2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题13 立体几何与空间向量（原卷版）

这是一份2024年高考真题和模拟题数学分类汇编（全国通用）专题13 立体几何与空间向量（原卷版），共13页。

1．（新课标全国Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（全国甲卷数学（文））设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：
①若，则或 ②若，则
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①③④
4．（新高考北京卷）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
5．（新高考天津卷）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则与相交
6．（新高考天津卷）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（新高考上海卷）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
8．（全国甲卷数学（理））已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 ．
9．（新高考北京卷）已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ．
10．（新课标全国Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值为，求．
11．（新课标全国Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF对折至，使得．
(1)证明：；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
12．（全国甲卷数学（文））如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
13．（全国甲卷数学（理））如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
14．（新高考北京卷）已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
(1)若F是PE中点，证明：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
15．（新高考天津卷）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
16．（新高考上海卷）如图为正四棱锥为底面的中心．
(1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
一、单选题
1．（2024·内蒙古·三模）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·河南·模拟预测）设，为两个不同的平面，，为两条相交的直线，已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河北石家庄·三模）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2024·辽宁·二模）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（ ）
A．1B．C．D．
6．（2024·河南·三模）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山东泰安·三模）已知圆台的母线长为4，下底面圆的半径是上底面圆的半径的3倍，轴截面周长为16，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·天津·二模）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，，，，均与底面垂直，且，点E、F分别为线段、的中点，记该几何体的体积为，平面将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·河北·三模）已知三棱锥，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·云南曲靖·二模）在三棱锥中，两两垂直，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，E、F、G、H分别为的中点，则下列说法中错误的是（ ）

A．E、F、G、H四点共面
B．三线共点
C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D．与平面所成角为
12．（2024·辽宁·二模）长方体中，四边形为正方形，直线与直线所成角的正切值为2，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·北京门头沟·一模）如图， 正方体 中， 点 为线段 上的动点， 则下列结论正确的个数是（ ）
（1）三棱锥的体积为定值；
（2）直线与平面所成的角的大小不变；
（3）直线与所成的角的大小不变，
（4）．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
14．（2024·河南新乡·三模）已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与为异面直线
C．若，且，则
D．若，则
15．（2024·安徽·三模）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（ ）
A．平面
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．
D．点到平面的距离为
16．（2024·河北保定·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（ ）

A．B．平面平面
C．多面体为三棱台D．直线与平面所成的角为
17．（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
18．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．四点共面B．平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C．平面D．平面平面
19．（2024·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且四边形ABCD为正方形，，点E，M，N分别为AD，PD，BC的中点，记过点M，N，E的平面为，四棱锥P-ABCD的体积为V，则（ ）
A．AM⊥平面PCD
B．BM⊥PD
C．平面截四棱锥P-ABCD两部分中较大部分几何体的体积为
D．平面PBC⊥平面PCD
三、填空题
20．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数
21．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是 ．（填序号）
①；②；③平面；④平面平面．
22．（2024·福建福州·一模）已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为 ．
23．（2024·四川遂宁·三模）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，现给出以下四个命题：
①
②平面平面
③三棱锥的体积为
④三棱锥的外接球的表面积为
则正确命题的序号是 ．
四、解答题
24．（2024·河南·三模）如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线．
(1)证明：；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值．
25．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台中，，，．
(1)记平面与平面的交线为，证明：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
26．（2024·安徽·三模）如图，已知四棱锥中，点在平面内的投影为点，，.

(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值.
27．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.
(1)若平面平面，求、的值；
(2)若平面，求的最小值.
28．（2024·河北衡水·三模）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
29．（2024·山东济南·三模）如图，在三棱台中，平面平面，，，．

(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
30．（2024·山东日照·二模）在三棱锥中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．

(1)求证：；
(2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
31．（2024·辽宁大连·二模）已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图：，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接，，，.
(1)当平面时，求的长；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
32．（2024·四川·三模）正方体的棱长为2，分别是的中点.
(1)求证：面；
(2)求点到平面的距离.