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江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷
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这是一份江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷，文件包含江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷❖-教师用卷docx、江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷❖-学生用卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对数lga与lgb互为相反数，则有( )
A. a+b=0B. a−b=0C. ab=1D. ab=1
2.使式子lg(2x−1)(2−x)有意义的x的取值范围是( )
A. x>2B. x<2C. 123.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是( )
A. 众数=平均数=中位数B. 众数<中位数<平均数C. 众数<平均数<中位数D. 中位数<平均数<众数
4.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α,l⊄β,则( )
A. α//β且l//α
B. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行于l
5.已知复数z满足z3=1+ 3i，则z=( )
A. 1+33iB. 2csπ12+isinπ12
C. 1+63iD. 32csπ9+isinπ9
6.设θ是锐角，满足sinθ+45∘sinθ−45∘=tanθ，则sin2θ=( )
A. 3+16B. 5−14C. 6+ 24D. 22
7.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sinx,2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4csx,2kπ+π4A. f(x)的对称轴为x=π4+kπ(k∈Z)
B. f(x)的最小正周期为4π
C. f(x)的最大值为1，最小值为− 22
D. f(x)在[π4,π]上单调递减，在[π,5π4]上单调递增
10.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点;Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y=− 3x(x≥0)与⊙O的交点.则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A. (cs2π9,sin2π9)B. (−cs5π9,−sin5π9)
C. (csπ9,−sinπ9)D. (−csπ9,sinπ9)
11.已知平面α∩平面β=l，B，D是l上两点，直线AB⊂α且AB∩l=B，直线CD⊂β且CD∩l=D.下列结论中，错误的有( )
A. 若AB⊥l，CD⊥l，且AB=CD，则ABCD是平行四边形
B. 若M是AB中点，N是CD中点，则MN//AC
C. 若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D. 直线AB，CD所成角的大小与二面角α−l−β的大小相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__________
13.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=__________.
14.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB⌢，AC⌢，BD⌢，CD⌢都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB.如果记α=∠AOB，β=∠AOC，γ=∠BOD，δ=∠COD，则csα=__________(用csβ,csγ和csδ表示).
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
声强级LI(单位：dB)由公式LI=10lg(I10−12)给出，其中 I为声强(单位：W/m2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10−12W/m2，求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2，求其声强级.
16.(本小题12分)
设f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，求证：
(1)[g(x)]2−[f(x)]2=1;
(2)f(2x)=2f(x)⋅g(x);
(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.
17.(本小题12分)
对于函数f(x)=a−22x+1a∈R
(1)探索函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB=90∘，PA⊥底面ABC.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
(3)在(2)的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
19.(本小题12分)
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在m1(绕中心O作120∘的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=1&2&33&1&2；又如，R在l1(关于对称轴r1所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的一个对称变换，类似地，记l1=1&2&31&3&2.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I.∀a,b∈G，a∘b∈G；
II.∀a,b,c∈G，a∘b∘c=a∘b∘c；
Ⅲ.∃e∈G，∀a∈G，a∘e=e∘a=a；
Ⅳ.∀a∈G，∃a−1∈G，a∘a−1=a−1∘a=e.
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的a−1为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算∘来说作成一个群．
(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1=1&2&33&1&2=1&3&23&2&1=2&1&31&3&2=2&3&11&2&3=3&1&22&3&1=3&2&12&1&3.对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1&a2&a3b1&b2&b3*b1&b2&b3c1&c2&c3=a1&a2&a3c1&c2&c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的 一个子群，e，e′分别是G，H的单位元，a∈H，a−1，a′分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e′之间的关系以及a−1，a′之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对数lga与lgb互为相反数，则有( )
A. a+b=0B. a−b=0C. ab=1D. ab=1
2.使式子lg(2x−1)(2−x)有意义的x的取值范围是( )
A. x>2B. x<2C. 12
A. 众数=平均数=中位数B. 众数<中位数<平均数C. 众数<平均数<中位数D. 中位数<平均数<众数
4.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α,l⊄β,则( )
A. α//β且l//α
B. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行于l
5.已知复数z满足z3=1+ 3i，则z=( )
A. 1+33iB. 2csπ12+isinπ12
C. 1+63iD. 32csπ9+isinπ9
6.设θ是锐角，满足sinθ+45∘sinθ−45∘=tanθ，则sin2θ=( )
A. 3+16B. 5−14C. 6+ 24D. 22
7.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sinx,2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4csx,2kπ+π4
B. f(x)的最小正周期为4π
C. f(x)的最大值为1，最小值为− 22
D. f(x)在[π4,π]上单调递减，在[π,5π4]上单调递增
10.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点;Q的角速度大小为5rad/s，起点为射线y=− 3x(x≥0)与⊙O的交点.则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A. (cs2π9,sin2π9)B. (−cs5π9,−sin5π9)
C. (csπ9,−sinπ9)D. (−csπ9,sinπ9)
11.已知平面α∩平面β=l，B，D是l上两点，直线AB⊂α且AB∩l=B，直线CD⊂β且CD∩l=D.下列结论中，错误的有( )
A. 若AB⊥l，CD⊥l，且AB=CD，则ABCD是平行四边形
B. 若M是AB中点，N是CD中点，则MN//AC
C. 若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D. 直线AB，CD所成角的大小与二面角α−l−β的大小相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__________
13.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=__________.
14.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB⌢，AC⌢，BD⌢，CD⌢都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB.如果记α=∠AOB，β=∠AOC，γ=∠BOD，δ=∠COD，则csα=__________(用csβ,csγ和csδ表示).
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
声强级LI(单位：dB)由公式LI=10lg(I10−12)给出，其中 I为声强(单位：W/m2).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10−12W/m2，求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为10−6W/m2，求其声强级.
16.(本小题12分)
设f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，求证：
(1)[g(x)]2−[f(x)]2=1;
(2)f(2x)=2f(x)⋅g(x);
(3)g(2x)=[g(x)]2+[f(x)]2.
17.(本小题12分)
对于函数f(x)=a−22x+1a∈R
(1)探索函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB=90∘，PA⊥底面ABC.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值；
(3)在(2)的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值.
19.(本小题12分)
对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在m1(绕中心O作120∘的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记m1=1&2&33&1&2；又如，R在l1(关于对称轴r1所在直线的反射)的作用下仍然与R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的一个对称变换，类似地，记l1=1&2&31&3&2.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I.∀a,b∈G，a∘b∈G；
II.∀a,b,c∈G，a∘b∘c=a∘b∘c；
Ⅲ.∃e∈G，∀a∈G，a∘e=e∘a=a；
Ⅳ.∀a∈G，∃a−1∈G，a∘a−1=a−1∘a=e.
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的a−1为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算∘来说作成一个群．
(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如m1=1&2&33&1&2=1&3&23&2&1=2&1&31&3&2=2&3&11&2&3=3&1&22&3&1=3&2&12&1&3.对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1&a2&a3b1&b2&b3*b1&b2&b3c1&c2&c3=a1&a2&a3c1&c2&c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的 一个子群，e，e′分别是G，H的单位元，a∈H，a−1，a′分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，e′之间的关系以及a−1，a′之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
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