山东省淄博市2024届高三二模考试数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近方程为y=12x，则C的离心率为( )
A. 52B. 5C. 32D. 3
2.已知等比数列{an}，a2=4，a10=16，则a6=( )
A. 8B. ±8C. 10D. ±10
3.已知α,β,γ为三个不同的平面，a,b,l为三条不同的直线，若α∩β=l，α∩γ=a，β∩γ=b，l//γ，则下列结论正确的是( )
A. a与l相交B. b与l相交C. a//bD. a与β相交
4.若圆C：x2+2x+y2−3=0，则直线l：mx+y=0与圆C的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切
5.设β∈(0,π2)，若sinα=3sin(α+2β)，则tan(α+2β)的最小值为( )
A. − 24B. 24C. − 22D. 22
6.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,0)，B(0,6)，动点P满足OP=λOA+μOB，且|λ|+|μ|=1，则下列说法正确的是( )
A. 点P的轨迹为圆B. 点P到原点最短距离为2
C. 点P的轨迹是一个正方形D. 点P的轨迹所围成的图形面积为24
7.中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，后相继研发出双面三异绣、双面异色绣等绣技.其中双面异色绣是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面对应部位图案相同而色彩不同的绣技.某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为如图中三片花瓣图案做一幅双面异色绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面异色绣作品的不同色彩设计方案有( )
A. 144种B. 264种C. 288种D. 432种
8.记max{x,y,z}表示x，y，z中最大的数.已知x，y均为正实数，则max{2x,1y,x2+4y2}的最小值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是π3，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列说法正确的是( )
A. CM=−12a−12b+c
B. π3
C. BD1=a+b+c
D. AD⋅BD1=1
10.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(0<ω<6,ω∈N*,φ∈(0,π2))，满足：∀x∈R，f(x)−f(π3)≤0成立，且f(x)在(0,π3)上有且仅有2个零点，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)在区间(π3,π2)上单调递减
C. 函数f(x)的一个对称中心为(−π6,0)D. 函数f(x−π6)是奇函数
11.已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，f′(1)=12，则下列说法正确的是( )
A. f(−1)=1B. f(x)的图像关于点(12,0)成中心对称
C. f(1012)=506×1011D. k=11012f′(k)=506×1012
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为______.
13.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B=π3，bsinC=3 32，a=2，则b=______.
14.“若点P为椭圆上的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分∠F1PF2的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C:x28+y24=1，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点F1作l的垂线，垂足为M，设点M的轨迹为曲线E.若Q是曲线E上一点，已知点A(4,0)，B(5,4)，则 22|AQ|+|BQ|的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax2+x−lnx，a∈R.
(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间[1,3]上是减函数，求实数a的取值范围.
16.(本小题12分)
汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
(1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系(若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系).若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率.
附：若(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)为样本点，
相关系数公式：r=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1nxiyi−nx−y− i=1nxi2−nx−2 i=1nyi2−ny−2；y =b x+a 为回归方程，则b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−.
17.(本小题12分)
已知直角梯形ABCD，∠ADC=90∘，AB//CD，AB=2CD= 6，AD= 3，M为对角线AC与BD的交点.现以AC为折痕把△ADC折起，使点D到达点P的位置，点Q为PB的中点，如图所示：
(1)证明：AC⊥平面PBM；
(2)求三棱锥P−ACQ体积的最大值；
(3)当三棱锥P−ACQ的体积最大时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
18.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，且四个顶点所围成的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，满足x1x2=4y1y2.
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值.
19.(本小题12分)
定义：给定一个正整数m，把它叫做模.如果用m去除任意的两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a=b(mdm).如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作a≠b(mdm).
设集合A={x|x=0(md2),x∈N*}，B={x|(lg3x)=0(md2),x∈N*,x>1}.
(1)求A∩B；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{an}，并构造cn=(1+2an)an2，n∈N*；
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{bn}，并构造cn=i=1n1bi−1，i∈N*.
请从①②中选择一个，若选择_____.
证明：数列{cn}单调递增，且有界(即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M).
注：若①②都作答，按第一个计分.
年份t
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x(x=t−2014)
1
2
3
4
5
销量y(万辆)
10
12
17
20
26