高考数学二轮复习专题专题6指数、对数同构问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题6指数、对数同构问题试题含解析答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，下列四个结论：①，②，③，④.其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为正数，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．eD．e2
8．已知m是方程的一个根，则（ ）
A．1B．2C．3D．5
9．已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．2D．3
11．若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
14．当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15．已知，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
16．对任意，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
17．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
19．若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
22．已知函数，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有（ ）
A．若函数有两个零点，则a的取值范围是
B．当时，若，则
C．当时，若，则
D．若，则
三、填空题
23．已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
24．关于 的不等式恒成立，则实数 的最大值为 ．
25．已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论:
①当时，; ②当时，;
③当时，; ④当时，.
其中所有正确结论的序号是 .
26．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围是 .
27．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解.
【详解】因为，所以整理不等式，
可得，转化为恒成立，
令，则，
因为，所以在上单调递增，所以恒成立，
又因为，所以，
所以对任意的恒成立，即恒成立，
构造函数，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，当时，，所以，即．
故选：B．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．A
【分析】将不等式变形为，构造函数，证明函数的单调性，比较与的大小，从而结合函数值的大小可求出的范围.
【详解】当时，可化为，
令，则，所以在1,+∞上单调递减．
令，则，所以在1,+∞上单调递增，
所以，因此当时，．
所以，即．则不等式可化为，
所以在x∈1,+∞上恒成立，因此，即实数的取值范围为．
故选：A．
【点睛】方法点睛：用导数解决复杂的问题时，常常通过函数的特点选用同构法，判断函数的单调性以及同构中的两个变量的大小，从而解决问题.
3．C
【分析】令，利用导数的的单调性，结合，得到ex≥x+1，对于①中，由，得到，可判定①正确；当时，得到，由，得到，可判定②错误；得到，令，得到，构造，利用导数求得函数的单调性，进而判定③错误；由，得到，可判定④错误.
【详解】由，可得，
因为，则，可得，
构建，则，
当时，f′x>0；当时，f′x<0；
可知在0,+∞内单调递增，在内单调递减，
所以，即ex≥x+1，当且仅当时取等号，
对于①中，由，可知，可得，
整理得，所以，所以①正确；
对于②中，当时，，则，
因为，即，可得，则，
可得，所以，所以②错误；
对于③中，因为，则，可得，
令，则，可得，
令，则，
因为ex≥x+1，当且仅当时取等号，
当时，，则当时恒成立，
可知hx在1,+∞上单调递增，则，
所以a+b>1，即，所以③错误；
对于④中，因为，当且仅当时取等号，
可得，当且仅当时取等号，
又因为，则，可得，
所以，所以④错误.
故选：C.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以在0,+∞上单调递增.
则不等式等价于恒成立.
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立.
设，可得，
当单调递增,当单调递减．
所以有最大值，于是，解得．
故选：B
【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果.
5．A
【分析】由，转化为，构造函数，分析单调性，将利用单调性转化为在0,+∞上恒成立，分离参数求解最大值即可.
【详解】因为不等式在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
构造函数令，则在0,+∞上恒成立，
所以，
令，则，
令，得：，
所以当x∈0,1时，，当x∈1,+∞时，，
所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以，所以，
所以在0,+∞单调递增，
当在0,+∞上恒成立时，在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
令，则，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】方法点睛：不等式在0,+∞上恒成立，转化为在0,+∞上恒成立，构造函数令，则在0,+∞上恒成立，利用单调性转化为在0,+∞上恒成立，分离参数求解即可.
6．C
【分析】由，构造函数，求导，判断单调区间，根据已知条件，判断选项.
【详解】由，可知，设，则，
令，则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，且，
故当时，则，，
故，，且当时，，故，只有C满足要求.
故选：C
7．A
【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值.
【详解】由可得，
由,且,所以，即，
令，则在上单调递增，
所以，令，则,
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以，故.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题.
8．B
【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案.
【详解】，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，
所以，所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.
9．C
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.
【详解】因为，
所以①，
令，则，设，
所以，
当时，，当x>1时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
因为①式可化为，
所以，所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
故选：C.
10．D
【分析】解法一 根据题意，转化为，令，利用导数得到在上为增函数，得到，即，即可求解；
解法二 根据题意，转化为，令，利用导数求得在上为增函数，得到，即可求解.
【详解】解法一 因为是方程的一个根，所以，
即，整理得，
令，则恒成立，所以在上为增函数，
由，可得，所以，
所以．
解法二 因为是方程的一个根，所以，
即，所以，所以，
令，可得，
所以函数在上为增函数，
由，可得，所以，所以．
故选：D．
11．C
【分析】根据题意，化简得到，设，得到，求得，得到ft为增函数，转化为方程在上有实根，设，利用导数求得函数的单调性，结合，进而求得的范围.
【详解】由，可得，即，
因为，可得，所以，其中，
设，则，
又因为，所以ft在上为增函数，
所以，即，
所以问题转化为方程在上有实根，
设（），则，所以在上是减函数，
所以，解得．
故选：C．
【点睛】关键点睛：解本题的关键是通过函数的单调性，把在上有实根转化为在上有实根，对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
12．C
【分析】将问题转化为，令函数，则，再由的单调性将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可.
【详解】由题知恒成立，可得(否则时，不等式不成立)，
所以，
则.
令函数，则.
因为，
所以在上为增函数，
所以，即.
令函数，则，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在上单调递减.
所以.
故的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解题的关键是对已知化简变形，再构造函数，则转化为，再利用函数的单调性转化为，然后构造函数利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
13．B
【分析】将变形为，构造函数，可判断在上单调递减，进而利用导数求出的递减区间，列出不等式，即可得答案.
【详解】由题意知，且，
故，即，
故，令，则在上单调递减，
又，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，则，
即的最小值是，
故选：B
14．D
【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.
【详解】由题意，当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，可得，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．C
【分析】变形得到，，，构造函数，，求导得到函数单调性，若，不妨设，构成差函数，得到，令，故，从而得到，而，故，从而得到答案.
【详解】，，，
构造函数，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在时取得极大值，也是最大值，
若，不妨设，
设，，则，
，
当时，，故在上单调递增，
故，即，
又，故，
因为，所以，
而在上单调递减，
故，则，
由于，令，
而，
而在上单调递减，
，即，
，而，故，即，
综上，.
故选：C
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，，从而达到构造出适当函数的目的.
16．D
【分析】将恒成立的不等式化为，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，分离变量可得；令，利用导数可求得最大值，由此可得的范围，从而确定可能的取值.
【详解】当时，由得：，
，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
在上单调递增，
由得：，，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
当时，恒成立，则，
实数的可能取值为，ABC错误，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.
17．B
【分析】根据题意转化为，同构得到，通过构造得到原题意即存在，使得，再构造，研究最值即可求解.
【详解】，
即，
即，
构造，则在上单调递增，
因为，所以，
即存在，使得，
记，
，令，则，
所以在单调递减，在单调递增，，
因为，，
所以，
所以，所以，
所以
所以实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查函数同构问题和存在性问题.关键点在于将原式进行变形转化，转化为，构造，得到，进而得到自变量的关系，再通过构造函数研究最值即可.本题考查了转化与化归能力、数学运算能力，属于中档题.
18．D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设，，
时，，为减函数，
时，，为增函数，所以，
，即.
设，，
时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以，，即，所以.
设，，
为增函数，所以，所以，即.
故选：D
19．C
【分析】不等式变形为，令，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数的取值范围.
【详解】由已知得：，由，得
即，可得．
令，，则，
求导得，，解得；，解得，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
且当时；当时，，函数图像如图所示．
，，，
由及的图像可知，恒成立，即成立，
而，，实数的取值范围是.
故选：C．
20．C
【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而.
【详解】，，且a>0，
两边加上得，，
设，则，所以单调递增，
，即，
令，则，
的定义域是，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值即为最大值，，
，.
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解.
21．B
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.
【详解】由，则，，
当时，，恒成立，
即任意，对恒成立；
当时，，
即，其中，
构造函数，则.
，因为，所以，单调递增；
则有，则，
构造函数，
则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则， 即当时，，
故要使恒成立，则，即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等.
22．ACD
【分析】选项A分离参数，利用导数研究函数性质作出简图，结合零点个数可得范围；选项B先假设成立，构造对称函数，结合单调性得出矛盾；选项C通过构造对称函数，结合单调性可证成立；选项D通过等价转化结合取值情况可证成立.
【详解】对于A，令可得，令，，
时，，为增函数；时，，为减函数；
，，且趋近于时，趋近于0，其简图如下：
由图可知，若函数有两个零点，则，解得，A正确.
对于B，当时，，，
时，f′x>0，为增函数；时，f′x<0，为减函数；
不妨设，假设成立，则，
因为，所以，所以，
因为，所以，
设，，
，
因为，所以，Fx为增函数；
因为，所以，即，矛盾，B不正确.
对于C，时，，令得，由A可知，的简图如下：
不妨设，欲证成立，则需证，
因为，所以，且在1,+∞为减函数，所以需证，
因为，所以，所以只需证，
设，；
，
易知是增函数，因为，所以，
因为，所以，即，为增函数；
所以，即成立，C正确.
对于D，因为，所以，
所以，等价于，两边取自然对数可得，
由选项C可知，，所以，，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三点：一是分离参数，作出简图，利用零点个数转化为两个函数图象公共点的个数求解；二是利用构造对称函数，求解极值点偏移问题；三是利用等价转化把转化为.
23．/
【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.
【详解】因则，
由知时，，即函数在上单调递增.
由可得：且,故得：，
则，不妨设，则，
故当时，，递增，当时，，递减，
即，故的最大值为.
故答案为：.
24．
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.
【详解】设，
易知，
则当时，，即此时两函数均单调递增，
当时，，即此时两函数均单调递减，
故，
对于不等式，
由上可知，故，
又单调递增，故.
所以实数a的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于，构造函数判定其单调性与最值分参计算即可.
25．①②④
【分析】由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】由，得，
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以的大致图象如图所示：

因为，
所，即，
所以，
当时，或或或，
则或或或，所以，所以①正确；
当时，若，此时与均可以趋于，所以③错误；
当时，由，得，所以，
因为，所以由图象可知当时，有，
所以，所以②正确；
当时，由图和②可知，
则，
所以，
令，x∈0,1，
则，所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题.
26．
【分析】先判断函数的定义域，然后求导得出是函数唯一极值点，即在0,+∞无变号零点，进而令，利用导数研究其函数的性质即可得出结论.
【详解】由题意知，函的定义域为0,+∞，
，
因为函数有唯一极值点，所以是函数唯一极值点，
所以在0,+∞无变号零点，
令，则，
当时，恒成立，
所以在0,+∞上单调递增，且，所以gx=0在0,+∞无解，
当时，有解，且，
又时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，解得，
当时，作出函数和图象，如图
由函数和图象可知，它们相切于点，所以符合条件，
综上，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据题意得到在0,+∞无变号零点是解题的关键.
27．
【分析】将转化为，构造函数，利用导数判断的单调性从而得到，再构造函数，利用导数判断的单调性从而求出的最小值，即可求解.
【详解】关于的不等式恒成立，
即恒成立，
令，，则，
，在单调递增，
，即，，
令，，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
，.
故答案为：.