2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县八年级上学期期中数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A'B'C'，这个补充条件是（ ）
A．BC＝B'C'B．∠A＝∠A'C．∠C＝∠C'D．AC＝A'C'
3．在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．24，25，7D．5，12，13
4．如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120°B．116°C．106°D．96°
5．到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
6．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2B．3C．4D．7
7．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
8．已知△ABC是边长为9的等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交BC的延长线于F．若AE＝2BE，则CF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
9．如图，已知∠ACB＝∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是 ．
10．已知等腰三角形的一个底角为80°，则顶角的度数是 ．
11．如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 种不同的涂法．
12．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为 ．
13．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm．
14．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长为 ．
15．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝105°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN＝ ．
16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为 ．
17．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 ．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有9小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．如图，点A，F，E，D在一条直线上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求证△ABE≌△DCF．
20．如图，AC、BD相交于点O，AB＝AD，BC＝CD．求证：AC⊥BD．
21．如图，已知C、B、D在同一条直线上，且∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AB＝BE．
（1）求证：△CAB≌△DBE；
（2）若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试利用这个图形验证勾股定理．
22．如图，某地有三个村庄A、B、C，它们之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，为助力“乡村振兴”，规划部门计划要从B村修一条公路BD，使得BD⊥AC，已知公路的造价为39万元/km，请问修这条公路BD的造价是多少万元？
23．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
24．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
27．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点B落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝ ．
②如图2，PB与CD相交于点F，AB与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判定即可得出答案．
解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义进行求解是解决本题的关键．
2．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，补充条件后，仍不一定能保证△ABC≌△A'B'C'，这个补充条件是（ ）
A．BC＝B'C'B．∠A＝∠A'C．∠C＝∠C'D．AC＝A'C'
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵AB＝A'B'，∠B＝∠B'，
∴当BC＝B′C′时，根据“SAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以A选项不符合题意；
当∠A＝∠A′时，根据“ASA”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以B选项不符合题意；
当∠C＝∠C′时，根据“AAS”可判断△ABC≌△A'B'C'，所以C选项不符合题意；
当AC＝A′C′时，不一定能保证△ABC≌△A'B'C'．所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
3．在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．3，4，5B．4，5，6C．24，25，7D．5，12，13
【分析】根据勾股数的概念判断即可．
解：A、∵32+42＝52，
∴3，4，5是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵42+52≠62，
∴4，5，6不是一组勾股数，本选项符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴24，25，7是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，
∴5，12，13是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
4．如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为（ ）
A．120°B．116°C．106°D．96°
【分析】连接BD，求出∠CDB+∠CBD可得结论．
解：如图，连接BD．
∵△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°，
∵∠BAD＝46°，
∴∠ABD+∠ADB＝134°，
∴∠CDB+∠CBD＝134°﹣30°﹣30°＝74°，
∴∠BCD＝180°﹣74°＝106°，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
【分析】根据角平分线的性质，可以到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点，本题得以解决．
解：到△ABC的三边距离相等的点是△ABC的三条角平分线的交点，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质、三角形的内心，解答本题的关键是明确角平分线的性质和三角形的内心．
6．如图，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在边AB，AC上分别截取AG，AF，使AG＝AF；分别以G，F为圆心，以大于GF的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点H；作射线AH交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，则△ACD与△ABD的周长差为（ ）
A．2B．3C．4D．7
【分析】由作法得AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DB＝DE，再证明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等线段代换得到△ACD的周长﹣△ABD的周长＝CE+CD﹣BD．
解：由作法得AD平分∠BAC，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DB＝DE，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AB，
∴△ACD的周长﹣△ABD的周长＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
7．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（ ）
A．4 mB．5mC．6mD．8m
【分析】连接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，过点C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分别求出AF、CF的长，进而可得AB的长．
解：连接AC、BC，过点C作CF⊥AB于F，
因为测温仪的有效测温距离为5m，
所以AC＝BC＝5m，
又测温仪C与直线AB的距离为3m，
在Rt△ACF中，据勾股定理得：
AF＝＝＝4（m），
同理得BF＝4m，
所以AB＝8m，
即学生沿直线AB行走时测温的区域长度为8m．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
8．已知△ABC是边长为9的等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交BC的延长线于F．若AE＝2BE，则CF的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】过点D作DK∥BC交AB于K，先证明三角形AKD是等边三角形，再结合D是AC的中点得出CD＝DK，再由ASA证明△DKE≌△DCF得出CF＝KE，再根据AE＝2BE，AB＝9得出AE的长即可推出结果．
解：如图，过点D作DK∥BC交AB于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DK∥BC，
∴∠ADK＝∠ACB＝60°，∠AKD＝∠B＝60°，
∴△AKD是等边三角形，
∴AD＝KD，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
∴CD＝KD，
∵∠ADK＝∠AKD＝60°，
∴∠CDK＝∠DKE＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDF＝∠CDK，
∴∠KDE＝∠CDF，
∵∠DCF＝∠180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠DCF＝∠DKE＝120°，
∴△DKE≌△DCF（ASA），
∴CF＝KE，
∵AE＝2BE，AB＝AE+BE＝9，
即2BE+BE＝9，
∴BE＝3，
∴AE＝6，
∵AK＝AD＝，
∴CF＝KE＝AE﹣AK＝6﹣＝1.5，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，证明△DKE≌△DCF是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）
9．如图，已知∠ACB＝∠ACD，要用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是 ∠BAC＝∠DAC ．
【分析】题目中已经有∠ACB＝∠ACD，再有公共边AC＝AC，可以添加∠BAC＝∠DAC即可利用“ASA”证明△ABC≌△ADC．
解：添加条件∠BAC＝∠DAC．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（ASA）．
故答案为：∠BAC＝∠DAC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．已知等腰三角形的一个底角为80°，则顶角的度数是 20° ．
【分析】由已知底角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出顶角的度数．
解：∵等腰三角形的底角为80°，
∴顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的底角相等是解题的关键．
11．如图，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，一共有 4 种不同的涂法．
【分析】利用网格根据轴对称的性质即可解决问题．
解：如图所示：
一共有4种不同的涂法．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
12．已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为 6 ．
【分析】由非负数的性质，求得a、b、c的值，再勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进一步求得该三角形的面积．
解：由题意知a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形的形状是直角三角形，
则该三角形的面积是3×4÷2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．还运用了勾股定理的逆定理．
13．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ 4 cm．
【分析】先根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF，
∵△ABC面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，
解得DE＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
14．如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝5，AC＝7，则△AMN的周长为 12 ．
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝5，AC＝7，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+MO+ON+AN
＝AM+MB+NC+AN
＝AB+AC
＝5+7
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
15．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝105°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN＝ 30° ．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝75°，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝180°﹣105°＝75°，
∵EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠EAB+∠NAC＝75°，
∴∠EAN＝105°﹣75°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为 65°或25° ．
【分析】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣40°＝50°，
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
17．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为 21 ．
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
解：如图，
由题意得AC＝＝，AB＝CD＝2，△ABD是直角三角形，
则大正方形面积＝AC2＝29，
∴△ADC面积＝CD•AB＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积S＝29﹣4×2＝21，
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系，利用转换面积作差求解．
18．如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 15 ．
【分析】作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则AF'的长即为AE+EF的最小值．
解：作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则FE＝F'E，AF'的长即为AE+EF的最小值．
长方形ABCD中，AB＝6，F为CD的中点，
∴F′C＝FC＝CD＝AB＝3，
∴F'D＝CD+CF'＝6+3＝9，
∴A'F＝＝＝15，
即AE+EF的最小值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.画图或作图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19．如图，点A，F，E，D在一条直线上，AE＝DF，∠CFD＝∠BEA，AB∥CD．求证△ABE≌△DCF．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，进而利用ASA证明△ABE≌△DCF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
20．如图，AC、BD相交于点O，AB＝AD，BC＝CD．求证：AC⊥BD．
【分析】证明△ABC≌△ADC（SSS），可得∠BAC＝∠DAC，然后根据等腰三角形三线合一即可解决问题．
【解答】证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AB＝AD，
∴AC⊥BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．如图，已知C、B、D在同一条直线上，且∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AB＝BE．
（1）求证：△CAB≌△DBE；
（2）若设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试利用这个图形验证勾股定理．
【分析】（1）根据AAS即可得出结论；
（2）根据梯形的面积公式，以及梯形ACDE的面积＝S△ABC+S△EBD+S△ABE即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
又∵AB＝BE，
∴△CAB≌△DBE（AAS）；
（2）解：∵△CAB≌△DBE，
∴DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，AB＝BE＝c，
∵梯形ACDE的面积＝
＝
＝，
梯形ACDE的面积＝S△ABC+S△EBD+S△ABE
＝
＝ab+，
∴，
即a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，某地有三个村庄A、B、C，它们之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，为助力“乡村振兴”，规划部门计划要从B村修一条公路BD，使得BD⊥AC，已知公路的造价为39万元/km，请问修这条公路BD的造价是多少万元？
【分析】首先得出BC2+AB2＝122+52＝169，AC2＝132＝169，然后利用其逆定理得到∠ABC＝90°，然后利用面积相等求得BD的长，即可得到结论．
解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴S△ABC＝AB•BC＝AC•BD，
∴BD＝＝（km）．
×39＝180（万元）．
答：修这条公路BD的造价是180万元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
23．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
【分析】①由平行线的性质得∠ADB＝∠DBC，再由角平分线的定义得∠ABD＝∠DBC，则∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；
②由平行线的性质得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，则AC＝AD，然后由等腰三角形的性质得∠ACD＝∠ADC，则∠ACD＝∠DCE，即可得到结论．
【解答】证明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知，AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
24．已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；
（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．
25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN．
【解答】（1）证明：连接EM、DM，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点，
∴DM＝BC，EM＝BC，
∴DM＝EM，
∵N是DE的中点，
∴MN⊥ED；
（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点，
∴DM＝BC＝BM，
∴∠DBM＝∠BDM，
同理∠MEC＝∠MCE，
∵∠ECB+∠DBC＝45°，
∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵N是DE的中点，DE＝10，
∴MN＝DE＝5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，
，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下：
CD＝CH．
证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
又∵CD＝CE，
∴CH＝CD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
27．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．
（1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）．
①如图1，当点B落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即△AEP的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时DE＝ 6 ．
②如图2，PB与CD相交于点F，AB与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长．
（2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长．
【分析】（1）①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点P，连接EP、AP，再由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；
②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，则GC＝EP＝x，DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝x+2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝4；
②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝y，则DQ＝y﹣6，AQ＝y﹣10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1）①如图1所示，△AEP即为所求的三角形，
由作图得：AE＝AB＝10，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝＝6，
故答案为：6；
②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠C，
设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x，
∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC，
∴△GEF≌△PCF（ASA），
∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x，
∴GC＝EP＝x，
∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝，
即BP＝．
（2）分两种情况：
①点Q在线段AB上时，如图3所示：
由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°，
∴∠CB'D＝90°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCQ＝∠CQB，
∴∠DCQ＝∠CQD，
∴QD＝CD＝10，
∴DB'＝＝＝6，
∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4；
②点Q在BA延长线上时，如图4所示：
由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°，
∴DB'＝＝＝6，
设BQ＝B'Q＝y，则DQ＝y﹣6，AQ＝y﹣10，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAQ＝90°，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（y﹣10）2＝（y﹣6）2，
解得：y＝16，
即BQ＝16；
综上所述，BQ的长为4或16．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．