2023-2024学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷 （含解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）
2．在△ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
4．若（x﹣）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），现在向这个空石瓢壶中加入91πcm3（约285.9cm3）的矿泉水后，问石瓢壶内水深约（ ）cm．
A．2.8B．2.9C．3.0D．3.1
6．已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（ ）
A．B．
C．D．
7．若，（e＝2.71828…）试比较a，b，c的大小关系（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
8．已知三棱锥P﹣ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．[π，2π]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知A，B为圆O：x2+y2＝1上的两点，P为直线l：x+y﹣2＝0上一动点，则（ ）
A．直线l与圆O相离
B．当A，B为两定点时，满足的点P有2个
C．当时，的最大值是
D．当PA，PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点
（多选）10．定义运算．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA+sinC＝2sinB
B．A：C＝1：2
C．角B的最大值为
D．若asinA＝4csinC，则△ABC为钝角三角形
（多选）11．已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且F1到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．|PF1|＝3|PF2|
C．
D．点P到x轴的距离为
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．f（x）在区间上单调递增
C．将函数y＝csx图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数f（x）的图象
D．函数的零点个数为7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。
13．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为 ．
14．给出下列命题：
①由变量x和y的数据得到其回归直线方程，则l一定经过点；
②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；
④在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位．
其中真命题的序号是 ．
15．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为 ．
16．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然，2位“回文数”有9个：11，22，33，…，999；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…999．则
（1）4位“回文数”有 个；
（2）2n+1（n∈N*）位“回文数”有 个．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atanB＝（2c﹣a）tanA．
（1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣2n﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝lg2Sn，设cn＝bn•Sn，求数列{cn}的前n项和为Tn．
19．党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
（1）求乙同学得100分的概率；
（2）记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
20．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB，PA⊥PB．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）若二面角P﹣AB﹣D的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
21．已知圆x2+y2＝17与抛物线C：y2＝2px（p＞0）在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点为B，且点A，B关于直线y＝x对称．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点M，N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且AM⊥AN，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标．
22．设函数．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y＝2x﹣1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）＝λx2（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．设集合A＝{x|1＜2x＜8}，B＝{x||x+1|≥3}，则A∩B＝（ ）
A．（0，2]B．[2，3）C．（2，3]D．（0，3）
【分析】根据题意将集合A，B化简，然后结合交集的运算，即可得到结果．
解：因为1＜2x＜8⇒20＜2x＜23，所以0＜x＜3，即A＝（0，3），
且|x+1|≥3⇒x+1≥3或x+1≤﹣3，所以x≥2或x≤﹣4，
即B＝（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），
所以A∩B＝[2，3）．
故选：B．
2．在△ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
解：在△ABC中，A∈（0，π），
由，可得，
因为{A|}⫋{A|A＞}，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解．
解：设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则，
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，
故P（A）＝P1+P2＝0.32+0.1＝0.42．
故选：C．
4．若（x﹣）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得实数a的值．
解：（x﹣）8的二项展开式的通项为（﹣a）rC8rx8﹣2r，
令8﹣2r＝6，解得r＝1，
则（﹣a）1C81＝﹣16，
解得a＝2．
故选：D．
5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），现在向这个空石瓢壶中加入91πcm3（约285.9cm3）的矿泉水后，问石瓢壶内水深约（ ）cm．
A．2.8B．2.9C．3.0D．3.1
【分析】取圆台的中轴面，补全为一个三角形，根据三角形相似，找到加入矿泉水后水面的半径和水深的关系，根据圆台体积为91πcm3，列出等式，解出即可．
解：由题知矿泉水的体积为91πcm3，
将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形，如图所示：
加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r，
由图可知△ABC∽△AFG，
所以，
即，
解得AB＝12，
由△ABC∽△ADE，
所以，
即，
解得h＝18﹣3r，
故加入矿泉水后圆台的体积为，
解得，
所以h＝18﹣3r＝3.0．
故选：C．
6．已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设＝λ，由求出λ，得到P为△ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
解：设＝λ（0＜λ＜1），则＝﹣＝﹣λ，＝﹣λ，
∴•＝（﹣λ）•（﹣λ）＝•﹣λ•﹣λ•+λ2＝
2﹣λ×2×××2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2＝﹣，
∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ＝或λ＝（舍去），
∴P为△ABC的重心，∵PE⊥AC，∴E为AC的中点，
∴＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣+，
故选：B．
7．若，（e＝2.71828…）试比较a，b，c的大小关系（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【分析】先估算出e5，进而求出a的范围，再由1.642＜e求出b的范围，最后构造函数估算出c即可求解．
解：由e＝得e2＜7.5，所以e5＜7.5×7.5×2.718＝152.8875，
又1.64×1.64＝2.6896＜e，故e5＜1.6＜，
由常用数据得ln5≈1.609，下面说明ln5≈1.609，
令f（x）＝ln（x+1）﹣，
f′（x）＝﹣＝，
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）max＝f（0）＝0，
则ln（x+1）≤，则ln5＝2ln2+ln，ln2＝ln（×××…×）＝ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+），
令g（x）＝，
则ln2≈g（）+g（）+…+g（）≈0.6932，ln＝ln（×）＝ln（1+）+ln（1+），
∴ln≈g（）+g（）≈0.2232，
则ln5＝2ln2+ln≈2×0.6932+0.2232≈1.6096，
综上，b＞c＞a．
故选：D．
8．已知三棱锥P﹣ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．[π，2π]
【分析】连接PQ，QA，OA，设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，设过点Q的平面为α，则当OQ⊥α时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解．
解：连接PQ，QA，由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，
可知：△ABC和△PBC是等边三角形，
设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是△ABC和△PBC的中心F，E，△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，又因为侧面PBC⊥底面ABC，侧面PBC∩底面ABC＝BC，
所以PQ⊥底面ABC，而AQ⊂底面ABC，
因此PQ⊥AQ，
所以OFQE是矩形，△ABC和△PBC是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形OFQE中，，OF＝EQ＝，连接OA，
所以，
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，
因此圆Q的半径为：，所以此时面积为π•12＝π，
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知A，B为圆O：x2+y2＝1上的两点，P为直线l：x+y﹣2＝0上一动点，则（ ）
A．直线l与圆O相离
B．当A，B为两定点时，满足的点P有2个
C．当时，的最大值是
D．当PA，PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点
【分析】利用圆的圆心到直线的距离，判断A；利用特殊点，判断B；利用特殊位置判断C的正误；求解相交弦所在的直线方程，利用直线系转化求解即可判断D．
解：对于A，圆的圆心到直线的距离为：＝＞1，所以直线l与圆O相离，所以A正确；
对于B，当A，B为两定点时，如果两个定点是圆的直径上的两点，AB与直线垂直时，不可能有满足的点P，所以B不正确；
对于C，当时，此时圆的圆心到直线的距离为：，只要AB与直线x+y﹣2＝0不平行，过AB的直线与直线x+y﹣2＝0相交，此时的值没有最大值，所以C不正确；
对于D，因为点P为直线x+y﹣2＝0上，所以设P（t，2﹣t），
圆O：x2+y2＝1的圆心为C（0，0），
所以PO中点坐标为（），且|PO|＝，
所以以PO为直径的圆Q方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝，
即x2+y2﹣tx﹣（2﹣t）y＝0，
圆Q与圆O的公共弦直线方程为tx+（2﹣t）y﹣1＝0，
即t（x﹣y）+2y﹣1＝0，
令，解得x＝y＝，
即直线tx+（2﹣t）y﹣1＝0过定点，D正确．
故选：AD．
（多选）10．定义运算．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA+sinC＝2sinB
B．A：C＝1：2
C．角B的最大值为
D．若asinA＝4csinC，则△ABC为钝角三角形
【分析】由新定义运算得a+c＝2b，对于选项A：由正弦定理边化角后知sinA+sinC＝2sinB正确；对于选项B：可举反例进行判断；对于选项C：结合余弦定理及基本不等式，可求得，可知C正确；对于选项D：结合条件可得，计算csA即可判断出A为钝角．
解：由可知（a+b+c）﹣3（a+c﹣b）＝0，
整理可知a+c＝2b，
由正弦定理可知：sinA+sinC＝2sinB，
即选项A正确；
因为满足a+c＝2b，
但不满足A：C＝1：2，
即选项B不正确；
由＝（当且仅当a＝c时取“＝”），
又0＜B＜π，
所以B的最大值为，
即选项C正确；
由asinA＝4csinC可得a2＝4c2，
解得a＝2c，
又a+c＝2b，
从而可得为最大边，
则，
即角A为钝角，
即选项D正确．
故选：ACD．
（多选）11．已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且F1到l的距离为，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．|PF1|＝3|PF2|
C．
D．点P到x轴的距离为
【分析】由F1到l的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；由可求出判断B；结合双曲线定义可求得|PF1|＝12，|PF2|＝6，求出cs∠F1PF2，即可求出，判断C；利用等面积法可求得点P到x轴的距离，判断D．
解：F1（﹣c，0）到的距离为，，解得c＝6，
又渐近线方程为，则，结合a2+b2＝c2可解得a＝3，，
则双曲线的方程为，故A正确；PQ为∠F1PF2的平分线，，故B错误；
由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|＝6，则可得|PF1|＝12，|PF2|＝6，
则在△PF1F2中，，
则，
则，即，故C正确；
在△PF1F2中，，
设点P到x轴的距离为d，则，
即，解得，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．f（x）在区间上单调递增
C．将函数y＝csx图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数f（x）的图象
D．函数的零点个数为7
【分析】由已知可得﹣＝•，可求ω，进而可求φ，判断A；当x∈时，2x+∈[﹣，]可判断B；利用图象变换可得y＝﹣sin（2x+）判断C；判断2x+＝t，判断4sint＝的解的情况即可．
解：由题意得﹣＝•，∴ω＝2，
又2•+φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ﹣，k∈Z，
∵0＜φ＜2π，∴φ＝，故A正确；
∴f（x）＝sin（2x+），
当x∈时，2x+∈[﹣，]，∴f（x）单调递增，故B正确，
将y＝csx图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得y＝cs2x，
再将所得图象向右平移个单位长度，可得y＝cs（2x﹣），
而y＝cs（2x﹣）＝﹣sin（+2x﹣）＝﹣sin（2x+），故C错误；
由4f（x）+＝0，得4sin（2x+）＝，
令2x+＝t，则4sint＝，
∵y＝4sint在t＝0处的切线斜率为y′|x＝0＝4，
y＝在（0，0）处切线斜率不存在，即切方程为t＝0，
∴y＝4sint在t＝0处图象较缓，同时当t＞16时，4sint＜，
根据图象可以判断4sint＝有7个解，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分。
13．已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为0.63，若一个这种元件使用1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为 0.7 ．
【分析】直接利用条件概率的计算公式，运算求得结果．
解：设一个这种元件使用1年的事件为A，使用2年的事件为B，
则．
故答案为：0.7．
14．给出下列命题：
①由变量x和y的数据得到其回归直线方程，则l一定经过点；
②在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
③线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；
④在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.5个单位．
其中真命题的序号是 ①② ．
【分析】利用回归直线方程的特征以及两个变量之间的关系逐一判断四个选项的正误即可．
解：回归直线一定过样本中心点，故①正确；
残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②正确；
线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故③错误；
在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量减少0.5个单位，故④错误．
故答案为：①②．
15．若函数f（x）＝ex﹣x图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝kx+b，则k﹣b的最小值为 ﹣1﹣ ．
【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，表示出切线方程，求出k﹣b＝ex0x0﹣1，构造函数，求得导数，判断函数的单调性，可得最值，再求出k﹣b的最小值即可．
解：函数f（x）＝ex﹣x的导数f′（x）＝ex﹣1，
可得切线的斜率为k＝f（x0）＝ex0﹣1，
则切线方程为y＝（ex0﹣1）（x﹣x0）+ex0﹣x0，
即y＝（ex0﹣1）x﹣ex0x0+ex0，
因为切线方程为y＝kx+b，
所以k＝ex0﹣1，b＝﹣ex0•x0+ex0，所以k﹣b＝ex0x0﹣1，
对于函数y＝xex﹣1，y′＝ex（x+1），
当x＜﹣1时，y′＜0，y＝xex﹣1递减；当x＞﹣1时，y′＞0，y＝xex﹣1递增．
故函数y＝xex﹣1在x＝﹣1处取得极小值，即为最小值，
所以k﹣b的最小值是﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
16．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然，2位“回文数”有9个：11，22，33，…，999；3位“回文数”有90个：101，111，121，…，191，202，…999．则
（1）4位“回文数”有 90 个；
（2）2n+1（n∈N*）位“回文数”有 9×10n 个．
【分析】（1）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；
（2）将（1）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N+）位回文数的个
解：（1）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，
第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；
第二步，选中间两位数字，有10种选法；
故4位回文数有9×10＝90个；
（2）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；
第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10＝10n种选法，
故2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个
故答案为：90；9×10n
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，atanB＝（2c﹣a）tanA．
（1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式的应用，可得csB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；
（2）由正弦定理可得a的值及角C的大小，代入三角形的面积公式可得该三角形的面积．
解：（1）因为atanB＝（2c﹣a）tanA，
由正弦定理可得：sinA•＝（2sinC﹣sinA）•，
在△ABC中，sinA＞0，
整理可得：sinBcsA+csBsinA＝2sinCcsB，
即sin（B+A）＝2sinCcsB，
即sinC＝2sinCcsB，
因为sinC＞0，
可得csB＝，而B∈（0，π），
可得B＝；
（2），，B＝，
由正弦定理可得＝，
即a＝•b＝•2＝2，
可得C＝π﹣A﹣B＝π﹣﹣＝，
sin＝sin＝sin（+）＝sincs+cssin＝•+•＝，
所以S△ABC＝absinC＝×2×2×＝3+．
即△ABC的面积为3+．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣2n﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝lg2Sn，设cn＝bn•Sn，求数列{cn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）根据题意当n≥2时，由，可得，两式相减并进一步化简整理即可得到当n≥2时，再验证当n＝1时，a1＝2不满足，即可得到数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果推导出前n项和Sn的表达式，进一步计算出bn的表达式以及数列{cn}的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前n项和为Tn．
解：（1）由题意，当n≥2时，由，
可得，
两式相减，得，
即，
整理，得，
∵a1＝2不满足，
∴数列{an}的通项公式为an＝．
（2）由（1）得，当n＝1时，S1＝a1＝2，
当n≥2时，由，，
可得，
∵当n＝1时，S1＝2也满足，
∴，n∈N*，
则，n∈N*，
∴，
故Tn＝c1+c2+…+cn＝1•21+2•22+3•23+⋯+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
，
两式相减，
可得
＝
＝﹣（n﹣1）•2n+1﹣2，
∴Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．
19．党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得100分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得50分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
（1）求乙同学得100分的概率；
（2）记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式综合运算求解即可；
（2）由题意，X可能值为0，50，100，150，200，根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式分别求出对应取值的概率，即可得到离散型随机变量的分布列，再由期望定义及公式求其期望值．
解：（1）由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为
（2）由题意，甲同学的累计得分X可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望．
20．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，平面PAD⊥平面PAB，PA⊥PB．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（2）若二面角P﹣AB﹣D的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【分析】（1）证明PA⊥PB，PB⊥平面PAD，然后证明平面PAD⊥平面PBC．
（2）先证明∠DOH为二面角P﹣AB﹣D的平面角，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解直线PD与平面PBC所成角即可．
解：（1）证明：因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，
又PA⊥PB，PB⊂面PAB，
所以PB⊥平面PAD，又因为PB⊂平面PBC，
所以平面PAD⊥平面PBC．
（2）过D作DH⊥PA，DO⊥AB，垂足分别为H，O，连接HO，
因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH⊥PA，DH⊂平面PAD，
所以DH⊥平面PAB，又ABC⊂平面PAB，
所以DH⊥AB，
又DO⊥AB，且DO∪DH＝O，DO，DH⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为HO⊂平面PAD，
所以AB⊥HO，
即∠DOH即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，
不妨设AB＝4，则AD＝CD＝BD＝2，且AO＝1，，
因为，
所以OH＝1，所以，
过O作OM⊥平面PAB，分别以，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，P（﹣1，2，0），B（﹣3，0，0），，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
则，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝0，
所以，
设直线PD与平面PBC所成角为θ，
则．
21．已知圆x2+y2＝17与抛物线C：y2＝2px（p＞0）在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点为B，且点A，B关于直线y＝x对称．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若点M，N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且AM⊥AN，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标．
【分析】（1）设，则，其中t＞0，则，然后求解；
（2）设直线MN的方程为x＝my+n，然后结合题意求出m，n的关系即可得证．
【解答】（1）解：已知圆x2+y2＝17与抛物线C：y2＝2px（p＞0）在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点为B，
设，
又点A，B关于直线y＝x对称，
则，其中t＞0，
则，
即，
即抛物线C的方程为y2＝16x；
（2）证明：由（1）可得：A（1，﹣4），
设，，
设直线MN的方程为x＝my+n，
联立，
消x可得y2﹣16my﹣16n＝0，
则y1+y2＝16m，y1y2＝﹣16n，
因为AM⊥AN，
则，
即，
即，
又y1≠﹣4，y2≠﹣4，
则y1y2﹣4（y1+y2）+272＝0，
则﹣n﹣4m+17＝0，
即直线MN的方程为x＝m（y﹣4）+17，
即直线MN过定点，且定点坐标为（17，4）．
22．设函数．
（1）已知f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y＝2x﹣1，求实数a，b的值．
（2）若方程f（x）＝λx2（λ＞0）有唯一实数解，求实数λ的值．
【分析】（1）求导函数，利用（x）在点P（1，f（1））处的切线方程是y＝2x﹣1，建立方程组，从而可求实数a，b的值；
（2）因为方程f（x）＝λx2有唯一实数解，所以λx2﹣lnx﹣x＝0有唯一实数解，构造函数g（x）＝λx2﹣lnx﹣x，利用g（x）＝0有唯一解，再构造函数h（x）＝2lnx+x﹣1，利用h（1）＝0，可得方程的解，从而可求实数λ的值．
解：（1）当x＝1时，y＝1，∴．
∵，即f′（1）＝1﹣a﹣b＝2，
∴a＝0，b＝﹣1．…
（2）因为方程f（x）＝λx2有唯一实数解，所以λx2﹣lnx﹣x＝0有唯一实数解．…
设g（x）＝λx2﹣lnx﹣x，则．
令g'（x）＝0，则2λx2﹣x﹣1＝0．
因为λ＞0，所以Δ＝1+8λ＞0，方程有两异号根，设为x1＜0，x2＞0，因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x＝x2时，g'（x2）＝0，g（x）取最小值g（x2）．…
因为g（x）＝0有唯一解，所以g（x2）＝0．
则即…
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1＝0．（*）
设函数h（x）＝2lnx+x﹣1．因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）＝0至多有一解．
因为h（1）＝0，所以方程（*）的解为x2＝1．
代入方程组解得λ＝1．…
X
0
50
100
150
200
P（X）