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2023-2024学年天津市津衡高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析）
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这是一份2023-2024学年天津市津衡高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
2．已知空间向量，且共线，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．2或0
4．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
5．下列说法中正确的是（ ）
A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1
D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线
6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（ ）
A．2B．C．D．
7．已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≥1B．或0≤k≤1
C．或k≥1D．
10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．
11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16cmB．C．D．8cm
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是 ．
14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝ ．
15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ ．
18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为 ．
三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求csC的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
（1）求AA1的长度；
（2）求点D到平面PB1C的距离．
22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
参考答案
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【分析】根据复数虚部的定义化简求解即可．
解：因为zi＝i﹣1，
所以z＝，
所以虚部为1．
故选：A．
2．已知空间向量，且共线，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可．
解：因为共线，则存在实数t，使得，
则，解得，
即λ＝2．
故选：B．
3．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．2或0
【分析】根据共面向量基本定理即可求出x的值．
解：∵不共线，共面，
∴存在实数λ，μ，使，
∴，解得x＝2．
故选：A．
4．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．
解：数据从小到大排列：4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，
因为10×60%＝6，
所以10个数据的第60百分位数为第6和第7的平均数，即为＝7.5．
故选：B．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1
D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线
【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案．
解：对于A，表示过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程不正确，不含点P1（x1，y1），故A不正确；
对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；
对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为 +＝1，故C不正确；
对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即（ x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），故D正确．
∴正确的是：D．
故选：D．
6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】求出投影向量的模长，利用勾股定理即可求解．
解：由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，
所以点P（1，2，3）到直线l的距离是，
故点P（1，2，3）到直线l的距离是．
故选：D．
7．已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
【分析】根据投影向量的概念求解即可．
解：，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理求出cs∠BAC，再计算•的值．
解：△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，
则cs∠BAC＝＝＝，
•＝（+）•＝+•＝×4+×2×4×＝．
故选：B．
9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≥1B．或0≤k≤1
C．或k≥1D．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
解：A（2，3），B（3，﹣1），P（0，1），
则，kPB＝，
直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，
则直线l的斜率k的取值范围是．
故选：D．
10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．
【分析】根据题意，由古典概型公式分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析C，由概率的性质分析D，综合可得答案．
解：根据题意，第一次向下的数字为m，第二次向下的数字为n，用（m，n）表示两次向下的数字，
依次分析选项：
对于A，事件A为“第一次向下的数字为2或3”，P（A）＝＝，A错误；
对于B，事件A、B可以同时发生，如事件（2，1），故事件A、B不是互斥事件，B错误；
对于C，事件B有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8个基本事件，
则P（B）＝＝
事件AB有四个基本事件，即（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4），则P（AB）＝＝，
则有P（AB）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立，C正确；
对于D，P（A∪B）＝P（A}+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，D错误．
故选：C．
11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算计算即可求得．
解：由正六边形性质得：AB⊥AE，
则以AB，AE所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
设正六边形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（），E（0，），
所以，，，
设，
则，
所以，解得，
所以＝．
故选：B．
12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16cmB．C．D．8cm
【分析】求出圆台的内切球半径，再求出该球的内接正方体的棱长，即可求解．
解：∵圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，设母线长为l，
∴侧面积为（π×2+π×12）×l＝280πcm2，∴l＝20，
∴圆台的高为，
∴易知母线与下底面所成角为60°，
∴圆台的轴截面为两底角为60°的等腰梯形，
且该梯形的上底为4，下底为24，腰为20，高为，
∴该梯形两腰延长后的三角形是边长为24的正三角形，
设该正三角形的内切圆的半径为R，根据等面积法可得：
，
解得R＝，
又2R＝，
∴该圆台的内切圆不与上底面相切，
∴该圆台的内切圆的半径为R＝，
∴设该圆的内接正方体的棱长为a，
则该正方体的体对角线长为2R，
∴，
即，
∴a＝8，
∴所求正方体的棱长为8cm．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是 （0，） ．
【分析】根据复数的几何意义求解．
解：复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点为（2a﹣1，a），
若位于第二象限，则2a﹣1＜0，a＞0，解得a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝ 2 ．
【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为﹣1，由此求得．
解：直线l1：6x+4y+7＝0的斜率为，
直线l2：ax﹣3y﹣1＝0的斜率为，
因为l1⊥l2，所以，解得a＝2．
故答案为：2．
15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是 {x|x且x≠﹣6} ．
【分析】根据的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出x的范围即可．
解：∵的夹角为钝角，
∴，且不平行，
∴，
解得，且x≠﹣6，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 0.9 ．
【分析】根据事件的基本关系运算即可．
解：设事件A＝“数学超过90分“，事件B＝“物理超过90分“，
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（AB）＝0.6，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.6＝0.9．
故答案为：0.9．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ ．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，三角形的面积公式，求出角C，再结合正弦定理，即可求解．
解：△ABC的面积为＝，
则，即tanC＝1，
C∈（0，π），
则C＝，
，
则＝2R．
故答案为：．
18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为 ．
【分析】根据题设，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．
解：设＝，＝，＝，
设，则，0≤λ≤1，
＝＝（1﹣λ）++，
由AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
可得：＝＝1，＝2，
∴＝[（1﹣λ）++]•
＝（λ2﹣λ）﹣﹣λ2+λ（1﹣λ）++
＝4λ2﹣2λ
＝4（）2﹣，
当λ＝时，的最小值为﹣．
故答案为：．
三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求csC的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据正弦定理即可得；（2）利用余弦定理和面积公式即可得．
解：（1）已知3csC（acsB+bcsA）＝c，
代入正弦定理得3csC（sinAcsB+sinBcsA）＝sinC，
即3csCsin（A+B）＝sinC，又sin（A+B）＝sinC＞0，则．
（2）由于，则sinC＝＝，
△ABC的面积为，则，所以ab＝3．
由已知及余弦定理得a2+b2﹣2ab•csC＝8，所以a2+b2＝10，
从而（a+b）2＝16，a+b＝4，
所以△ABC的周长为．
20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出a值．
（2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得．
（3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率．
解：（1）由频率分布直方图得2（0.025+a+0.2+a+0.075）＝1，所以a＝0.1；
（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）；
（3）每天玩网络游戏的时间在[2，4）和[4，6）内的人数比为，
则用分层抽样的方法抽取的5人中，在[2，4）内的有1人，记为A，在[4，6）内的有4人，记为b，c，d，e，
这5人中随机抽取2人的试验的样本空间Ω＝{Ab，Ac，Ad，Ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共10个样本点，
玩网络游戏的时间所在区间不同的事件M＝{Ab，Ac，Ad，Ae}，共4个样本点，
所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
（1）求AA1的长度；
（2）求点D到平面PB1C的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AA1＝h，由已知可得＝，由PC⊥PB1解得h；
（2）求得平面PB1C的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．
解：（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1＝h，由已知可得，
所以＝，
因为PC⊥PB1，所以，
解得h＝6，所以AA1＝6；
（2）设平面PB1C的一个法向量，
则由，得，
令z＝1，可得平面PB1C的一个法向量，
又，则点D到平面PB1C的距离．
22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，
注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．
解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，
∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．
（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2﹣，0），
令x＝0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S△AOB＝|﹣2﹣||2k+1|
＝（2+）（2k+1）＝（4k++4）
≥（4+4）＝4．
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1＝0．
即x﹣2y+4＝0
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．
（Ⅱ）设AE∩BD＝K，连接KM，可得∠AKM就是异面直线PB与DC所成角．
在Rt△MAK中，KM＝，AK＝，即可得异面直线PB与DC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）设AC∩BD＝O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN＝45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值
【解答】（Ⅰ）证明：设E为BC的中点，连接AE（如图1），则AD＝EC，AD∥EC，
∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC
∵AE＝BE＝EC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA
∵AC∩PA＝A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．
（Ⅱ）解：设AE∩BD＝K，连接KM（如图2），由（Ⅰ）得AD＝AE，
∴AK＝KE，即MK是△PDB的中位线，∴MK∥PB，
∴∠AKM就是异面直线PB与DC所成角．
∵PA⊥平面ABCD，CD∥AE，AD⊥CD，∴AE⊥面APD．
AB＝
在Rt△MAK中，KM＝，AK＝，
∴．
∴异面直线PB与DC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设AC∩BD＝O，连接OP（如图3），过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，
由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，
∴MN⊥AC，
∵NG⊥AC，MN∩NG＝N，
∴AC⊥平面MNG，
∴AC⊥MG，
∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN＝45°
设MN＝x，则NG＝AG＝x，∴AN＝ND＝x，
可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，
由（Ⅰ）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角
在△ABM中，AB＝4，AM＝PD＝，BM＝3，
∴cs∠ABM＝，
∵∠BHA与∠ABM互余，
∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．
1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
2．已知空间向量，且共线，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．2或0
4．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
5．下列说法中正确的是（ ）
A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1
D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线
6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（ ）
A．2B．C．D．
7．已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≥1B．或0≤k≤1
C．或k≥1D．
10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．
11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16cmB．C．D．8cm
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是 ．
14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝ ．
15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ ．
18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为 ．
三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求csC的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
（1）求AA1的长度；
（2）求点D到平面PB1C的距离．
22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
参考答案
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【分析】根据复数虚部的定义化简求解即可．
解：因为zi＝i﹣1，
所以z＝，
所以虚部为1．
故选：A．
2．已知空间向量，且共线，则λ＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可．
解：因为共线，则存在实数t，使得，
则，解得，
即λ＝2．
故选：B．
3．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．2或0
【分析】根据共面向量基本定理即可求出x的值．
解：∵不共线，共面，
∴存在实数λ，μ，使，
∴，解得x＝2．
故选：A．
4．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（ ）
A．7B．7.5C．8D．8.5
【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．
解：数据从小到大排列：4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，
因为10×60%＝6，
所以10个数据的第60百分位数为第6和第7的平均数，即为＝7.5．
故选：B．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1
D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线
【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案．
解：对于A，表示过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程不正确，不含点P1（x1，y1），故A不正确；
对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；
对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为 +＝1，故C不正确；
对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即（ x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），故D正确．
∴正确的是：D．
故选：D．
6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】求出投影向量的模长，利用勾股定理即可求解．
解：由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，
所以点P（1，2，3）到直线l的距离是，
故点P（1，2，3）到直线l的距离是．
故选：D．
7．已知，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A．（1，1，0）B．（1，2，0）C．（2，2，0）D．（1，1，1）
【分析】根据投影向量的概念求解即可．
解：，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理求出cs∠BAC，再计算•的值．
解：△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，
则cs∠BAC＝＝＝，
•＝（+）•＝+•＝×4+×2×4×＝．
故选：B．
9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或k≥1B．或0≤k≤1
C．或k≥1D．
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
解：A（2，3），B（3，﹣1），P（0，1），
则，kPB＝，
直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，
则直线l的斜率k的取值范围是．
故选：D．
10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立
D．
【分析】根据题意，由古典概型公式分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析C，由概率的性质分析D，综合可得答案．
解：根据题意，第一次向下的数字为m，第二次向下的数字为n，用（m，n）表示两次向下的数字，
依次分析选项：
对于A，事件A为“第一次向下的数字为2或3”，P（A）＝＝，A错误；
对于B，事件A、B可以同时发生，如事件（2，1），故事件A、B不是互斥事件，B错误；
对于C，事件B有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8个基本事件，
则P（B）＝＝
事件AB有四个基本事件，即（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4），则P（AB）＝＝，
则有P（AB）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立，C正确；
对于D，P（A∪B）＝P（A}+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，D错误．
故选：C．
11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算计算即可求得．
解：由正六边形性质得：AB⊥AE，
则以AB，AE所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
设正六边形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（），E（0，），
所以，，，
设，
则，
所以，解得，
所以＝．
故选：B．
12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16cmB．C．D．8cm
【分析】求出圆台的内切球半径，再求出该球的内接正方体的棱长，即可求解．
解：∵圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，设母线长为l，
∴侧面积为（π×2+π×12）×l＝280πcm2，∴l＝20，
∴圆台的高为，
∴易知母线与下底面所成角为60°，
∴圆台的轴截面为两底角为60°的等腰梯形，
且该梯形的上底为4，下底为24，腰为20，高为，
∴该梯形两腰延长后的三角形是边长为24的正三角形，
设该正三角形的内切圆的半径为R，根据等面积法可得：
，
解得R＝，
又2R＝，
∴该圆台的内切圆不与上底面相切，
∴该圆台的内切圆的半径为R＝，
∴设该圆的内接正方体的棱长为a，
则该正方体的体对角线长为2R，
∴，
即，
∴a＝8，
∴所求正方体的棱长为8cm．
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共30分）
13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是 （0，） ．
【分析】根据复数的几何意义求解．
解：复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点为（2a﹣1，a），
若位于第二象限，则2a﹣1＜0，a＞0，解得a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝ 2 ．
【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为﹣1，由此求得．
解：直线l1：6x+4y+7＝0的斜率为，
直线l2：ax﹣3y﹣1＝0的斜率为，
因为l1⊥l2，所以，解得a＝2．
故答案为：2．
15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是 {x|x且x≠﹣6} ．
【分析】根据的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出x的范围即可．
解：∵的夹角为钝角，
∴，且不平行，
∴，
解得，且x≠﹣6，
∴x的取值范围是．
故答案为：．
16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 0.9 ．
【分析】根据事件的基本关系运算即可．
解：设事件A＝“数学超过90分“，事件B＝“物理超过90分“，
则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（AB）＝0.6，
P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.6＝0.9．
故答案为：0.9．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝ ．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，三角形的面积公式，求出角C，再结合正弦定理，即可求解．
解：△ABC的面积为＝，
则，即tanC＝1，
C∈（0，π），
则C＝，
，
则＝2R．
故答案为：．
18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为 ．
【分析】根据题设，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．
解：设＝，＝，＝，
设，则，0≤λ≤1，
＝＝（1﹣λ）++，
由AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
可得：＝＝1，＝2，
∴＝[（1﹣λ）++]•
＝（λ2﹣λ）﹣﹣λ2+λ（1﹣λ）++
＝4λ2﹣2λ
＝4（）2﹣，
当λ＝时，的最小值为﹣．
故答案为：．
三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC（acsB+bcsA）＝c．
（1）求csC的值；
（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据正弦定理即可得；（2）利用余弦定理和面积公式即可得．
解：（1）已知3csC（acsB+bcsA）＝c，
代入正弦定理得3csC（sinAcsB+sinBcsA）＝sinC，
即3csCsin（A+B）＝sinC，又sin（A+B）＝sinC＞0，则．
（2）由于，则sinC＝＝，
△ABC的面积为，则，所以ab＝3．
由已知及余弦定理得a2+b2﹣2ab•csC＝8，所以a2+b2＝10，
从而（a+b）2＝16，a+b＝4，
所以△ABC的周长为．
20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出a值．
（2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得．
（3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率．
解：（1）由频率分布直方图得2（0.025+a+0.2+a+0.075）＝1，所以a＝0.1；
（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）；
（3）每天玩网络游戏的时间在[2，4）和[4，6）内的人数比为，
则用分层抽样的方法抽取的5人中，在[2，4）内的有1人，记为A，在[4，6）内的有4人，记为b，c，d，e，
这5人中随机抽取2人的试验的样本空间Ω＝{Ab，Ac，Ad，Ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共10个样本点，
玩网络游戏的时间所在区间不同的事件M＝{Ab，Ac，Ad，Ae}，共4个样本点，
所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．
21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
（1）求AA1的长度；
（2）求点D到平面PB1C的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AA1＝h，由已知可得＝，由PC⊥PB1解得h；
（2）求得平面PB1C的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．
解：（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1＝h，由已知可得，
所以＝，
因为PC⊥PB1，所以，
解得h＝6，所以AA1＝6；
（2）设平面PB1C的一个法向量，
则由，得，
令z＝1，可得平面PB1C的一个法向量，
又，则点D到平面PB1C的距离．
22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，
注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．
解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，
∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．
（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2﹣，0），
令x＝0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S△AOB＝|﹣2﹣||2k+1|
＝（2+）（2k+1）＝（4k++4）
≥（4+4）＝4．
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1＝0．
即x﹣2y+4＝0
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；
（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA．
（Ⅱ）设AE∩BD＝K，连接KM，可得∠AKM就是异面直线PB与DC所成角．
在Rt△MAK中，KM＝，AK＝，即可得异面直线PB与DC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）设AC∩BD＝O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN＝45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值
【解答】（Ⅰ）证明：设E为BC的中点，连接AE（如图1），则AD＝EC，AD∥EC，
∴四边形AECD为平行四边形，∴AE⊥BC
∵AE＝BE＝EC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA
∵AC∩PA＝A，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．
（Ⅱ）解：设AE∩BD＝K，连接KM（如图2），由（Ⅰ）得AD＝AE，
∴AK＝KE，即MK是△PDB的中位线，∴MK∥PB，
∴∠AKM就是异面直线PB与DC所成角．
∵PA⊥平面ABCD，CD∥AE，AD⊥CD，∴AE⊥面APD．
AB＝
在Rt△MAK中，KM＝，AK＝，
∴．
∴异面直线PB与DC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：设AC∩BD＝O，连接OP（如图3），过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA，
由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，
∴MN⊥AC，
∵NG⊥AC，MN∩NG＝N，
∴AC⊥平面MNG，
∴AC⊥MG，
∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN＝45°
设MN＝x，则NG＝AG＝x，∴AN＝ND＝x，
可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，
由（Ⅰ）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角
在△ABM中，AB＝4，AM＝PD＝，BM＝3，
∴cs∠ABM＝，
∵∠BHA与∠ABM互余，
∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为．
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