高考数学二轮复习专题专题11函数性质相关压轴小题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题11函数性质相关压轴小题试题含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ）
A．B．C．D．1
3．已知，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（ ）
A．B．0C．2D．4
6．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
7．已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．5D．10
10．已知偶函数满足，且在区间上是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期是2
B．是奇函数
C．不一定是偶函数
D．的图象关于点中心对称
12．设定义在上的函数与，若，，且gx+1为奇函数，设的导函数为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．是奇函数B．函数的图象关于点对称
C．D．点（其中）是函数的对称中心
13．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
二、多选题
14．下列结论正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一个函数
B．函数在定义域上单调递减
C．函数的图象可由的图象向左平移得到
D．若函数y=fx的值域是，则函数的值域是
15．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
16．定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．若，则关于中心对称D．若，则
17．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
18．已知函数为奇函数，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为2D．
19．已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是奇函数B．关于点对称
C．D．
20．已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ）
A．为偶函数B．
C．D．
三、填空题
21．已知函数，其导函数记为，则 .
22．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为 ．
23．已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ．
24．若函数的定义域为，则函数的定义域为
25．若，，则满足的m的最大值为 ．
26．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
27．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
28．已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ．
29．已知函数的定义域为，若，且，则 .
参考答案：
1．D
【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】的定义域为R，
，
所以，在上，f′x<0，则函数单调递减，
在上，f′x>0，则函数单调递增.
因为，所以是偶函数.
由，可得，
于是，即，
化简得，解得.
故选：D.
2．B
【分析】由题意求得周期，再根据代入求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，则，
即，可得．
又因为，则，
所以，可得，
则，即，
所以.
故选：B．
3．C
【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.
【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，
令，则，可得或，如下图示：

由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.
故选：C
4．C
【分析】构造函数，利用导数判断函数为单调递减，利用函数的奇偶性判断函数为奇函数，根据单调性与奇偶性将不等式化为，解不等式即可.
【详解】设，函数的定义域为，
则，所以函数在上为减函数，
又，
所以函数为奇函数，
所以，
即，即，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
5．C
【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和.
【详解】已知，
，
则，函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则
则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
则的最大值为，最小值为
所以，
故选：C.
6．D
【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断；
对于B，由，不妨令，即可判断；
对于C，令，通过换元即可判断；
对于D，令，得关于1,0中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断.
【详解】对于A，令，有，所以或，
若，则只令，有，即恒为0，
所以只能，故A正确；
对于B，由A可知，不妨令，
有，
即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称，
所以偶函数，即为偶函数，故B正确；
对于C，令，有，
令t=2x，由x∈R，得，
所以当时，有，即当x∈R时，，故C正确；
对于D，若f1=0，令，有，
所以关于1,0中心对称，
又为偶函数，
所以，所以是周期为4的周期函数，
又，f1=0，
所以，
所以，
所以，故D错误.
故选：D.
7．C
【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为函数在定义域内是增函数，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C．
8．C
【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案.
【详解】定义域为R，
，
所以函数为偶函数，又因为，
时，，
时，，
故，
所以在上单调递增，
则不等⇔，
即解得:.
所以不等式的解集为.
故选：C.
9．B
【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值．
【详解】设，
则
，
∴，是奇函数，
又，，
∴，．
故选：B．
10．D
【分析】根据周期性及偶函数的性质得到，，再比较、、的大小，结合函数在上的单调性即可判断.
【详解】因为，所以是以为周期的周期函数，
又为偶函数，所以，，
又且在上单调递减，
所以，
即.
故选：D
11．D
【分析】对于A，根据函数周期性的定义分析判断，对于BC，根据函数奇偶性的定义结合题意分析判断，对于D，根据函数的周期性、偶函数和对称性分析判断即可.
【详解】对于A，因为定义在上的函数满足，
所以，所以，
所以，所以的一个周期是4，所以A错误，
对于BC，因为，所以，
因为函数为奇函数，所以，
所以，所以的图象关于点对称，
所以，所以f(−x)=f(x)，
所以是偶函数，不是奇函数，所以BC错误，
对于D，因为为偶函数，的图象关于点对称，
所以的图象关于点对称，
因为的一个周期是4，所以的图象关于点对称，
即的图象关于点中心对称，所以D正确，
故选：D
12．D
【分析】对于A，由gx+1为奇函数，可得的图象关于中心对称，由，求得，即可判断；对于B，对两边求导，即可判断；对于D，结合的对称性及，可得的一个对称中心为及的图象关于对称，即可判断；对于C，由已知可得的周期为，再由求解即可判断.
【详解】对于A，因为gx+1为奇函数，则，
可知的图象关于中心对称，
令，可得，即，
又因为，可得，
所以一定不是奇函数，故A错误；
对于选项B：因为，
两边求导得，即，
所以的图象关于对称，不一定关于点对称，故B错误；
对于选项D：由可得，
且，则，
即，所以关于对称，
即，
由可得，则，
即，可得，
可知4为的周期，
由，可知4为的周期，
且的图象关于中心对称，可知的图象关于中心对称，
又因为关于对称，可知的图象关于中心对称，
则关于x=1对称，且关于中心对称，
结合周期性可知：点（其中）是函数的对称中心，故D正确；
对于选项C：因为，关于对称，则，
又因为的图象关于中心对称，则，
可得，
且的周期为，，所以，
但的值不确定，故C错误；
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
13．C
【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与ft有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
14．ACD
【分析】由函数的定义域和对应关系相同可判断A正确；由函数图象可得B错误；由对数的运算性质和函数图象的平移可得C正确；利用换元法和对勾函数的单调性可得D正确.
【详解】A：在函数中，令，解得，
所以函数的定义域为，
则函数可化简为，故这两个函数表示同一个函数，故A正确；
B：结合函数的图象，
可知其在定义域内不是单调减函数，故B错误；
C：函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，符合左加右减的性质，故C正确；
D：函数的值域是，从而得函数的值域为，
函数Fx变为，，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；而当时，；当时，，即；
所以原函数值域是，故D正确．
故选：ACD.
15．BC
【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断.
【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根，
即，则，即，所以A错误；
因为三次函数有三个不同的零点，
所以，
所以，
同理，
所以，故C正确，D错误；
由的图象与直线的交点可知，B正确．
故选：BC．

16．BCD
【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.
【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误；
对于B，由A知，令，有，
即，则函数为偶函数，B正确；
对于C，若，令，有，
则关于中心对称，C正确；
对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，
即，因此，是周期为4的周期函数，
显然，，即，
所以，D错误.
故选：BCD.
17．AD
【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A选项，对于，由，得，
对于，令，解得，
故函数的定义域为，A正确；
B选项，当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，的取值范围是，B错误；
C选项，令，解得，
当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误；
D选项，若函数的值域为，
则能够取到所有正数，
当时，能够取到所有正数，满足要求，
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围是，D正确.
故选：AD.
18．ABD
【分析】对于A，由函数是奇函数，它的图像关于点对称，由平移可得的图象关于点1,0对称；对于B，由函数轴对称的性质可得；对于C，由已知及奇函数的定义，赋值推导即可得到的最小正周期是否为2；对于D，由当时，，及函数的对称性和周期性，可得f1+f2+f3+f4=0，则可得，即可求得结果.
【详解】对于A：因为函数是奇函数，所以的图像关于点对称，
又函数的图像向右平移1个单位可得到函数y=fx的图像，
所以的图象关于点1,0对称，故A正确；
对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：由的图象关于点1,0对称，，，
则，所以的最小正周期不可能为2，故C错误；
对于D：因为当时，，所以，f1=0，
因为的图象既关于点1,0对称，又关于直线对称，
所以，，
又因为函数是奇函数，所以，
又，则，
则，则，
所以的一个周期为，
所以，所以f1+f2+f3+f4=0，
所以
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
19．AD
【分析】由已知条件结合函数奇偶性定义，可得判断A；由为奇函数，可得的图象关于点对称，判断B；由导数与原函数的关系，可判断C；由已知可得4是的一个周期，进而计算可得判断D.
【详解】对于A，由为奇函数，则，即，
即得为常数，令，即得，则，
故，即，则，
结合，可得，故，
故，即是奇函数，A正确；
对于B：由为奇函数，则，则
即的图象关于点对称，
结合是R上的奇函数，故，如果关于点对称，则，
而，矛盾，故B错误；
对于C，由为奇函数，则，
故为常数，令，则，
则，C错误；
对于D:由于，故，即，
故4是的一个周期．
是R上的奇函数，故，，结合得，
，，
故，故D正确．
故选：AD．
【点睛】关键点睛：解答此类抽象函数的问题，解决的关键是利用赋值法或者变量代换，推出函数的性质，比如对称性，奇偶性以及周期性，进而可求解.
20．BCD
【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D.
【详解】对于A：令，则，
为奇函数，故选项A不正确；
对于B：令，则，令，则
为奇函数，
，
的周期为4，，故选项B正确；
对于C：为奇函数，为偶函数；
的周期为4，
为偶函数，，
关于对称，
所以，令，可得，令，可得，
所以，故，
，故选项C正确；
对于D：令，则，即①，
令，则②，
由①+②得，
故选项D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解.
21．2
【分析】利用f′x为偶函数，有，为奇函数， 有，即可求值.
【详解】函数，定义域为R，
则，
，
所以f′x为偶函数，有，
令，，
为奇函数，有，
所以.
故答案为：2.
22．
【分析】求出函数导数，研究导数的正负求得函数单调性即可得解.
【详解】由题，
当时，恒成立，故是增函数，无极值点，不符合；
当时，令或，
若，，所以：
当时，，故在和上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则在处取得极小值，是的极小值点，不符合；
若时，，所以：
当时，，故在和上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则在处取得极大值，是的极大值点，
所以0是函数的极大值点，则的取值范围为.
故答案为：.
23．
【分析】令，可求出，再由题意可得出，结合函数的定义域和单调性可得，解不等式即可得出答案.
【详解】令，则，则，
由可得：，
因为是定义在区间上的增函数，
所以，解得：.
则的取值范围为:.
故答案为：.
24．
【分析】由的取值范围求出的取值范围，再令，求出的范围即可.
【详解】当时，所以，
所以，即，则，
即，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
25．/
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.
【详解】当时，，即，
当时，，即，
于是，在上，都成立，即为偶函数.
由指数函数的单调性可知，在上单调递增，
因此，不等式等价于，
即，解得.
故m的最大值为.
故答案为：.
26．0
【分析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可.
【详解】令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
27．9
【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得.
【详解】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，
则的周期为3，所以，
，
而，则.
故在上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
28．4048
【分析】利用赋值法可得为奇函数，则，令，根据定义法证得为奇函数，则，结合，即可求解.
【详解】令，得，令，则，
所以，令，
所以，为奇函数，．
令，
则，
即为奇函数，所以．
而，
所以．
故答案为：4048
【点睛】方法点睛：求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
29．
【分析】通过赋值法解出，由解出f1；进而求出，再证明函数为偶函数，进而证出，结合偶函数得出函数周期，求出最后求解即可.
【详解】令，得，
再令，得，
所以，因为，所以，
令，得，
所以，即，
若，则代入中，，
由，所以，即，且，
令，得，
由，f1=0，所以，
所以为偶函数，所以，，
令，得，
所以，即，
因为，所以，
所以为周期函数，周期为4，
所以，
f1+f2+f3+f4=0，
所以
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得的值，这也是抽象函数求函数值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.