新高考数学一轮复习讲义 第12讲 函数的图像（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
1．利用描点法作函数的图象
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f (x)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象eq \(――――――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称))y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)的图象
eq \(―――――――――――――――――――――――→,\s\up27(a＞1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)，纵坐标不变,0＜a＜1，横坐标伸长为原来的\f(1,a)倍，纵坐标不变)) y＝f (ax)的图象；
②y＝f (x)的图象
eq \(――――――――――――――――――――――――――――――→,\s\up10(a＞1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d10(0＜a＜1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝af (x)的图象．
(4)翻转变换
①y＝f (x)的图象eq \(――――――――――――――――→,\s\up10(x轴下方部分翻折到上方),\s\d10(x轴及上方部分不变))y＝|f (x)|的图象；
②y＝f (x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up10(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d10(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f (|x|)的图象．
【常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f (－x)＝f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)；
(3)若函数y＝f (x)的定义域为R，且有f (a＋x)＝f (b－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f (－x)＝－f (x)⇔函数y＝f (x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f (x)的图象关于(a，0)对称⇔f (a＋x)＝－f (a－x)⇔f (x)＝－f (2a－x)⇔f (－x)＝－f (2a＋x)；
(3)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f (a＋x)＝2b－f (a－x)⇔f (x)＝2b－f (2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f (a＋x)与y＝f (b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f (x)与y＝f (2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f (x)与y＝2b－f (－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f (x)与y＝2b－f (2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．如图是下列四个函数中的某个函数在区间 SKIPIF 1 < 0 的大致图像，则该函数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 恰有4个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
题型一 作函数的图像
策略方法 作函数图象的两种常用方法
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）画函数 SKIPIF 1 < 0 的图象；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有4个不同的交点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围以及所有交点横坐标之和.
【题型训练】
一、解答题
1．（1）画函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，并写出单调增区间；
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，求a的取值范围.
2．画函数图象： SKIPIF 1 < 0 ．
3．画函数图象 SKIPIF 1 < 0
题型二 函数图像的辨识
策略方法 辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】如图，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
8．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
题型三 函数图像的应用
策略方法 1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .若对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是__________.
【典例2】对任意 SKIPIF 1 < 0 ，恒有 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，现已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的公共点，则正实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒在 SKIPIF 1 < 0 轴下方，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．[0，1]
3．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 恰有5个不同的实根，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的整数解有且只有 SKIPIF 1 < 0 个，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 有3个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有6个解，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．函数 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有三个互不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有两解时，实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个不同实数根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
13．已知四个函数：（1） SKIPIF 1 < 0 ，（2） SKIPIF 1 < 0 ，（3） SKIPIF 1 < 0 ，（4） SKIPIF 1 < 0 ，从中任选 SKIPIF 1 < 0 个，则事件“所选 SKIPIF 1 < 0 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是___________．
15．定义在R上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则t的取值范围是__________．
16．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 互不相等，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________________.
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 恰好有四个实根，则实数k的取值范围是___．
18．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______________．
19．已知直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列四个结论：
①存在实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 没有交点；
②存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个交点；
③存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 不会恰有 SKIPIF 1 < 0 个交点；
④对任意实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 不会恰有 SKIPIF 1 < 0 个交点．
其中所有正确结论的序号是____．
①作函数的图像
②函数图像的辨识
③函数图像的应用