2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区八年级上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列四个图形中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、
三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )
A. 三条高线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条中线的交点
如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．
下列结论不能由上述操作结果得出的是( )
A. B.
C. D.
如图，将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，折痕为，现有以下结论：
；
；
平分；
是等边三角形；
垂直平分；
其中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
的算术平方根是______，的立方根是______．
角的内部到角两边距离相等的点在______上．
如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为______ ．
如图，已知平分，要使≌，根据“”需要添加条件______．
若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______．
已知一个直角三角形两直角边长分别是和，则斜边上的高的长度是______．
在直角中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为______．
“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是______．
如图，在中，，，点是上一点，，则的长为______．
如图，线段的长度为，所在直线上方存在点，使得为等腰三角形，设的面积为当______时，满足条件的点恰有三个．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
求下列各式中的
；
．
四、解答题（本大题共9小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：
；
．
本小题分
如图，点、在边上，，，．
求证：．
本小题分
在边长为个单位长度的小正方形网格中，给出了顶点是网格线的交点．
的面积为______；
在直线上找一点，使点到边、的距离相等；
画出关于直线对称的图形；再将向下平移个单位，画出平移后得到的．
本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，、相交于点，，．
求证：．
本小题分
证明命题：直角三角形角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．
已知：______；
求证：______；
证明过程：______．
本小题分
在中，，，，将绕点依次旋转、和，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
请利用这个图形证明勾股定理；
图所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点顺时针连续旋转次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为______．
本小题分
【知识运用】如图，，，，相交于点求证：；
【数学思考】已知三个点，和，只允许用圆规作点，使得，两点关于所在的直线对称．
本小题分
如图，在等边中，线段为边上的中线，动点在直线点与点重合除外上时，以为一边且在的下方作等边，连接．
判断与是否相等，请说明理由；
如图，若，点、两点在直线上且，试求的长；
在第小题的条件下，当点在线段的延长线或反向延长线上时．判断的长是否为定值，若是请直接写出的长；若不是请简单说明理由．
本小题分
如图，已知直线、及点作等腰直角，使得点、分别在直线、上．尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明
当时，在图、中画出，使得两个三角形不全等．
当与不平行时，在图、中画出，使得两个三角形不全等．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】
【解析】解：如上图，已知，上面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是乙，
故选：．
利用全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据勾股定理的逆定理，由，得长度为、、的三条线段能组成直角三角形，那么符合题意．
B.根据勾股定理的逆定理，由，得长度为、、的三条线段能组成直角三角形，那么不符合题意．
C.根据勾股定理的逆定理，由，得长度为、、的三条线段能组成直角三角形，那么不符合题意．
D.根据勾股定理的逆定理，由，得长度为、、的三条线段能组成直角三角形，那么不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理解决此题．
本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
，，．
，．
故B、、都可得到．
≌，
，则不一定得出．
故选：．
证明≌，根据平行线的判定定理即可得出结论．
本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明≌是关键．
6.【答案】
【解析】解：将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，
≌，
，，，，
，平分，故正确，
，，
垂直平分，故正确，
不一定等于，
不一定是等边三角形，故错误，
故选：．
由折叠的性质可得，，，，可得，平分，由线段垂直平分线的判定可得垂直平分，由不一定等于，可得不一定是等边三角形，即可求解．
本题考查了翻折变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：的算术平方根是，的立方根是，
故答案为：，．
根据算术平方根和立方根的定义求解可得．
本题主要考查立方根与算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根与立方根的定义．
8.【答案】这个角的平分线
【解析】解：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，
故答案为：这个角的平分线．
利用角平分线的性质，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
的周长．
故答案为．
根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
10.【答案】
【解析】解：添加条件：；
平分，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
首先根据平分可得，再加上公共边，还缺少一个角相等的条件，因此可添加．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
当的角是底角时，则顶角度数为；
当的角是顶角时，则顶角为．
故答案为：或．
等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据勾股定理，斜边长为，
根据面积相等，设斜边上的高为，则
，
解得，；
故答案是：．
根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等，即可求出斜边上的高．
本题考查勾股定理的知识，注意利用面积相等来解题，是解决直角三角形问题的常用的方法，可有效简化计算．
13.【答案】
【解析】解：如右图，过点作于点，则即为所求，
，平分交于点，
角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的性质定理，解答出即可；
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
14.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
15.【答案】
【解析】解：，
和是直角三角形．
在中，
，
．
在中，
，
．
．
设，则，
．
．
即的长为．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出，进而解方程得出答案．
此题主要考查了勾股定理，正确得出等式是解题关键．
16.【答案】或
【解析】解：如图所示：
分别以，为圆心，长为半径作圆，两圆相交于点，过点作直线，分别交两圆于点，，
此时满足条件的点恰好有个，为边长为的等边三角形，其高为
如图所示：
分别以，为圆心，长为半径作圆，在两圆上方作直线，与两圆分别相切于点，，
点为与线段的垂直平分线的交点，此时满足条件的点恰好有个，
和均为腰长为的等腰直角三角形，为底边为，高为的等腰三角形
故答案为：或．
分别以，为圆心，长为半径作圆，两圆相交于点，过点作直线，分别交两圆于点，；分别以，为圆心，长为半径作圆，在两圆上方作直线，与两圆分别相切于点，，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
解得：，
即，．
，
，
则．
【解析】根据平方根的定义得，解之可得；
根据立方根的定义即可得．
本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
18.【答案】解：

；


．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19.【答案】证明：，
，
．
，
，
在与中，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：的面积为，
故答案为：；
如图所示，点即为所求；
如图所示，即为所求．
利用割补法求解可得；
作的平分线，与直线的交点即为所求；
先作出关于直线的对称三角形，再向下平移个单位即可．
本题主要考查作图轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】中，，

证：延长到，使，连接，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，

【解析】
【分析】
本题考查了含角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定．
延长到，使，连接，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可得出答案．
【解答】
已知：中，，，
求证：，
证明：
延长到，使，连接，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：
中，，；
；
延长到，使，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
．
23.【答案】
【解析】证明：正方形的边长为，
正方形的面积等于，
正方形的面积还可以看成是由个直角三角形与个边长为的小正方形组成的，
正方形的面积，
；
解：设的较长直角边为，短直角边为，斜边为，
根据题意得，，，
又
，
，
，
，
故徽标的外围周长为，
故答案为：．
从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
设的较长直角边为，短直角边为，斜边为，则有，，利于整体思想可求出斜边的长，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边的长是解题的关键．
24.【答案】【知识运用】证明：，，
为线段的垂直平分线，
；
【数学思考】解：以为圆心、为半径画弧，再以为圆心、为半径画弧，
两弧交于点，则点即为所求，
证明：，，
是的垂直平分线，
，两点关于所在的直线对称
【解析】【知识运用】根据线段垂直平分线的判定定理得到为线段的垂直平分线，证明结论；
【数学思考】以为圆心、为半径画弧，再以为圆心、为半径画弧，两弧交于点，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、基本尺规作图、轴对称的性质，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
25.【答案】解：理由如下：
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，过点作于点，
，
，
是等边三角形，是中线，
，，
全等三角形对应边上的高相等，
，
，
；
的长为定值．
点在线段的延长线或反向延长线上时，和全等，
对应边、上的高线对应相等，
是定值，
的长是定值．
【解析】根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据全等三角形对应边上的高线相等可得，然后利用勾股定理列式求出的长度，从而得解；
根据的结论，点到的距离等于的长度，是定值，所以，的长是定值不变．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点到的距离等于是解题的关键．
26.【答案】解：如图中，即为所求；

如图中，即为所求．

【解析】如图中，过点作直线于点交直线于点，截取，，连接，，即可；
如图中，过点作直线于点交直线于点，截取，连接，过点作，交直线于点，连接即可；
如图中，作点关于直线的对称点，交直线于点，以为圆心，为半径作弧交直线于点，作直线交直线于点，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，即为所求；
同法在图中，得到即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．