题，难点在于（2）根据函数有两个极值点，证明不等式，解答时要将函数有两个极值点，即有两解，转化为函数的图象与直线有两个交点，进而再借助于切线方程，证明结论.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案；
（2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案.
【详解】（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，即的解集为，
故是的两根，即，
当时，，由，解得，
等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故.
（2）函数在单调递减，即在上恒成立，
即在上恒成立，此时，
即在上恒成立，而，故,
经验证当时, 即，
等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意，
故.
17．(1)最小值，最大值7
(2)
【分析】（1）配方函数的解析式，根据函数图象对称轴可以直接得到函数的最值点，进行计算即可；
（2）根据二次函数的单调区间，列出不等式，解出即可.
【详解】（1）当时，，
∵，
∴当时，的最小值为，
当时，的最大值为7.
（2）因为是关于x的二次函数．
它的图象开口向上，对称轴为，
∵在区间上是单调函数，
∴，或者，
即，或者，
又∵，
∴θ的取值范围是.
18．（1），；（2）①；②.
【分析】(1)求函数的导数,利用导数的几何意义建立方程即可求,的值．
(2)①求函数的导数,利用在区间上为单调递增,转化为区间上恒成立,再由分离参数法求解．
②在区间内存在单调递减区间,即在区间内有解,由此可求的范围．
【详解】解：（1），
函数的导数，
则函数在点处的切线斜率，
即切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，
，.
（2）①，，
，，
若在区间上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
在上单调递增，，
可得.
即实数的取值范围是.
②，依题意，存在，使不等式成立.
当时，，
满足要求的的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由题意知，得解；
（2）函数存在单调减区间，等价于存在，使不等式成立，即成立即可；
（3）函数在某区间内为减函数，等价于在该区间内导数小于等于零恒成立；
（4）利用排除法，先求为增函数时，再求为减函数时的值，得结果.
【详解】（1），
函数的导数，
则函数在点处的切线斜率，
即切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，
，.
（2），依题意，存在，
使不等式成立.
当时，，
当且仅当即时等号成立.
满足要求的的取值范围是.
（3）, 且 在 内为减函数,
, 即 在 内恒成立,
，即，
解之得 ,
即实数 的取值范围为 .
（4）由（3）知在上为减函数，的范围是，
若在上为增函数，可知在上恒成立，又的值域为，
∴的范围是，
∴函数在上单调时，的取值范围是，
故在上不单调，实数的取值范围是．
20．答案见解析
【分析】求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性.
【详解】由题知的定义域为，
．
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，，所以在上单调递增；
若，则当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）求函数的定义域，并求出导数，由，得，并讨论与区间的位置关系进行分类讨论，结合导数的符号得出函数的单调区间；
（2）将所证不等式等价转化为.
证法一：先证当，证明，于是得出，再证，利用不等式的传递性得出，然后再证明当时，，于此可证明题中不等式成立；
证法二：先证明，再证，由不等式的性质得出，再利用不等式的传递性可证题中不等式．
【详解】（1）
当，即时，，函数在上单调递增
当，即时，
由解得，由解得，
∴ 函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增．
（2） 令
当时，欲证，即证，即，
即证，
证法一：①当时，
，所以在上单调递增，
即，
，，
令，得，
则列表如下：
，即，
∴当时，；
②当时，即证.
令得
可得在上单调递减，在上单调递增，
，故，
综上①②可知当时，成立．
证法二：先证：.
设则,
∴在上单调递减,在上单调递增.
，
，，即，
即,当且仅当时取等号.
再证：.
设,则.
∴在上单调递增,则,即.
∵,所以.当且仅当时取等号.
又与两个不等式的等号不能同时取到,
即成立，
当时，成立．
【点睛】本题第（1）问考查利用导数求函数的单调区间，要依据导数方程的根与定义域的位置关系进行分类讨论，第（2）问是证明函数不等式，要构造新函数，结合单调性与最值来进行证明，同时也注意放缩法、比较法、基本不等式等常用方法来证明，考查逻辑推理能力，属于难题．
22．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）由（1）得二次函数的对称轴为，分类讨论，求出当、、时函数的最大值，求出对应的m值即可；
（3）由（1）得，易知当时符合题意，分类讨论当、时函数的单调性，列出不等式组，解之即可求解.
【详解】（1）由，得，
则，所以且，解得，
又，则，故．
（2），对称轴，
当，即时，时，，解得；
当，即时，时，，解得；
当，即时，时，，解得（舍），
综上，．
（3），
当时，在R上递增，符合题意；
当时，则，此时函数在上递增，在上递减，
则或或，解得；
当时，，则函数在上递增，在上递减，
则或或，解得，
综上所述，的取值范围为或或.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）由题可知存在使得，然后利用参变分离，构造函数利用导数求函数的最值即得.
【详解】（1）因为，
∴，，
又函数在处的极值为10，
∴，
解得或，
当时，，
函数单调递增，无极值，故不合题意，
当时，，
由，可得或，由，可得，
所以函数在处有极值，
所以；
（2）由题可知，
∴，
∴存在使得，
即在区间内成立，
令，，则，
所以函数，单调递减，
∴，
∴，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
24．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的正负确定原函数的单调区间，进而确定极值即可得解；
（2）将函数不单调转化为导数有变号零点问题，将恒成立转化为求最值问题，分离参数即可得解.
【详解】（1）由函数可得，
当时，令可得；令可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，无极小值；
当时，令可得；令可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
（2）由题意，解得，所以，
则，，
因为函数在区间上不是单调函数，所以在上有变号的根，
即在上有变号的根，
因为函数在上均单调递减，所以在上单调递减，
所以，所以；
当时，即恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，
所以，单调递增，，
所以，即；
综上，实数m的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将函数不单调及恒成立问题进行转化，结合分离参数即可得解.
25．（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）根据的导函数进行分类讨论单调性
（2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可
【详解】解：（1）的定义域为，
，
① 当时，由得，由，得，
所以在上单调递增，在单调递减；
②当时，由得，由，得，或，
所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增；
③当时，，所以在上单调递增；
④当时，由，得，由，得，或，
所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增.
（2）当时，欲证，只需证，
令，，则，
因存在，使得成立，即有，使得成立.
当变化时，，的变化如下：
所以.
因为，所以，所以.
即，
所以当时，成立.
【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.
26．(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.
(2)
(3)
【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.
【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数；
（2）根据谷点性质求参数的取值范围；
（3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值.
27．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先分析的单调性，从而结合的导数得到，再进行检验即可得解；
（2）将问题转化为有两个不同的实根，构造函数，利用导数求得的取值范围，再利用零点的定义消去转化得，从而构造函数，利用导数证得，从而得证.
【详解】（1）函数与的定义域均为，
由得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
由得，
因为与有相同的单调区间，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上单调递增，且0，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
此时与有相同的单调区间，符合题意，
故.
（2）方程有两个不同的实根，
等价于有两个不同的实根，
等价于有两个不同的实根，
令，则，
当时，单调递减，不符合题意，舍去；
当时，方程必有一正根，使得，即，
且当时，单调递减；当时，单调递增，
若方程有两个不同的实根，，
令，则单调递减，
因为，所以，
所以，
因为是方程的两个不同的实根，
所以，，
两式相加，得，即，
两式相减，得，即，
所以，整理得，
不妨设，令，
则，所以单调递增，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
28．（1）（2）或 (3)
【分析】(1)首先可根据以及写出函数的解析式，然后通过即可计算出的值，最后根据的值即可得出函数的解析式；
(2)可根据导函数性质将“函数在区间上单调”转化为“或在上恒成立”，然后根据的取值范围即可得出结果；
(3)可设出函数，然后通过导函数性质得出函数的取值范围，即可得出的取值范围．
【详解】（1）因为函数，，所以
因为，所以，
所以对于任意实数恒成立，，故．
（2）因为，，
所以，，
因为在区间上单调，所以或在上恒成立，
即或在上恒成立，
即或在上恒成立，
令，因为，所以
所以或．
(3)令，，
当时，，当时，，
所以当时，函数有极大值，
因为当时，，当时，，
所以当时，函数有两个零点．
【点睛】本题主要考查导函数的相关性质，函数在某个区间内单调即为函数的导函数在这个区间内大于等于或者小于等于，若想要判断函数的零点，可通过利用导函数求出函数的最值，然后根据函数的最值进行判断，考查函数方程思想，是难题．
29．(1)函数在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）当时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数的单调性；
（2）由的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分类讨论的单调性，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，定义域为，
易知，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，
则，令，，
则．
①当时，，则在上单调递增，
所以当时，，所以在上单调递增，不符合题意．
②当时，，则在上单调递减，
所以当时，，所以在上单调递减，不符合题意．
③当时，由，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
易知，当且仅当x＝1时取等号，则当时，，即．
所以当x＞0时，．
取，则，且．
又，所以存在，使得，
所以当时，，即，
当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，故函数在区间上不单调，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：
由函数的单调性、极值、最值求参数的值（或取值范围），往往需要对参数进行分类讨论，如何划分讨论的区间成为难点．由于这类问题涉及函数的单调性，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号能够确定正负．
30．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）的取值范围
（2）由（1）的单调性存在，使得，的单调性存在，使得要证，即证，即证
只需证明，即可得到.
【详解】（1）解：由题意，函数，可得，
因为在定义域内单调递增，因此恒成立.
当时，，不满足题意.
当时，，满足题意.
当时，即，得，
设，则，
令，可得，所以函数单调递减，
且时，，
因此在时，，单调递增，
在时，，单调递减，
得，从而，得.
综上，实数a的取值范围为.
（2）解：，当时，单调递增，
而，，
因此存在，使得，
且时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，
故存在，使得.
要证明，只需证明，
即证.
由，得，
因此只需证明，即证.
先证明：，.
即证，即证，
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
即，.
接下来证明：，.
即证，设，
则，
设，
则，故单调递减，，
从而，单调递减，故，即，.
因此，，
即不等式成立，故.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
31．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成证明；利用韦达定理表示出结合的范围求解出其范围；
（2）将问题转化为“在上恒成立”，建立函数，通过多次求导分析函数单调性的过程求解出的取值范围.
【详解】（1），
令，
因为，二次函数对称轴，，
且恒成立，
所以恒有两个不相等的正实根，且这两个正实根分别为，，，
所以的单调递减区间是，
所以单调递减区间的长度，
因为，所以的取值范围为；
（2）由题意在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，令，
则，令，
则，令，
则，当时，，
所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，，
当，即时，，
所以在上单调递减，，
所以在上单调递减，成立，所以；
当，即，单调递减函数在时，，且，
所以在上有根，记为，
在上，，在上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，函数在时，，
因此在上有解，记为，
在上，，单调递增，而，
因此在上，，从而在上不恒成立，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
32．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求出导函数，设，利用导函数确定单调性，得极大值点的唯一性及性质，从而证明结论成立；
（2）由在上恒成立，分离参数转化为求函数的最值，在中求导函数，分类讨论:， ，后者再对（引入新函数记号）求导，确定单调性、极值，得出参数范围．
【详解】（1）当时，，所以，
设，所以，
因为，，分别单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，所以，
因为，所以，
根据零点存在定理可得，存在唯一零点，
使得，
所以当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以是函数在区间内唯一的极大值点，
又，所以．
（2）若在上单调递减，则在上恒成立，
参数分离得，，
由（1）得，，其中，
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，设，
单调递增，
，
又，
根据零点存在定理可知，存在唯一使得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
根据零点存在定理可知，存在，使得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
进一步在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
又因为，，所以，
所以为函数在上的最大值，
综上：．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，极值与最值 ，考查不等式恒成立问题，解题难点在于需要多次求导，才能得出函数的性质．对学生的运算求解能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题．
33．(1)
(2)答案见解析
(3)18
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得和是方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出的值，最后求出极小值；
（2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）依题意，即可求出、的范围，再求出导函数，结合特殊值可得有两个实数根，且，即可得到是的极大值点，是的极小值点，则，，结合韦达定理得到，再由，即可求出、的值，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
因为和是的两个极值点，所以和是方程的两根，
故，解得，即，
所以，
因为时，，当时，，
所以在区间上单调增，在区间上单调减，
所以，解得，
所以．
（2）当时定义域为，
又，令，解得或，
若，则当时，；当时，．
故在区间单调递增，在上单调递减；
若，则恒成立，所以在区间单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在区间单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在区间单调递增，在上单调递减；
当时在区间单调递增；
当时在区间单调递增，在上单调递减．
（3）当时，，
由题意得：，即，①
，即，②
由①、②可知，，．③
因为，，
，，
所以有两个实数根，且，
当时，，当时，，
故是的极大值点，是的极小值点．
由题意得，，
即，
两式同向相加得：，④
注意到，，，
代入④得，
由③可知，，则，，
所以，，
所以，
所以，当且仅当，
即，又，所以时成立，
所以，从而．
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到、的取值范围，再结合零点存在性定理得到有两个实数根，且，从而推导出.
1
0
+
极小值
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
x
1
—
0
极小值
0
单调递增
单调递减