新高考数学一轮复习讲义 第03讲 不等式与不等关系（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
【常用结论】
1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解题思路
二、题型分类精讲
题型一 不等式性质的应用
策略方法
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．给出下列命题：①若a＞b，则 SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；③若a＞b，则 SKIPIF 1 < 0 ；④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .其中，正确的命题是（ ）.
A．①②B．②③C．③④D．①④
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知lgax＞lgay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（ ）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知a，b为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．若x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二 比较数（式）的大小与比较法证明不等式
策略方法 比较两个数或代数式的大小的三种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
【典例1】若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
2．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
4．设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为实数，比较两式的值的大小： SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 （用符号 SKIPIF 1 < 0 或=填入划线部分）．
5．已知a＞0，b＞0，则p＝ SKIPIF 1 < 0 ﹣a与q＝b﹣ SKIPIF 1 < 0 的大小关系是_____．
四、解答题
6．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设x， SKIPIF 1 < 0 ，比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
7．比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 )的大小.
题型三 已知不等式的关系，求目标式的取值范围
策略方法
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知－3A．(1，3) B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知实数x，y分别是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
6．已知实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
三、填空题
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_______________
题型四 不等式的综合问题
【典例1】4．若正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
8．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知正数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是___________.
11．已知三个实数a、b、c，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____________．
不等式性质的应用
比较数（式）的大小
已知不等式的关系，求目标式的取值范围
不等式的综合问题
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
性质
性质内容
对称性
SKIPIF 1 < 0
传递性
SKIPIF 1 < 0
可加性
SKIPIF 1 < 0
可乘性
SKIPIF 1 < 0
同向可加性
SKIPIF 1 < 0
同向同正可乘性
SKIPIF 1 < 0
可乘方性
SKIPIF 1 < 0