2024年秋北师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷(含答案)

这是一份2024年秋北师大版九年级开学摸底考试数学试卷A卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2．下列命题正确的是( )
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
3．若分式有意义，则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．下列各命题的逆命题是假命题的是( )
A.两直线平行，同旁内角互补B.如果，那么
C.等边三角形每个内角都等于60°D.对顶角相等.
5．如图,沿直线向右平移得到,已知,,则的长为( )
A.3B.4C.5D.6
6．如图,将绕点A逆时针旋转40°得到,其中点D恰好落在BC边上,则等于( )
A.B.C.D.
7．若,则下列结论成立的是( )
A.B.C.D.
8．如图，射线平分，点D、Q分别在射线、上，若，的面积为10，过点D作于点P，则的长为( )
A.10B.5C.4D.3
9．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于( )
A.10°B.12°C.15°D.20°
10．已知关于x的不等式与有且只有3个公共整数解,则a的取值范围在数轴上表示出来是( )
A.B.
C.D.
11．如图,点O是等边内一点,,,.则与的面积之和是( )
A.B.C.D.
12．如图，平行四边形的对角线、BD交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④；中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
13．分解因式：______.
14．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为__________.
15．已知，则代数式的值为________.
16．如图,在矩形中,对角线,相交于点O,若,的长为2,则的长为______.
17．如图，在中，，，，且，若（k为常数且），设，，则y关于x的函数解析式为______________________（用含有k的代数式表示）.
三、解答题
18．(1)分解因式：.
(2)解不等式组：,并把它的解集表示在数轴上.
19．如图,,平分交于点C,平分交于点D,连接.求证：四边形是菱形.
20．如图,在平面直角坐标系中,已知的三个顶点坐标分别为,,.
(1)将先向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到(点、、分别与点A、B、C对应),请在图中画出；
(2)将绕原点O顺时针旋转得到(点、、分别与点A、B、C对应),请在图中画出,并写出点的坐标.
21．某水果店在蓝莓上市期间,用1800元购进蓝莓销售,由于蓝莓深受顾客喜欢,购进的蓝莓很快售完,该水果店又用1200元购进这种蓝莓,因为每千克蓝莓的价格比第一次便宜了10元,所以购进蓝莓的数量与第一次的数量相同.
(1)该水果店第一次购进蓝莓的价格每千克多少元？
(2)假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完,要使总利润不低于1200元,每千克蓝莓的售价至少是多少元？
22．如图，在中，，，厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米/秒的速度向点B运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒；过点E作交AB于点F；
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
(3)求证：；
23．已知中，，
（1）如图1，在中，若，且，求证：；
（2）如图2，在中，若，且CD垂直平分AE，，，求BD的长；
（3）如图3，在中，当BD垂直平分AE于H，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明.
参考答案
1．答案：A
解析：A.是中心对称图形,符合题意；
B.不是中心对称图形,不符合题意；
C.不是中心对称图形,不符合题意；
D.不是中心对称图形,不符合题意；
故选：A
2．答案：D
解析：A、四个角都相等的四边形是矩形,不一定是正方形,原命题不正确,不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形,原命题不正确,不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形,原命题不正确,不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形,原命题正确,符合题意；
故选：D.
3．答案：D
解析：依题意，，
解得：，
故选：D.
4．答案：D
解析：A、逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；
B、逆命题为“如果，那么”，是真命题；
C、逆命题为“如果三角形的每个内角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形”，是真命题；
D、逆命题为：“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题.
故选：D.
5．答案：A
解析：由平移的性质可得,
∵,,
∴,
∴,
故选：A.
6．答案：D
解析：∵将绕点A逆时针旋转40°得到,
∴,,
∴,
∴.
故选：D.
7．答案：D
解析：A、,则,选项说法错误,不符合题意；
B、,则,选项说法错误,不符合题意；
C、,则,选项说法错误,不符合题意；
D、,则,选项说法正确,符合题意；
故选：D.
8．答案：B
解析：过点D作于点M，
射线平分，，
；
，的面积为10，
；
；
解得，
故
故选B.
9．答案：B
解析：在图中标上点A，B，C，如图所示，
根据题意得：；
；
.
.
故选：B.
10．答案：B
解析：解不等式,得,
解不等式,得,
不等式与有且只有3个公共整数解,
整数解为1,2,3,
,
在数轴上表示为:
11．答案：B
解析：如图,将绕点B顺时针旋转得到,连接,
,,,
是等边三角形,
,
作于E,则,
,
,
,
与的面积之和,
故选：B.
12．答案：C
解析：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，故①正确；
，
，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
是的中位线，
，
，故②正确；
，
，
，故③错误；
，
，
，
，故④正确；
故选：C.
13．答案：/
解析：
,
故答案为：.
14．答案：
解析：点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
点B的坐标为，即.
故答案为：.
15．答案：
解析：原式.，.
16．答案：
解析：在矩形中,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
在中,由勾股定理得
,
故答案为：.
17．答案：
解析：如图，过E作，截取，连接，.
，，
四边形为平行四边形，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
为等边三角形，
，
，
根据勾股定理，
即，
，，，
带入化简得：，
故答案为：.
18．答案：(1)
(2),数轴见解析
解析：(1).
(2)解不等式,得,
解不等式,得.
在同一条数轴表示不等式组的解集：
因此,原不等式组的解集是.
19．答案：证明见解析
解析：证明：∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
同理得,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴四边形是菱形.
20．答案：(1)图见解析
(2)图见解析,
解析：(1)如图,即为所求；
(2)如图,即为所求；点的坐标为.
21．答案：(1)30元
(2)35元
解析：(1)设该水果店第一次购进蓝苺每千克x元,则该水果店第二次购进蓝苺每千克元,根据题意,得：
,
解得.
经检验,是所列方程的根,
答：该水果店第一次购进蓝莓每千克30元.
(2)设每千克蓝莓的售价是y元,根据题意,得：
解得.
的最小值为35.
答：每千克蓝莓的售价至少是35元.
22．答案：(1)当t为2时，为等边三角形；
(2)当t为1.2或3时，为直角三角形
(3)见解析
解析：由题意得，.
(1)若为等边三角形，则，
，解得，
当t为2时，为等边三角形.
(2)若为直角三角形，当时，
，，，
，，解得；
当时，同理可得，
，
，，
当t为1.2或3时，为直角三角形.
(3)证明：，，，
，
，.
，
.
，
，
.
23．答案：（1）见解析
（2）5
（3），理由见解析
解析：（1）如图1
，
，
即，
在与中，
，
；
（2）连接BE，
垂直平分AE
，
是等边三角形.
，
由（1）得，
，
，
.
在中，
；
（3），理由如下：
如图，过B作，且连接DF，EF
则四边形ABFE是平行四边形，
，
垂直平分AE，
设，，
则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
在中，根据勾股定理：
，
.