新高中数学压轴题二轮专题专题14洛必达法则的应用试题含解析答案

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一、解答题
1．若不等式对于恒成立，求的取值范围.
2．已知函数在处取得极值．
（1）求，的值；
（2）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；
（3）证明：．
3．已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
4．已知.
（1）求的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
5．已知函数．
(1)求函数的图象在点的切线方程；
(2)设函数，当时，恒成立，求实数a的取值范围．
6．作出函数的图象．
7．设函数，若当时，求的取值范围．
8．已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
9．已知函数，若时，求的最小值．
10．已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
11．已知函数，，恒成立，求a的取值范围．
12．设函数，其中是的导函数.
，
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，比较与的大小，并加以证明.
13．若不等式对于恒成立，求的取值范围？
14．已知函数.
(1)若在时有极值，求函数的解析式；
(2)当时，，求的取值范围.
15．设函数.设当时，，求的取值范围.
16．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
17．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数，满足下列条件：
①，；
②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数；
③，其中A是某固定实数；
则.”
那么，假设有函数，.
(1)若恒成立，求t的取值范围；
(2)证明：.
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
19．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
20．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合．
21．已知函数
（I）求证
（II）若取值范围.
22．已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）用分别表示,；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
23．已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，，求实数a的取值范围；
(3)求证：．
24．已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
25．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
26．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
(1)用洛必达法则求；
(2)函数（，），判断并说明的零点个数；
(3)已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
27．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.
28．设函数，曲线恒与x轴相切于坐标原点．
(1)求常数b的值；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求证：恒成立．
29．设函数．
（1）求的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
30．设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
31．已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有3个不同零点，求实数的取值范围.
32．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i）四则运算法则：如果，，则，，若，则；ii）洛必达法则1：若函数，的导函数分别为，，且，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
33．已知函数.
（1）若函数在点处的切线经过点，求实数的值；
（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围.
34．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围．
35．已知函数，.
(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.
36．已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，.对，恒成立，求实数的取值范围.
37．设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求实数的取值范围．
参考答案：
1．
【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围.
【详解】当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，，
所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.
因此在上单调递减，且，
故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即趋向于0时，趋向，即有.
故时，不等式对于恒成立.
2．（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据极值的定义可知，，进而求出，的值；
（2）整理不等式得在恒成立，构造函数，可知，故只需函数为增函数即可，求出导函数，对参数进行分类讨论，得出的范围；
（3）令上式中得在区间上恒成立，根据题型，令，利用累加和放缩法证明结论即可．
【详解】解：（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，，
解得，，经检验符合题意．
（2）由（1）得，所以，
所以在上恒成立，
即在恒成立．
设，则，
，．
设，
①当，即时，，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，满足题设条件．
②当，即时，
设，是方程的两个实根，且，
由，可知，
由题设可知，当且仅当，即，即，
即时，对任意有，
即在上恒成立，
所以在上为增函数，所以．
所以时，也满足题设条件．
综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为1．
（3）证明：由（2）知，当时，，
即在区间上恒成立．
令，得．
所以当时，
当时，原不等式显然成立，∴原不等式得证.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．（1）函数在上单调递增；（2）.
【分析】（1）求导判断函数单调性；
（2）分类讨论：当时，由不等式的性质可以直接判断；当时，构造函数，令其最小值大于等于0即可求解.
【详解】解：（1）由题意，，．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
从而，所以函数在上单调递增．
（2）由题意，对恒成立．
当时，，，，符合题意．
当时，可化为，
令，，
则，其中．
令，，则在上单调递增，
当时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立．
当时，，及在上单调递增，
所以存在唯一的使得，且当时，，
从而当时，，所以在上单调递减，
则当时，，即，不符合题意．
综上所述，的取值范围为．
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
4．（1）增区间为，无减区间；（2）.
【分析】（1）由解析式知定义域为，，令，应用导数研究的单调性，进而判断的单调区间；
（2）法一：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数并结合分类讨论的方法研究的单调性，进而求的范围；法二：将问题转化为在上恒成立，令，应用导数及函数与方程思想，结合分类讨论的方法研究的单调性，求的范围；法三：分离常量法得在上恒成立，令应用导数研究的单调性，求的范围；
【详解】（1）由解析式知：的定义域为且，
令，则
∴当时，；当时，，
∴在单调递减，在单调递增，即，
∴在上单调递增，即的增区间为，无减区间.
（2）解法1：直接求导，分类讨论.
对任意，不等式恒成立等价于对任意，不等式恒成立.
令，则，
令，则，由知：，
①当，即时， 即，即在上单调递减，又，
∴时，，即在上单调递减，又，
∴时，，符合题意.
②若，即，
当时，，
∴在单调递增，即时，，
故不恒成立，不合题意.
③若，则恒成立，所以在单调递增.
∴时，，即在单调递增，
又时，，即恒成立，不合题意.
综上所述，的取值范围是.
解法2：
对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
令，则，记，
①当时，，此时，在单调递减，又，
所以时，，即对任意，恒成立.
②当时，，在上单调递增，又，
所以时，，即对任意，恒成立，不符合题意.
③时，不等式化为，显然不成立.
④当且时，方程的二根为，，
若，，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立；
若，，则在单调递增，又，所以时，，即不等式不恒成立.
综上所述，的取值范围是.
解法3：参数分离
当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立.
记，则
，
记，
则，
所以在单调递减，又，所以，时，，即，
所以在单调递减.所以，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：
（1）由解析式确定函数定义域，应用导数研究函数的单调区间；
（2）利用导数研究在某区间内不等式恒成立，综合应用分类讨论、函数与方程等思想，以及分离常量法结合极限思想，求参数范围.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先不等式转化为恒成立，再构造函数，利用导数讨论函数的单调性，转化为证明.
【详解】（1），，，
根据导数的几何意义即可求出，所求切线方程为；
（2）若对任意的，恒成立，
则恒成立，
设，
只需即可，
由，
（ⅰ）当时，，
当时，，函数在上单调递减，
故，满足条件，
（ⅱ）当时，令，解得：，
① 若时，即，在区间上，，
则函数在上单调递增，
，当且仅当时，等号成立，此时不满足条件，
② 若时，即，
函数在上单调递减，在区间上单调递增，
，此时不满足条件，
（ⅲ）当时，由，
所以，
所以，函数在上单调递减，
故，满足条件，
综上可知，实数的取值范围是
6．图象见解析
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，求出最值和特殊点即可
【详解】的定义域为R，．
当时，；当时，．
因此，在上单调递减，在上单调递增．
所以，的值域为．
，根据洛必达法则有．
因为，所以的图象过原点，
的大致图象如图所示．
7．
【分析】方法一：令，所以，，再对分和两种情况讨论判断是否成立即得解.
【详解】[方法一]：由题得，
令，所以，
当时，恒成立，仅当时，
在单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
所以满足题意；
当时，得，得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以函数在单调递减，
又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.
综上所述：.
[方法二]：，由指数不等式，当且仅当时，等号成立．
得，从而当，即时，，
而，于是当时，．
由可得
从而当时，1），
故当时，，而，当时，0，不合题意．
综合得的取值范围为．
8．
【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案.
【详解】当时，，即，
①当时，，，
②当时，等价于，
即，
令，，则，
记，，
则，因此在上单调递增，
且，所以， 从而在上单调递增，
所以，
由洛必达法则得，
即，.
综上所述，实数a的取值范围为.
9．
【分析】第一步：泰勒展开放缩得必要性范围，第二步：常规讨论验证，即可求得结果.
【详解】第一步：泰勒展开放缩得必要性范围．
要在时恒成立，
利用不等式，有，该不等式在时取等号，
对上式进行放缩，利用求的最小值．
当时，上式化简为，此时．当时，上式化简为，则有．
第二步：常规讨论验证．
由已知，，且，
若，则当时，，所以当时，，
若，则当时，，所以当时，.
所以当时，若，则，其最小值为．
综上所述，的最小值为．
10．（1）（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
11．
【分析】恒成立问题，利用参变量分离，转化为最值问题，可以借助洛必达法则求得最值，从而得解.
【详解】当时，不等式恒成立，；
当时，由得，
令，则，
令，
则，当，，当，，
所以在单调递增，在单调递减，
又，，故存在使得，
当，，当，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以的最小值在或处取到，
由洛必达法则
，
又因为，所以，
所以．
12．（1）；（2）；（3），证明见解析.
【详解】，，
（1）
，，，，即，当且仅当时取等号
当时，
当时
，，即
数列是以为首项，以1为公差的等差数列
当时，
（2）在范围内恒成立，等价于成立
令，即恒成立，
令，即，得
当即时，在上单调递增
所以当时，在上恒成立；
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
设
因为，所以，即，所以函数在上单调递减
所以，即
所以不恒成立
综上所述，实数的取值范围为
（3）由题设知：，
比较结果为：
证明如下：
上述不等式等价于
在（2）中取，可得
令，则，即
故有
上述各式相加可得：
13．
【分析】分离出参数，再求函数的最值即可.
【详解】当时，原不等式等价于.记，
则.
当时，令，则，可知在上单调递增，所以，即，
所以.因此在上单调递减.
；.
所以.
14．(1)
(2)
【分析】小问1：由可得的值，进而可得表达式，然后进行检验符合条件即可；
小问2：根据题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数分析的单调性结合由洛必达法则，则最值即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
由在处取极值，得，求得，
当时，；当时，；
则在时有极大值，符合题意，
所以；
（2）当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而
在上单调递增，所以，
由洛必达法则有：，即当时，，所以
，即有，
综上所述，当，时，成立．
15．
【分析】对a分和讨论，在时，构造函数，再对求导，结合，及讨论单调性求解作答.
【详解】当时，，
令，，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，，即，
，，，即，
当时，若，则，不成立，
当时，令，则，
，
当时，，
在上单调递减，，，即恒成立，
当时，显然有，即，则有：，
当时，，在单调递增，，有，与已知矛盾，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
16．（Ⅰ）在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数．
（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）．
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数．
（Ⅱ）令，则
．
故当时，．
又，所以当时，，即．
当时，令，则．
故当时，．
因此在上单调增加．
故当时，，
即．
于是，当时，．
当时，有．
因此，的取值范围是．
17．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得恒成立，然后分三种情况，根据不等式恒成立，求出t的取值范围.
（2）令，对求导，判断的单调性，求出，进而得到，结合（1），即可证明.
【详解】（1）若恒成立，即恒成立，
当时，，成立，
当时，，令，
，令，
，
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，即，
所以当时，，即单调递增，
由洛必达法则知：，
所以当时，，所以,
同理，当时，可得，所以
综上所述：t的取值范围为.
（2）令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，，
所以当，，即（当且仅当时，等号成立）
由（1）知，（当且仅当时，等号成立）
所以.
18．（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．
【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造函数F（x）=f（x）-x+1，先求出函F（x）的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）通过讨论k的范围，结合函数的单调性求解即可
试题解析：（1）得.
得，解得
故的单调递增区间是
（2）令,
则有
当时，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，
（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有则
从而不存在满足题意．
当时，令，
由得，．
解得
当时，，故在内单调递增．
从而当，即
综上，k的取值范围是
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
19．(1)不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造，再结合即可得到结果；
（3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论.
【详解】（1）设，
由于，
所以不成立，
故不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）设，则，
设，
则，
所以，得.
（3）令，则原不等式等价于，
即证，
记，则，
所以，
即有对任意，均有，
所以，
因为，
所以，
所以，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.
20．的取值集合为
【分析】以为分界点对不等式进行讨论，利用导数与函数单调性的关系，以及不等式恒成立的条件即可求解.
【详解】恒成立，即．
当时显然成立，即．
当时，，令，则，
令，则，所以递增，
所以，所以在上恒成立．
所以在上递增，
根据洛必达法则得，，所以．
同理，当时，．
综上所述，的取值集合为．
21．（I）见解析（II）
【详解】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．
试题解析：（1）要证时，，只需证明.
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以.
要证时，，只需证明，
记，则，
当时，，因此在上是增函数，故，
所以，.
综上，，.
（2）（解法一）
.
设，则，
记，则，
当时，，于是在上是减函数，
从而当时，，故在上是减函数，于是，
从而，
所以，当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，
.
记，则，
当时，，故在上是减函数.
于是在上的值域为.
因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
（解法二）
先证当时，.
记，则，
记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.
所以当时，.
同理可证，当时，.
综上，当时，.
因为当时，
，
所以当时，在上恒成立.
下面证明，当时，在上不恒成立，因为
.
所以存在（例如取和中的较小值）满足.
即在上不恒成立.
综上，实数的取值范围是.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．
【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．
22．(1)；(2).
【详解】试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设条件运用导数的知识求解.
试题解析：
（1）因为，由题设，则有，解得.
（2）由（1）知，，
令，
所以 ，
当时，，或，
①当时，有，
当时，，是减函数.又因为，所以时，，所以，故时，不恒成立；
②当时，有
当时，，则在上为增函数．所以，当时，，即.综上所述，所求的取值范围为 .
考点：导数在研究函数单调性和最值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求参数之间的关系.求解时借助题设条件和导数的几何意义,先求函数的导函数,再运用函数与直线相切的关系求出；第二问的求解中借助导数,先构造函数将问题等价转化为函数的最小值是的问题.进而通过分类分析推证求得实数的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.
23．(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，对求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值；
（2）由题意可得，令，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的的取值范围；
（3）令，在上单调递增，得到，从而证出结论.
【详解】（1）解：当时，，则．
令，得．
当时，；当时，．
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴当时，函数取得最小值，其值为．
（2）若时，，即．
，令，
则
①若，由（1）知，即，则，故，
所以，
所以函数在区间上单调递增，
所以，所以.
②若，令，
则
所以函数在区间上单调递增，
由于，
，
故，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
∴，即式不恒成立．
综上所述，实数a的取值范围是
（3）由（2）知，当时，在上单调递增．
则，即．
∴．
∴，即．
24．（1）函数在R上是增函数；（2）2；（3）
【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；
（2）因为=，
所以=.
当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；
当时，若满足，即时，，而，
因此当时，，
综上，的最大值为2.
（3）由（2）知，，
当时，，；
当时，，，
，所以的近似值为.
【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对去讨论；对第（3）问,
找不到思路.
考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
25．
【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值.
【详解】∵，∴．
∴当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增．
若当时，恒有成立，即恒有成立．
当时，不等式恒成立．
当时，恒有成立，
即，令，
则．
令，则，进一步，
∴ 在上单调递减，∴．
∴在上单调递减，∴．
即在上恒成立，∴在上单调递减．
∴，∴．
综上，的取值范围为．
26．(1)
(2)仅在时存在1个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数，结合的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2），，
所以，．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
当时，，所以仅在时存在1个零点．
（3），所以，，…，
将各式相乘得，
两侧同时运算极限，所以，
即，
令，原式可化为，又，
由（1）得，
故，由题意函数的定义域为，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限.
27．(1)证明见详解；
(2)；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明；
（2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值；
（3）先证明是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证.
【详解】（1）记，
因为，
所以在区间不恒成立，
所以，不是区间上的2阶无穷递降函数.
（2）记，则，
因为，
所以，所以.
（3）因为，所以，
所以，
即对任意，均有，
所以，
因为，
所以
，
所以，时，.
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：
（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；
（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；
（3）含有参数时要注意分类讨论.
28．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，由求出答案；
（2）先考虑时，满足要求，再考虑，参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性，结合洛必达法则求出实数a的取值范围；
（3）推导出要证，只需证，
令，则，构造函数，，并证明出不等式即可.
【详解】（1），
由得，；
（2）当时，，满足要求，
当时，分离变量可得：，
令，则，
令，，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，故，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
故，故，
两边平方得，故在恒成立，
故在上单调递增，
故只需证明即可，当时，属于类型，
由洛必达法则得，
，
故，实数a的取值范围是；
（3）要证，
故只需证，
只需证，只需证，
令，则，构造函数，即可，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，所以，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，所以，
综上，，证毕.
【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解，当遇到或型时，可用洛必达法则求解最值.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
29．（1）在单调递增，在单调递减，在的极大值为，没有极小值；
（2）存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，在函数的定义域内解不等式和，求出单调区间，讨论满足的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值；
（2）对进行讨论，当时，恒成立，关于的不等式的解集为符合题意．当时，关于的不等式的解集不是．
【详解】解：（1）．
故当时，，时，．
所以在单调递增，在单调递减．
由此知在的极大值为，没有极小值．
（2）（ⅰ）当时，
由于，
故关于的不等式的解集为．
（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有
．
又时，．
且．
取整数满足，，且，
则，
即当时，关于的不等式的解集不是．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问的（ⅱ），转化为证明.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据，求解；
（2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
解得，
所以；
（2）由（1）可知，时，，此时，；
故时，成立时，成立，
对恒成立，
即对恒成立；
记，则，
记，则，
记 ，则 ，
∴当0时，，在上单调递增；
，
所以在上单调递增；；
∴时，0，即在上单调递增；
记，，
当时，，符合洛必达法则条件，
∴，
∴时，，
∴．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解.
31．(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】(1)将 代入 的函数解析式，对 求导即可判断出 的单调区间；
(2)考虑到 ，对 参数分离，构造函数，求导即可求解.
【详解】（1）时，
，
令 得 或 在 时单调递增，
时单调递减， 时单调递增；
所以函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为；
（2）注意到 ，
设 ，则在时有两不同解，
，令
， ，令 ，则有 ，
是增函数，则 时， ， 时， ，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增， ，
所以 时， ， 时， ，
所以在 时，单调递减， 时，单调递增，
因为 ，
当 时， ， ，
即 ，当 时， ，
并且 ， ，并且 ，
当 时， ，
函数图像如下：
所以 即 ；
综上，函数得单调递增区间为 和 ，单调递减区间为，
.
【点睛】本题的难点在于参数分离后，对 图像的讨论，当 时，需用夹逼方法，
时，需用洛必达法则，当 时，需用指数函数与幂函数的增长速度模型或者用洛必达法则也可.
32．(1)①；②
(2)是，证明见解析
【分析】（1）①根据洛必达法则1，以此计算即可得解；②设，根据洛必达法则1求出，利用变换得解；
（2）方法1，，均有，同理可得，利用洛必达法则1可得，得证；方法2，利用导数可得在上单调递增，又由，得证.
【详解】（1）①根据洛必达法则1，.
②设，则，
设，，
，
.
（2），，
，则，，
，
，均有，
是区间上的2阶无穷递降函数.
方法一：
由以上同理可得，
由①，得
，.
方法二：
，
设，，则，
设.，则，
在上单调递增，又，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，，
在上单调递增，
又
，.
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第一问，构造函数，根据洛必达法则1求出，得解； 第二问，方法1先证明是区间上的2阶无穷递降函数，同理可得，根据洛必达法则1可得；方法2，利用导数可判断在上单调递增，再根据洛必达法则求出，即可.
33．（1）；（2）.
【分析】（1）求出的导数，求，斜率为，写出切线的方程，再将点点代入切线方程即可求出实数的值；
（2）易知为方程的根，只需证明当和时原方程均没有实数解即可，分别讨论，当时，，，方程的解得情况，以及当时，，，方程的解得情况，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1），所以在点处的切线的斜率，
又，所以切线的方程为：，
即，由经过点可得：.
（2）易知为方程的根，
由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可.
①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，，，
令，故在单调递增，在单调递减
故在单调递减
从而，，此时方程也无解.
若，由，
记，则，
设，则有恒成立，
所以恒成立，
故令在上递增，在上递减
，可知原方程也无解
由上面的分析可知时，，方程均无解.
②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解
若，和①中的分析同理可知此时方程也无解.
若，由，
记，则，
由①中的分析知，
故在恒成立，从而在上单调递增
，
如果，即，则，
要使方程无解，只需，即有
如果，即，此时，方程一定有解，不满足.
由上面的分析知时，，方程均无解，
综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解.
【点睛】本题主要考查了导数应用，导数的几何意义，利用导数判断单调性，函数方程转化思想，分类讨论思想，属于难题.
34．（1）， （2）（-，0]
【详解】（1）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，．
（2）由（1）知，所以
．
考虑函数，则．
(i)设，由知，当时，，h(x)递减．而故当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾．
（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为（-，0]
点评：求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解．若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了．即以参数为分类标准，看是否符合题意．求的答案．此题用的便是后者．
35．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意恒成立，分离参数，结合三角函数有界性，即可求得结果；
（2）对分离参数，并构造函数，利用导数判断其单调性，结合洛必达法则求解其极限，即可求得参数范围.
【详解】（1）∵函数在上单调递增，
∴恒成立，∴，即，∴，
即实数的最小值为.
（2）∵，∴函数，
由（1）可得在上单调递增，故当，，即，
由对任意都成立，得恒成立.
即恒成立.
①当，恒成立；
②当，恒成立；
③当时，即：恒成立；
令，则
∴在上单调递增；
由洛必达法则：，
故，即实数的取值范围为.
初等方法解决：
∵，∴函数，∵，∴.
对于任意，令，
则
①当，即时，，
∴在上为单调递增函数，∴，符合题意，∴.
②当，即时，令，于是.
∵，∴，∴，∴在上为单调递增函数，
∴，即，∴.
①当，即时，，
∴在上为单调递增函数，于是，符合题意，∴.
②当，即时，存在，使得当时，有，
此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
36．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，分析可知，是函数的一个极值点，由可求出的值，再结合极值点的定义验证即可；
（2）利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可证明函数存在唯一的极小值点，然后由可得出，由极值点的定义可得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立；
（3）由已知可得出恒成立，在时直接验证即可；在时，可得出，利用洛必达法则可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意，函数，可得其定义域为，
因为，且，可得，
令，则是函数的一个极值点，可得，
因为，且，可得，解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，符合题意，所以，.
（2）证明：由（1）可得函数，
可得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，，，
所以，使得，
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以存在唯一极小值点.
因为，所以，
又因为，所以，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，所以，
综上可得：.
（3）解：对，恒成立，即恒成立，
即不等式恒成立.
当时，不等式对任意实数都成立；
当时，，所以，
令，
可得，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，单调递减，所以，
所以，单调递减，
又由洛必达法则：，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
37．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）在证明不等式时一般可以通过等价变形将要证明的不等式简化，本题中注意到时，，于是有，即令只需证明即可；（Ⅱ）由时，恒成立，故.
设，，．
设，，则.当，即时，，时，，，故.所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒成立矛盾.
试题解析：（Ⅰ）证明：注意到时，，
于是有，即.
令，．，令，得．
当变化时，的变化情况如下表：

可见在上单调递减，在上单调递增，所以当时，
，故当时，，即，从而，且当且仅当时等号成立．
（Ⅱ）解：由时，恒成立，故.
设，，
则．
设，，
则.
当，即时，，时，，，故.
所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.
当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒成立矛盾.
综合上述得实数的取值范围是．
考点：函数与导数、不等式的综合应用