新高考数学一轮复习讲义 第34讲 空间直线、平面的垂直（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第34讲 空间直线、平面的垂直（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第34讲空间直线平面的垂直原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第34讲空间直线平面的垂直含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共101页， 欢迎下载使用。

一、知识点梳理
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理
三、性质定理
四、平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、判定定理
六、性质定理
【常用结论】
1.证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
2.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
3.证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
二、题型分类精讲
题型一 垂直性质的简单判定
策略方法
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【典例1】（单选题）若l为一条直线，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若
C．D．若
【答案】C
【分析】根据线面，面面，平行，垂直的性质与判定判断即可.
【详解】对A，若可能相交也可能平行，故A项不正确；
对BD，则可能有，故B，D项不正确；
对C，则必有，故C项正确．
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理判定即可.
【详解】对于①，设平面，且,
由直线与平面平行的判定定理可知，，
再由平面与平面平行的判定定理可知，则①正确；
对于②，设、交于直线，若内有一条直线垂直于，
则、可能垂直也可能不垂直，则②错误；
对于③，由直线与平面平行的判定定理可知，则③正确，
故选：.
2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若∥，，则∥， ②若，，则，
③若，，则∥， ④若，，，则
其中正确的命题是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．①②
【答案】A
【分析】对于①，由线面平行的判定定理分析判断，对于②，由面面垂直的判定定理分析判断，对于③，由线面垂直的性质分析判断，对于④，举例判断
【详解】对于①，当∥，时，∥或，所以①错误，
对于②，当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以②正确，
对于③，当，时，有∥，所以③正确，
对于④，当，，时，如图所示，∥，所以④错误，
故选：A
3．已知，，是3条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】利用垂直于同一直线的两条直线的位置关系可判断A；利用面面垂直的性质可判断B；利用面面垂直的判定可判断C；利用垂直于同一平面的两个平面的位置关系可判断D.
【详解】对于A，由，，在同一个平面可得，在空间不成立，故A错误；
对于B，由面面垂直的性质定理知缺少“”，故B错误；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，当三个平面，，两两垂直时，结论错误，故D错误.
故选：C.
4．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】根据线面位置关系的性质定理与判定定理一一判定即可.
【详解】对于A，若，,则或相交或异面，错误；
对于B，若，，则或相交，错误；
对于C，若，，则，又，则，正确；
对于D，若，，则或，错误.
故选：C.
5．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【分析】由线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的理论逐一判断即可求解.
【详解】对于A选项：不妨设平面，，平面，平面，则有，，但与不垂直，故A选项错误.
对于B选项：若，，则或与相交，即与不一定垂直，故B选项错误.
对于C选项：设平面且，若，则有，
又，所以，结合、平面，所以有，故C选项正确.
对于D选项：若，，则或，故D选项错误.
故选：C.
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.
【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；
当，，时，必有，从而，故选项D正确；
故选：D.
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．若直线平面，，则过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内
D．已知m，n为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于
【答案】C
【分析】利用面面平行的性质推理判断A；利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理判断B；利用线面平行的性质判断C；利用反证法结合线面平行的性质推理判断D作答.
【详解】对于A，平面平面，点平面，平面，且，

由，得点共面，平面平面，平面平面，
而平面平面，于是，因此四边形是平行四边形，所以，A正确；
对于B，设平面、、两两垂直，它们的交线分别为b、c、d，
过平面内点的直线e、f分别满足，，如图，

由，，，得，而，则，同理，
因此，又，从而，同理，
所以三个两两垂直的平面的交线也两两垂直，B正确；
对于C，由直线平面，，得直线与点确定一个平面，令平面与平面的交线为，
显然，且平面，直线唯一，C错误；
对于D，假定与平行，由平面，得平面，又平面，于是，
这与m，n为异面直线矛盾，即假设不成立，因此与相交，
由平面、及，得，同理，在平面内存在直线，
在平面内存在直线（均不为平面与的交线），
即有，于是，直线平行于平面与的交线，所以直线平行于平面与的交线，D正确.
故选：C
8．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】A选项，分与两种情况，由线面垂直得到面面垂直；B选项，得到，结合，可得；C选项，先得到，结合A选项可得，C错误；D选项，可得到，进而得到.
【详解】A选项，若，如图1，因为，所以，
若，如图2，因为，，则，过直线的平面交平面于直线，
则，故，因为，所以，
综上，若，则，A正确；
B选项，因为，，所以，
因为，可得，B正确；
C选项，因为，，所以，
由A选项可知，C错误；
D选项，因为，，则，因为，所以，D正确.
故选：C
二、多选题
9．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】ABC
【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.
【详解】由题意，
A项, 设所在平面, , 只需即满足题设, 故A错误；
B项，设且且, 此时，B错误；
C项，当，，时，可能垂直于，C错误；
D项，当，，，则，故D正确.
故选：ABC.
10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【分析】根据空间中线面、面面位置关系判断即可.
【详解】因为，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于A：若，，则或或或与相交（不垂直），故A错误；
对于B：若，，则，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若，，则或与相交，故D错误.
故选：BC
11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】ABD
【分析】利用线面平行性质、线面垂直的性质推理判断A；利用线面垂直的判定判断B；举例说明判断C；利用面面垂直的判定判断D作答.
【详解】对于A，由，得存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，
由，内，得，因此，A正确；
对于B，由，，，得，B正确；
对于C，由于，令，当时，有，此时或，C错误；
对于D，由，，得，D正确.
故选：ABD
12．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：
在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若，，，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；
在D中，若，，，则由线面垂直，线线平行的性质可得，故D正确.
故选：ABC.
三、填空题
13．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
其中正确的命题共有 个．
【答案】2
【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直，所以①不正确；
②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直，所以②正确；
③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确；
④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确.
故答案为：2.
14．已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：
①；②；③；④.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）
【答案】①③④②(或②③④①)
【分析】已知①③④时，将平移到相交位置，根据线面垂直的判定与性质以及直二面角的定义可推出②；已知②③④时，根据直二面角的定义可推出①.
【详解】若，，，则.
证明：过平面和平面外一点，作，交于，作，交于，
则，，，
显然与不平行，设，则，，
因为，平面，所以平面，
延展平面交于点，连，则，，
则是二面角的一个平面角，
因为，，所以，同理有，
又，所以四边形为矩形，则，
则平面和平面形成的二面角的平面角直二面角，故，

若，，，则.
证明：因为，所以与所成的二面角为，
因为，，所以直线所成的角也为，即.
若，，，则与相交或或.
若，，，则与相交或或.
故答案为：①③④②(或②③④①).
题型二 线面垂直的判定
策略方法 判定线面垂直的四种方法
【典例1】如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．
【答案】见解析
【分析】通过证明和，进而可得证.
【详解】
E，F分别是棱，的中点，
在Rt△和Rt△中，，
所以Rt△ Rt△，所以△，
因为，所以，
所以，即，
又因为正方体中，平面,平面，
所以，和平面EAB内的两条相交直线，
所以平面EAB.
【题型训练】
一、解答题
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. 证明：BD⊥平面PAC
【答案】证明见解析
【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可.
【详解】证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F为PA的中点，求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证
（2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证
【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示
因为E、F分别为PD、PA中点，
所以，且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形EFBC为平行四边形，
所以，
因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD
（2）因为，F为PA中点，
所以，则，
因为，平面PCD，
所以平面PCD.
3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点是棱的中点，求证：平面．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面.
(2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.
（2）连接，如图所示：
因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.
4．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;
(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.
【详解】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．
因为ABCD为正方形,所以,
因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为平面PAB,所以,
因为,E为线段PB的中点,所以,
又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
（2）由F是BC的中点．所以,
因为底面ABCD,平面ABCD,
所以,因为E为线段PB的中点,
所以,
由(1)知平面PBC,平面PBC,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
由(1)知平面PAB,所以平面PAB,
设点P到平面AEF的距离为h,
则有,
解得,所以点P到平面AEF的距离为．
5．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面
【答案】证明见解析
【分析】由面面、线面垂直的性质可得，且，根据线面垂直的判定即可证结论；
【详解】证明：由题设，，又面面，面面，面，
所以面，而面，则，
由得：，
又，则平面.
6．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
【答案】(1)
(2)证明详见解析
【分析】（1）根据锥体的体积公式，即可求出结果；
（2）根据线面垂直的判定定理，即可证明面，又由中位线定理，可得，进而证明出结果.
【详解】（1）解：∵在底面是矩形的四棱锥中，底面，，
∴；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵底面，面，
∴，
又，∴面，
又，分别是，的中点，
∴，
∴平面.
7．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．
(1)求证：平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积.
【详解】（1）∵PA为圆柱母线，
∴平面ACB，
∵平面，
∴，
∵AB为底面圆直径，∴，
∵平面APC，平面APC，，
∴平面PAC.
（2）∵平面APC，平面平面APC，
∴平面ACM，BC为三棱锥的高，，
∵，M为PC中点，
∴，，，
∴.
8．已知的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可证得PA⊥BC，BC⊥AC，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明.
【详解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC，
又AC∩PA=A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
（2）由（1）知BC⊥平面PAC，
∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN，
又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC平面PBC，
∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AN⊥PB，
又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN⊂平面AMN，
∴PB⊥平面AMN.
9．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）通过证明，，得证平面．
（2）由，利用体积法求点D到平面ABE的距离．
【详解】（1）证明：∵，D，E分别为AC，的中点，
∴，且，
又平面，∴平面，
又平面，∴，
又，且，平面，
∴平面．
（2）∵，，，
∴，
∴，，．
在中，，，
∴边上的高为．
∴．
设点D到平面ABE的距离为d，
根据，得，解得，
所以点D到平面ABE的距离为．
10．如图四棱锥中，四边形为等腰梯形，，平面平面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)若在线段上，且，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合余弦定理可求得，由勾股定理可证，结合线面垂直的判定定理可证；
（2）根据题意结合面面垂直的性质定理可得平面，利用锥体的体积公式运算求解.
【详解】（1）∵四边形为等腰梯形，且，
∴，
又∵，则，即，
∴，则，即，
又∵，，平面，
∴平面.
（2）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
由题意可得：为等腰直角三角形，则，
又∵，
∴三棱锥的体积.
11．如图所示,在长方体中,AB=2,BC=2,,M为棱上一点．
(1)若,求异面直线和所成角的正切值;
(2)若,求证BM⊥平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)由,则异面直线和所成角即为,根据线面垂直的性质定理可得,再根据长度关系求得中的各个长度,进而求得正切值即可;
(2)根据,可得为中点,根据长度关系可知,再根据线面垂直的性质定理可得,根据线面垂直判定定理即可证得结论.
【详解】（1）解:因为长方体,所以,
所以是异面直线和所成的角,
因为在长方体中,平面,所以,
因为,,,为棱上一点,,
所以,
所以在直角三角形中,,
即异面直线和所成角的正切值为;
（2）证明:当时,为中点,所以,
即有,所以,
因为平面,平面,
所以．又,
平面,平面,
所以平面．
12．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
【答案】证明见解析.
【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然后利用线面垂直的判定定理即得.
【详解】∵在中，D是AB的中点，，
∴,
∵E是PB的中点，D是AB的中点，
∴，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面，平面，
∴平面．
13．如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点．
(1)求证：平面；
(2)若平面BDE，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，从而，结合，即可证明平面；
（2）利用等体积法，求三棱锥的体积转化为求三棱锥体积的一半，即可求得本题答案.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
因为四边形ABCD为平行四边形，所以，
又因为，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.
（2）如图，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，
因为为的中点，所以为的中点，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，所以在中，，
所以，
.
14．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用已知直三棱柱的结构特征，证明平面，可得，再利用侧面矩形的结构特征，证明，可得平面；
（2）由（1）中的证明过程可得，计算数据代入即可.
【详解】（1）因为为直三棱柱，所以平面.
又平面，所以.
因为为棱的中点，，所以.
因为平面，平面，，所以平面.
又平面，所以.
因为为棱的中点，所以.
又，所以，同理，所以.
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为，，，
所以，，
所以.
由（1）知平面，
所以，
即三棱锥的体积为.
15．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，即为体高，利用棱锥体积公式求体积即可；
（2）由三角形面积公式可得，根据已知及平方关系求余弦值，应用余弦定理求，易知，再由线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论.
【详解】（1）面面，，面面，面，
所以面，又的面积为6，
所以三棱锥的体积.
（2）由题设，即，又为锐角，
所以，
由，故，
所以，
由（1）知面，面，故，
，面，故平面.
16．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且.

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为4，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直；
（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质与判定可得为四棱锥的高，再根据四棱锥体积求解即可.
【详解】（1）由题意得，则，，
因为，则，
又，平面，所以平面，
又平面，则，
又，，平面，平面，
所以平面．
（2）取中点，连接，由正方形可得.
又平面，由（1）可得.
又，平面，则平面.
即为四棱锥的高.
设，则，，.
由（1）可得底面为直角三角形，故，
解得，即.

17．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质，在结合线面垂直的判定定理，即可得出结论.
【详解】证明：如图所示，取中点，连接，
是正三角形，为中点，
又平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，，
，且，平面，
平面；.
18．如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【答案】证明见解析
【分析】由几何性质，推导出，从而平面，进而，平面．连接，则，则，得，，是平行四边形，，由此能证明平面．
【详解】证明：如图，
连接AF，
由题意知为等腰三角形，
而为的中点，所以．
又因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面．
而平面，所以．
而，平面，所以平面．
连接，则，，
而，，所以且，
所以是平行四边形，
因此，故平面．
19．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析整理.
【详解】（1）连接，如图，
∵O、M分别是、的中点，是矩形，则，且，
∴四边形是平行四边形，则，
平面，平面，
∴平面.
（2）连接，
∵正方形的边长为2，，
∴，，，
则，故，
又∵平面，平面，
∴，
由为正方形可得：，
，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，
，面，
∴平面.
20．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得.

(1)证明：平面ABC；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明：连接，在等边中，得到，再由勾股定理证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）解法1：作，设点到平面的距离为，利用，列出方程，即可求解；
解法2、过A作，证得平面OEF，得到的长度即点到平面的距离，结合，即可求解.
【详解】（1）证明：连接，因为为等腰直角三角形，且，
所以，，
在等边中，，且.
又因为，所以，即，
因为且平面，所以平面.

（2）解法1：作，垂足为,
因为，所以，解得，所以，
在直角中，，可得，
又因为，所以，
设点到平面的距离为，由，可得，
即，解得，
即点到平面的距离为.

解法2、过A作，垂足为，
由（1）知平面，因为平面，所以.
又由，，所以平面OEF，
所以的长度即点到平面的距离，
在中，因为，，，
所以，可得，
由，即，解得，
所以，即点到平面的距离为.

题型三 线线垂直的判定
策略方法
【典例1】如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行；
（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面，进而可证明线线垂直.
【详解】（1）设是的中点，由于是的中点，
所以,
由于是的中点，四边形是矩形,
所以.
所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）由于平面，
平面，所以,
因为,,平面，
所以平面,
因为平面,所以,
因为是的中点,所以,
因为,平面,
以平面,
又因为平面,所以.
【题型训练】
一、解答题
1．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，.

(1)证明；；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过线面垂直的办法证明线线垂直；
（2）根据等体积法转换，的体积等价于求的体积即可.
【详解】（1）
取中点，连接，因为是等边三角形，所以.
因为，，所以.而，
所以是等边三角形，则，又，平面
所以平面，又平面，故.
（2）由平面平面，平面平面，平面，
又，可知平面.
在中，由余弦定理，有.
解之可得. 所以，
所以.
2．如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用勾股定理证明，，从而可得平面，即可得证.
【详解】（1）连接，
因为M，N分别是PD，PB的中点，所以，
又平面，平面，
所以直线平面；
（2）因为，
所以，所以，
因为，，
所以，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
又，所以．

3．如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.

(1)求证：；
(2)求四棱锥的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件根据面面垂直性质定理证明平面，由此可得，结合根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论；
（2）由条件依次求出各各面的面积相加即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
且，平面，
∴平面，又平面，
∴，又，且，平面，
∴平面，又平面，
∴.
（2）因为，
所以矩形的面积为2，
在中，，，故，
故的面积为；
和的面积分别为和.
而，，，
故边上的高为，
故的面积为，
故四棱锥的表面积为.
4．如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.

(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用可证，从而可证平面，进而可证，从而可证平面，利用线面垂直的性质即可证明；
（2）由（1）可得平面，从而有，进而可知当时，最小，此时面积最小. 过做于，从而可得平面，再根据锥体的体积公式即可求解.
【详解】（1）连接，
，为中点，.
又，，，且.
，
，，
又，，平面，
平面，又平面，.
由已知，，，
又，平面，平面.
而，平面，.
（2）由（1）可知，.
又，平面，平面，
又，平面，.
所以，又在棱上移动，
当时，最小，此时面积最小.
在中，，，则，，.
在中，过做于，则，
，平面，于是可得.
.

5．如图，在三棱柱中，中，，在平面上的射影为的中点．

(1)证明：．
(2)求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，得到平面，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，进而证得；
（2）由柱体和锥体的体积公式，结合，即可求得多面体的体积..
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为在平面上的射影为的中点，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以．
（2）解：因为平面，且平面，所以，
因为，，所以，
所以三棱柱的体积，
且，
故多面体的体积.

6．如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.

(1)证明：；
(2)若，求四棱柱的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，求出、，即可得到，由线面垂直得到，即可证明平面，从而得证；
（2）设，利用勾股定理表示出、、，再由求出，最后根据柱体体积公式计算可得.
【详解】（1）如图，连接，，，，，
，，

，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）设，则由已知可得，
，，
，，即，
解得（负值舍去），，
四棱柱的体积.
7．在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且，．

(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形为矩形，并求得相关线段的长度，再证得到，根据面面垂直的判定、性质证平面，进而得到，最后由线面垂直的判定和性质证结论.
（2）由，结合棱锥体积公式求体积即可.
【详解】（1）由，，则，是的中点，即，

由为棱台，易知，且，故，
又，且，故四边形为平行四边形，
又平面，平面，则，
所以四边形为矩形，又，是的中点，故，
在中，且，
所以，易得，则，
由平面，平面，则平面平面，
由等腰三角形性质知，平面，平面平面，
所以平面，平面，则，
又，面，则面，
由面，则.
（2）由，由（1）知：平面，
所以.
所以三棱锥的体积为.
8．如图，在梯形中，，，，为边上的点，，，将沿直线翻折到的位置，且，连接．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，由线面垂直判定和性质可证得；易证得四边形为菱形，由此可得，由线面垂直的判定和性质可得到结论；
（2）利用体积桥可构造关于所求距离的方程，由此求得结果.
【详解】（1），，，，，
又，为等边三角形；
取中点，连接，

，为中点，；
，，，平面，
平面，又平面，，
，平面，平面，
又平面，；
，，，
四边形为菱形，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）由（1）知：平面，
，，；
，，，
点到线段的距离，，
设点到平面的距离为，
则，解得：.
即点到平面的距离为.
9．如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，平面，平面，．

(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由题意，可求出 、 、 的值，则可得出 ，故，再连接，交于点，过点作，交于点，求出 的值，再根据 、 、 的勾股关系，可得，又，可得平面，进而得证.
（2）由（1）的证明及对称性易知，则 ，得出 的值即可.
【详解】（1）证明：因为，所以 ，
因为平面，平面，所以 .
因为四边形是边长为的菱形，，
所以, 因为，
所以，所以 ．
连接，交于点，过点作，交于点，如图，

则，所以． 因为，所以，
所以 因为，
所以，所以． 又，且、平面．
所以平面． 又平面，所以．
（2）解：由（1）的证明及对称性易知，
所以 ，
解得．
10．在直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，.
(1)证明：；
(2)求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，证明∽，进而证得，再利用线面垂直的性质判定推理作答.
（2）由（1）的信息，求出长即可作答.
【详解】（1）在直三棱柱中，由侧面为正方形，得，
而，，平面，则平面，
又平面，即有，即，，则，
因为，则，，
由E，F分别为AC和的中点，得，
于是，而，则∽，有，
又，即有，则，即，
由，为的中点，得，而平面，平面，则，
又，平面，于是平面，而平面，则，
因为，平面，因此平面，而平面，
所以.
（2）由（1）知平面，则长即为点到平面的距离，
在中，，则，
所以点到平面的距离.
题型四 面面垂直的判定
策略方法 证明面面垂直的两种方法
【典例1】如图，已知平面，为矩形，分别为的中点.
(1)证明：；
(2)若，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）平行四边形思想，平行线的传递性，线面垂直的判定定理和性质定理结合即可；（2）线面垂直性质定理，面面垂直的判定定理解决即可.
【详解】（1）设为的中点，连接.
因为分别为的中点，
所以，.
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以.
因为平面ABCD，
所以.
又因为，且平面
所以平面，
所以.
因为，
所以.
（2）因为，
所以，
所以.
又平面，，
所以平面，
所以.
又因为平面
所以平面.
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
【题型训练】
一、解答题
1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求及三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）由底面，可得，再结合和线面垂直的判断可证得平面，再由面面垂直的判定定理可得结论，
（2）连接，可得，可证得四边形是正方形，再利用棱锥的体积公式可求得结果.
【详解】（1）因为平面，又平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）可知，平面，
又平面，故，
又四边形是矩形，所以四边形是正方形，所以．
所以

2．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．
(1)证明：平面平面PCD．
(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）由，，证得平面PAD，则有平面平面PCD．
（2）由已知数据结合棱锥体积公式计算.
【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得．
因为底面ABCD，平面ABCD，所以．
因为，平面PAD，所以平面PAD．
因为平面PCD，所以平面平面PCD．
（2）因为，，所以，
因为直角梯形ABCE的面积．
所以．
3．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
4．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由线面垂直证，再证平面、平面平面.
【详解】（1）连接交于点，连接.
因为为中点，为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为点在平面内的射影为A，所以平面，
因为平面，所以.
又在正方形中，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
5．如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；点是的中点
【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可得，结合AD⊥CD，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）取的中点为，的中点为，连接，，，根据中位线即可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）存在，当点是的中点时，平面，证明如下：
如图，设的中点为，连接，，，如图所示：
所以是的中位线，即，且，
因为，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
故当点是的中点时，平面.
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
(1)求证：EO平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证明AC⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可得证.
【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
∴O为BD中点，又E为PB的中点，∴，
∵平面PDC，平面PDC，
∴平面PDC；
（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵平面，∴AC⊥平面PBD，
又平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
7．如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求几何体PABCEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）得到四边形ABCF为平行四边形，，从而得到，由面面垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直；
（2）作出辅助线，转化为两个三棱锥，分别求出这两个三棱锥的体积，相加即可
【详解】（1）因为F为AD的中点，所以，又，所以，
因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以，
因为，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，
所以平面PAD，
又平面CEF，所以平面平面PAD．
（2）连接PF，因为，F为AD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
所以平面ABCD，
因为，所以，所以在中，，又，
所以，
梯形的面积为，
所以四棱锥的体积．
因为E为棱PD的中点，故三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积，
故所求几何体的体积.
8．如图，在中，，，D是线段AC上靠近点A的三等分点，现将沿直线BD折成，且使得平面平面CBD.
(1)证明：平面平面PCB；
(2)求点B到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中的边角关系由余弦定理可求解的长度，进而可得垂直关系，由面面垂直的性质即可求解，
（2）利用等体积法即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，故,
在中，,,所以，
由于,故，所以,
由于平面平面CBD，平面平面,平面CBD, 所以平面,
又平面PCB,所以平面平面PCB，
（2）由平面，平面,所以,
所以,
故在中，,则，
故,
设B到平面PCD的距离为，则由等体积法得,即
9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意可证明AE⊥平面PAB，即可证明平面平面；
（2）根据三棱锥中，利用等体积即可求高.
【详解】（1）证明：平面，．
又底面为正方形，
．
平面平面，
平面．
平面，
．
为中点
．
平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
（2）解：，
．
又，
．
，
∴四棱锥的高，
∴点到平面的距离为．
【点睛】证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：．
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：．
10．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，．
(1)证明：平面⊥平面；
(2)求四棱锥的体积与表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)体积为，表面积为
【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直；
（2）在（1）的基础上，得到为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面积.
【详解】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO．
因为，，则，
而，，故．
在正方形ABCD中，因为，故，故，
因为，故，
故为直角三角形且，
因为，平面，故⊥平面，
因为QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．
（2）取中点，连接，
由（1）可知为四棱锥的高，且，
底面正方形ABCD的边长为2，
所以四棱锥的体积，
由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD，
又因为，AB平面ABCD，平面QAD平面，
所以AB⊥平面QAD，
又因为AQ平面QAD，QD平面QAD，
所以，，故
又，，
故⊥，△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形,
其中，
四边形的面积为，三角形的面积为，
三角形的面积为，，
所以棱锥的表面积为．
11．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到线线垂直，求出等腰梯形的高，得到，故，进而证明出线面垂直，得到面面垂直；
（2）根据比例关系得到，证明出线面垂直，求出，从而求出答案.
【详解】（1）分别取和的中点，连接，
因为底面是边长为2的正方形，，
所以.
在梯形中，，
分别作垂直于，垂足分别为，则，
故由勾股定理得，
所以，
易知，故.
又，所以，
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）连接.因为，所以四边形的面积，
所以.
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为，平面，
所以平面，且.
因为，所以，
即四棱锥的体积为.
12．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得到，找到为二面角的平面角，且，得到平面平面ABCD，进而由四边形ABCE为矩形得到线面垂直，进而证明平面平面PBC；
（2）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE，如图，
易知，，，
在中，由余弦定理得，，
则，故，
由，，，同理可得且，
故为二面角的平面角，
又，则，故，故平面平面ABCD，
又CE与AB平行且相等，且，则四边形ABCE为矩形，
故．又平面ABCD，平面平面，
故平面PCD，又平面PBC，则平面平面PBC．
（2）连接AC，设C到平面PAB的距离为h，
由（1）得平面平面PCD，，由面面垂直的性质定理，同理可得平面ABCD，
，即，
∵，，，，平面AEP，则平面AEP，
又，故平面AEP，平面AEP，故，
故，故，解得．
13．如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到平面，得到，结合得到线面垂直，证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【详解】（1）∵平面平面，，平面平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴.
又∵，，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
在中，，为的中点，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（2）作于点，易知平面，
在中，，
则，.
如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，.
由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，解得，
取，则，得，
，
由题可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为
14．多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面平面DEF；
(2)求该多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面ABCD，然后根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面BEF，再根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理可得平面ACEF，然后利用锥体的体积公式求解.
【详解】（1）如图，连接BD，设AC与BD交于点O，连接FO，EO．
因为平面平面ACEF，平面平面，，平面ACEF，
所以平面ABCD,
因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以．
在直角梯形ACEF中，，O为AC的中点，
则，且．
又因为， ，所以四边形AFEO是边长为1的正方形，
所以，且，
所以平面ABCD,因为平面ABCD，
所以，则，
所以，
所以．
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以，
所以，所以．
又因为，BE,平面BEF，
所以平面BEF．
又因为平面CDE，
所以平面平面CDE；
（2）由（1）可知，，，平面ACEF，
则平面ACEF，
多面体ABCDEF可以视为四棱锥和四棱锥的组合体，
故其体积为．
①垂直性质的简单判定
②线面垂直的判定
③线线垂直的判定
④面面垂直的判定
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a