新高考数学一轮复习讲义 第44讲 直线与双曲线（2份打包，原卷版+含解析）

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一、知识点梳理
1.点与双曲线的位置关系
① ②
2.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
3.直线与双曲线的相交弦问题
设直线交双曲线于点两点，则
=
或
技巧：①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
4.双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
注：①遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.
5.双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
二、题型分类精讲
题型一 直线与双曲线的位置关系
策略方法 直线与双曲线的位置关系
联立直线与双曲线的方程，得到判别式Δ
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．
【典例1】（单选题）若直线与双曲线相交，则的取值范围是
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.
【详解】联立直线和双曲线的方程得
当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，
所以直线与双曲线没有公共点.
当，即时，，
解之得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海·高二专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知双曲线的方程为，点，分别在双曲线的左支和右支上，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直线的斜率和渐近线的斜率比较，得到直线的斜率的取值范围.
【详解】由双曲线的方程可得其渐近线方程为，故当点，分别在双曲线的左支和右支上时，直线的斜率的取值范围是.
故选：A.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“直线”给出下列直线：①，②，③，则这三条直线中有几条“直线”（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义得到点是以，为焦点的双曲线的右支，问题转化为看所给的直线与双曲线的右支是否有交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意知，
根据双曲线的定义，可得点是以，为焦点的双曲线的右支，
所以点是双曲线右支与直线的交点，即“直线”须满足与双曲线的右支相交，
又由双曲线的渐近线方程为，
中，直线为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线没有公共点，
如图所示，所以不是“直线”；
中，如图所示，直线与双曲线的右支无交点，所以不是“直线”；
中，直线与双曲线的右支有一交点，如图所示，所以是“直线”．
故选：C．

4．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及根的分布得出关于k的不等式组，求解即可.
【详解】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
所以，解得，所以实数k的取值范围为.
故选：D.
5．（2023秋·山东聊城·高二校考期末）直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，即可得与的关系，即可求得离心率.
【详解】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点,
所以直线与双曲线：的渐近线平行，
故，则双曲线的离心率.
故选：A
6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，消元，分和两种情况讨论，当时只需，解得即可；
【详解】解：联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
7．（2023·北京顺义·校考模拟预测）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的性质即可求解．
【详解】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【解析】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果.
【详解】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，
的直线方程可设为，
设，，则，
联立可得，
，，
，
．
故选：B．
9．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知直线与双曲线有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】直线与双曲线有且仅有1个交点，分两种情况，①直线与双曲线的渐近线平行可得，即可求出双曲线C的离心率；②直线与双曲线相切，由，可得与题意不符合.
【详解】解：因为直线与双曲线有且仅有1个交点，
联立可得：
①直线与双曲线的渐近线平行，
则可知，则双曲线C的离心率．
②直线与双曲线相切，
所以，
解得：，则与题意不符合.
所以双曲线C的离心率为
故选：D．
10．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.
【详解】已知双曲线(，)的右焦点为，若有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴，离心率，∴.
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目．
11．（2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．或0B．－2C．或0D．3
【答案】C
【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求坐标，进而求其中点P的坐标，根据及斜率两点式求参数，注意讨论、两种情况.
【详解】由离心率为，有．
由得：A的坐标为；
由得：B的坐标为．
设线段AB中点为P，则，且P的坐标为．

当时，，解出．
当时，符合条件．
综上所述，或．
故选：C
12．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知是双曲线C：的左焦点，，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的几何性质，直线与双曲线的一条渐近线平行，建立方程，即可求出双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线为，
又，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，即，
所以，又，所以，
所以，解得或（舍去），所以，
故选：B
13．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知F为双曲线C：的左焦点，过F的一条直线l与双曲线C交于A，B两点，与双曲线C的渐近线交于D，E两点，若，则直线l的斜率为（ ）
A．B．
C．D．±2
【答案】A
【分析】设出直线l的方程，分别由线段的长度公式计算和，结合即可算出直线l的斜率.
【详解】据题意，设直线，两条渐近线满足方程，
由得，
整理得，
，
由得：，
整理得，
，
，，
，，
故选：A．
14．（2023春·江西宜春·高二校联考阶段练习）已知点，若在直线上存在点，使得，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由条件结合双曲线定义可得直线与曲线有交点，由此列不等式求的关系.
【详解】因为，，所以点在为以为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为，则，
所以点在曲线上，
因为点也在直线上，
所以有解；所以，即.
故选：C.
二、填空题
15．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，点，若直线AF与C只有一个交点，则 ．
【答案】
【分析】求出渐近线方程，由题意得到直线AF与C的渐近线平行，从而利用斜率列出方程，求出答案.
【详解】由题意知，双曲线C的渐近线方程为或，
因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与C的渐近线平行，
即或，解得．
故答案为：
16．（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定双曲线的渐近线的斜率，由于过原点，要使得与双曲线没有交点，需满足k大于或等于的斜率，可得答案.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为直线过原点且与双曲线没有交点，
故需满足，
故答案为：
17．（2023·福建厦门·统考模拟预测）写出同时满足下列条件的一条直线的方程 .
①直线在轴上的截距为1；②直线与双曲线只有一个公共点.
【答案】（写出其中一条直线方程）
【分析】分别求出与渐近线平行的直线和切线方程，即可得到答案.
【详解】因为直线与双曲线只有一个公共点，所以直线与双曲线的渐近线平行.
又直线在轴上的截距为1，所以直线可以是：.
若直线在轴上的截距为1且与双曲线相切，则二者只有一个交点.
可设：，代入双曲线方程得：，只需，解得：，所以直线
即所求直线方程为：（写出其中一条直线方程）
故答案为：（写出其中一条直线方程）.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得右焦点坐标和渐近线方程，可得直线l的方程，与双曲线联立方程组，利用韦达定理可求M，N两点的纵坐标之和.
【详解】双曲线C：，右焦点，渐近线方程为．如图所示，
假设直线l垂直于，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，
将直线l与双曲线C联立消x得，
设，，故；
同理可得，当直线l垂直于时，解得．
故答案为：
19．（2023·四川宜宾·统考三模）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为 .
【答案】18
【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求出m，然后利用双曲线定义即可求解
【详解】因为，所以，所以，
则渐近线，不妨设，，，
则双曲线的方程，
设，，所以AB：，
联立，得，
所以，，
所以，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故答案为：18.
20．（2023·全国·高三专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，求直线的方程 ．
【答案】
【分析】设的斜率为，得到，联立方程组，根据和双曲线的方程，求得，得到的方程为，同理的方程为，进而得到，进而求得过的直线方程.
【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，
则，联立方程，
消去得，
因为与双曲线相切，所以，
即，即，
即，
因为，所以，
代入可得，即，所以，
所以，即，
同理可得的方程为，
因为在切线上，所以，
所以满足方程，
又由两点确定一条直线，所以满足直线方程，
所以过的直线方程为.
故答案为：.
21．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程为，若直线与只有一个公共点，则实数的值为
【答案】
【分析】根据题意分析可得，即可求得，再联立方程，分和两种情况讨论，分析运算即可得答案.
【详解】由双曲线 可得，且双曲线的焦点在x轴上，
故双曲线的渐近线为，
∵双曲线的一条渐近线方程为，即，
可得，解得，
所以双曲线.
联立方程，消去y得，
当，即时，则，解得，
故直线与只有一个公共点，符合题意；
当，即时，
则，解得或，
故直线与有两个公共点，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
三、解答题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C：的焦距为4，且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出，然后求出．可得双曲线的方程．
（2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知双曲线的焦点为和，
根据定义有．
，又，所以，，．
所求双曲线的方程为．
（2）解：因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当即时，由，解得，
此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述：符合题意的的所有取值为，．
23．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
24．（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.
(1)证明：；
(2)若的面积为8，求直线的斜率.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，设且得中点为，代入双曲线判断与双曲线的位置关系，即可证结论；
（2）令得，设联立双曲线，应用韦达定理，结合已知求，即可得直线斜率.
【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，
而，则线段中点为，又，则，
所以，则中点在双曲线上或外部，
即，仅当重合时等号成立，故.
（2）若，则，
令，，联立双曲线，
则，而，则，，
所以，故，可得（负值舍），
所以，故直线斜率为.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得，结合双曲线的定义求得，进一步计算得出双曲线的方程即可；
（2）设直线PQ的方程为，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，
则，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直线l：满足条件.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到一条渐近线的距离为1，点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与双曲线交于两点（异于点），且直线的斜率之和为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出，结合，以及中利用余弦定理求出的值即可；
（2）设点联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，利用求出参数的范围，再写出相加之和为，联立方程求出即可.
【详解】（1）由双曲线的方程得渐近线方程为：，取其中一条，
则由点到一条渐近线的距离为1及有：
，
又，所以，
又，
在中，，由余弦定理得：
，
即
解得，所以，
所以双曲线的方程为：.
（2）设，
联立消去整理得：
，
则或，
则，
又
所以
，
整理得：，
解得（舍去）或，
所以直线的方程为：.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，，为双曲线C：的左右焦点，P为C的右支上一点，当轴时，．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线上，，M为AP的中点，直线OM与直线的交点为N，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，再由轴，得到 ，然后利用双曲线的定义求解；
（2）设直线PA的斜率k存在，且，根据及Q在直线上，得到，再设PA：与双曲线方程联立，求得点P和点M的坐标， 设，由O，M，N和Q，， N共线得到，由，得到，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】（1）解：因为，所以．
因为当轴时，，可知．
点P到两个焦点，的距离分别为3和5．
由双曲线定义得，所以．
因此C的方程为．
（2）由题设直线PA的斜率k存在，且．
由，及Q在直线上，可得．
设PA：，．
由，得．
这个关于x的方程两根为，1．因此，．
因为，所以．
设，则，所以．
由，得．
由，得，因为，所以．
因此．
即的取值范围为．
【点睛】思路点睛：本题第二问思路是先设PA：与双曲线方程联立，求得点P，再由及Q在直线上，得到Q坐标，进而得到点M的坐标， 设，然后由O，M，N和Q，， N共线得到与的关系，进而结合两点间的距离公式而得解.
28．（2023秋·浙江·高三期末）已知点是双曲线上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点，与双曲线的右支交于点M，N，且直线经过F，求圆C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件列方程求出，即可求出双曲线的方程；
（2）讨论直线的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线的方程为，联立双曲线的方程，由韦达定理求出的中点Q的坐标以及的坐标，根据勾股定理有，代入解方程即可得出答案.
【详解】（1）由已知条件得：
双曲线方程为：．
（2）若直线的斜率不存在，则圆C的圆心不在y轴上，因此不成立．
设直线的方程为，
由消元得：
∴的中点Q的坐标为．
设，直线，得，
又，
根据勾股定理有
∴．
化简得
解得或（舍）
∴，∴圆C的方程为．
29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知是双曲线上相异的三个点，点关于原点对称，直线的斜率乘积为2.
(1)求双曲线的离心率.
(2)若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于两点，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用及点差法即可求出，据此可得椭圆离心率；
（2）分直线斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时验证可得不成立，当斜率存在时，设直线的方程为，联立双曲线方程，由根与系数的关系计算可得，据此求出，利用弦长公式求解可得.
【详解】（1）设，根据对称性，知，
所以.
因为点在双曲线上，所以，两式相减，得，
所以，所以.
（2）因为双曲线过点，所以双曲线方程：
当直线的斜率不存在时，则
直线的斜率不存在时不成立.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
又点到直线的距离，
联立，消去得，
则，
即，，
，，
，
将代入上式得，
或，即或.
直线的方程为：或
题型二 双曲线的弦长问题
策略方法 双曲线的弦长问题
①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
【典例1】（单选题）已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
2．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于，两点，则满足的直线有（ ）条
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析弦长的直线应考虑内弦长及外弦长两种情况，
即当直线的倾斜角为时，；
当直线的倾斜角为时，，即可求解.
【详解】当直线的倾斜角为时，；当直线的倾斜角为时，．
故当直线适当倾斜时，还可作出两条直线使得，
故选：B．
3．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】解法一，设直线方程与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，求直线的斜率，并代入弦长公式求；解法二，利用点差法，求直线的斜率，再代入弦长公式.
【详解】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，或用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.
4．已知双曲线C：的焦距为4，左右焦点分别为、，过 的直线与C的左右两支分别交于于A、B两点，且与两渐近线分别交于C、D两点．若线段CD的中点坐标为（1,3），则的面积为
A．B．C．6D．4
【答案】A
【分析】先求直线AB方程，再求直线AB与渐近线交点，根据线段CD的中点坐标为（1,3），得关系，根据焦距为4，解得，最后联立直线AB与双曲线方程，根据弦长公式得AB长，根据点到直线距离公式得的高，根据三角形面积公式得结果.
【详解】因为双曲线C：的焦距为4，所以、，因此直线AB方程为，与渐近线方程联立解得C、D两点纵坐标为，
由得
，点到直线AB距离为，
所以的面积为，选A.
【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长.
5．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出焦点坐标，利用面积比得是线段的中点，设，则可得点坐标，由在另一渐近线上求得值，从而可得线段长．
【详解】解：双曲线中，，所以，设，
因为，所以点为线段的中点，则．
又点在直线，则，解得，所以，
此时，．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的几何性质，渐近线方程，焦点坐标等等．解题关键是由面积比得出点为线段的中点，这样设出一个点的坐标，由另一点在另一渐近线上，求得（或）坐标，从而易得线段长．
6．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C
7．在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线，分别交的两条渐近线于两点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为；
②直线的方程为；
③直线截双曲线所得弦长为3；
④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由渐近线方程可得的值，从而即得双曲线的离心率判断①；由点在双曲线上和渐近线方程得的值，从而得的值，利用点斜式即可解决②；联立直线与双曲线的方程解出点，然后利用弦长公式即可知③；联立直线与渐近线方程得出的坐标，利用向量坐标公式即可得的值，从而判断④.
【详解】由题意双曲线的渐近线的方程为，
焦点在轴上，所以，
所以双曲线的离心率为：，
故①正确；
因为点在双曲线上，
所以，联立，
解得：，所以，
所以，所以过点作斜率为的直线为：
，
故②不正确；
由上述可知双曲线，联立，
消去整理得：，
解得：，
所以直线截双曲线所得弦长为：，
故③正确；
由双曲线的渐近线方程为：，
由，解得点，
由，解得点，
所以，
故④正确，
故选：C.
8．已知曲线：，过它的右焦点作直线交曲线于、两点，弦的垂直平分线交轴于点，可证明是一个定值，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出直线的方程：，将直线与双曲线联立，利用弦长公式求出，再由韦达定理求出、两点的中点坐标，进而得出的垂直平分线，求出点得出即可求解.
【详解】，即，
设直线方程：，且，，
，，
，
，，
弦的中点为，
即垂直平分线：，
令，可得，
，
所以.
故选：A
二、多选题
9．已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.
【详解】若直线与C的两支交于顶点A、B，则，
若直线与C的一支交于A，B两点，则通径最短，，
由题意得，解得，
则C的方程为，
把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．
故选：ACD．
10．如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设，若，则，
，即，可得，
若且，则，可得，故，
所以，直线为，即，而渐近线为，
所以，，则，
又，可得（舍）或，故，
所以，即，A正确；而，B错误；
令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，
而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；
由到的距离为，到的距离为，
所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.
故选：AD
三、填空题
11．过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
【答案】
【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，
所以．
故答案为：
【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．
12．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，若，则的周长为 ．
【答案】18
【分析】根据题意设直线的方程，利用弦长公式求得，再结合双曲线的定义运算求解.
【详解】由题意可得：焦点在x轴上，，
则双曲线C：，渐近线，
不妨设直线，
联立方程，消去y得，
则，
可得，解得，
可得，
由双曲线的定义可得，
则，
可得，
所以的周长.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
13．已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，离心率为，过作渐近线的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若，则的周长为 .
【答案】18
【分析】根据离心率求出a,b关系，用m表示双曲线方程，设直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长求出m，然后利用双曲线定义即可求解
【详解】因为，所以，所以，
则渐近线，不妨设，，，
则双曲线的方程，
设，，所以AB：，
联立，得，
所以，，
所以，所以，
所以，
所以，所以，所以.
故答案为：18.
14．已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】记，分析可知双曲线的实轴长和通径长不可能同时为，可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程由四个不等的实数解，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】记，若直线与轴重合，此时，；
若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，
当时，则，此时，；当，可得，则，
所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；
当直线与轴不重合时，记，则点，
设直线的方程为，其中，设点、，
联立可得，
由题意可得，可得，
，
由韦达定理可得，，
所以，
，即，
所以，关于的方程由四个不等的实数解.
当时，即当时，可得，
可得，整理可得，因为，解得；
当时，即当，可得，
可得，整理可得，可得.
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
四、解答题
15．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；
【详解】（1）解：抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）解：依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
16．已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据题意结合斜率公式求解即可；
（2）显然直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的值，再求出和到直线的距离即可求解.
【详解】（1）设点的坐标为，
因为，，所以，
化简得：
所以的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，
解得或（舍去），
所以直线为，
所以，
所以，
点到直线的距离，
所以.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据，，以及，求解即可；
（2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.
【详解】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
18．已知双曲线过点和点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过的直线与双曲线交于，两点，过双曲线的右焦点且与平行的直线交双曲线于，两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定值为．
【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程， 进而由离心率公式即可求解.
（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解，即可代入化简求解.
【详解】（1）将点和点的坐标代入，
得，解得
所以双曲线的离心率．
（2）依题意可得直线的斜率存在，设：．
联立得，
设，，则，，
所以．
，直线：．设，．
联立得，
则且，
则
，
所以，所以为定值，定值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19．已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.
【答案】(1)，双曲线
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意消去后求解，
（2）由条件设出和方程，与双曲线方程联立后由弦长公式求解后证明．
【详解】（1）由题意知，故，所以E的方程为.
由方程得，，所以E是以，为焦点，实轴长为的等轴双曲线.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，则AB为通径，故；
为x轴，此时为实轴长，故，所以.
当直线不垂直x轴，设：，：，，
与E联立方程，消去x并整理得，
因为与E交于两点，故，此时，
所以，
同理，所以.

20．已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且.
(1)求双曲线及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，求出，再由双曲线的定义求出，即可得出方程；
（2）设出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理及弦长公式求出，
再联立直线与渐近线方程得出的横坐标，再由弦长公式求出，再由即可得解.
【详解】（1）由题意知，，即，
由轴，可知，代入双曲线方程可得，
又，即，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知，，所以，
设直线方程为 ，，，，，
由，可得，
，，
，
由可知双曲线的渐近线方程为和，
联立可得，同理可得
由可得，，
化简可得，即，
整理得，，解得.
21．已知双曲线：（，）的左、右焦点为，，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左顶点为，过点的直线与双曲线交于，两点，连接，分别交于轴于点，，且，求直线的方程及的面积．
【答案】(1)
(2)直线的方程为；的面积为.
【分析】（1）由题意可得，再由到双曲线一条渐近线的距离可得，进而得到双曲线方程；
（2）设直线，把直线方程带入双曲线方程整理可得：
，求得方程，求得两点坐标，再由，求出，即可求出直线的方程，最后由三角形面积公式求出的面积.
【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点为，，
所以，双曲线：的渐近线为，因为，
所以到双曲线一条渐近线的距离为：,
则，所以双曲线：.
（2）证明：由题意可得，
设直线，
由，消去，整理得：，
，
可得，
，
设直线方程，可得，
设直线，可得，
所以，
因为
所以
，
又
所以，
所以，即，
所以直线的方程为：.
则.
22．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得，结合过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为，可得的值，即可得双曲线方程；
（2）根据直线与双曲线相交，联立直线与双曲线，即可得交点坐标关系以及的取值范围，由，分别求得与的表达式，可得与的关系式，即可得实数的取值范围.
【详解】（1）解：如图，其中，
双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以
则，由题知，所以
则，解得
所以双曲线C的方程为.
（2）解：
设，
则
所以，则，且
所以
设，由得，同理，
所以，
所以，其中，，
因为，故的取值范围是
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得；
（2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围；
【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线，
所以，设双曲线的焦距为2c，，
故，即．
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将代入，可得，故．
将的面积为，
所以，即，
所以，，故双曲线E的方程为．
（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，
联立方程组消去y可得，，
所以解得，且
所以
．
联立方程组得，同理，
所以．
所以，其中，
所以．
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
24． 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由通径长、离心率列方程组求得得双曲线方程；
（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得的范围，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再求得的坐标得线段长，然后计算比值，由的范围各结论．
【详解】（1）由题可知，，解得，所以双曲线的标准方程为；
（2）由题可知，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，
联立消去，得，
所以，解得，
且，
所以
.
联立可得，同理可得，
所以，
所以，
其中，则，所以.
【点睛】方法点睛：直线与双曲线相交弦长问题，一般由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，再由弦长公式得弦长，不需要求得两交点的具体坐标．
25．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件的所有直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用点在双曲线上和点到渐近线的距离等于2得到关于、的方程组，进而求得标准方程；
（2）先分析直线l不存在斜率时的情形，再设出直线l方程，联立直线和双曲线方程，得到关于的一元二次方程，利用直线l与双曲线C的右支相交于两点得到斜率的取值范围，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形外心的几何性质进行求解.
【详解】（1）解：由在双曲线C上，得，
由TP垂直x轴于点P，得，
则由到双曲线C的渐近线的距离为2，
得，得，
联立和，
解得，，
即双曲线C的标准方程为.
（2）解：由题意，，
当直线无斜率时，直线方程为，则、，
则为等腰三角形，若的外接圆的圆心Q在y轴上，
则，而，，，
不符合题意（舍）；
当直线存在斜率时，设直线方程为，
联立，得，
即
设直线l与双曲线C的右支相交于、，
则，
解得，即或；
则，，
从而，
则线段AB的中点，
且.
由题意设，
易知Q在线段AB的垂直平分线上，因此，
得，即，
连接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，则，
化简得，得（舍去），
因此直线l的方程为，
即或.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：
一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化，
如本题中将是的外心转化为且；
二是设而不求，其主要思路是：要先设出直线方程，与圆锥曲线联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求解，通常情况下设直线方程要注意直线斜率不存在的情况.
题型三 双曲线的中点弦问题
策略方法 双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
【典例1】（单选题）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.
【详解】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段AB存在，
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.
【详解】设代入双曲线方程作差有:
，
有，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设，，则，
两式相减得，
即，
∴.
故选D.
3．（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
6．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得.
【详解】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围.
【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且，
设点为的中点，因为为的重心，所以，
即，解得，即，
因为直线与的右支交于两点，则满足，
整理得，解得或（舍去），
当离心率为时，即时，可得，此时，
设，可得，
又由，两式相减可得，
即直线的斜率为，
又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.
故选：A.
【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.
【详解】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率.
【详解】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.
10．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．bC．离心率D．b>a
【答案】CD
【分析】根据M（1，1）是AB的中点，且斜率为2，利用点差法求解.
【详解】解：设，
则，
两式相减得，
化简得，
因为M（1，1）是AB的中点，
所以，即，
所以，渐近线方程为，离心率为，
故选：CD
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（ ）
A．若且直线l的斜率存在，直线l的方程为
B．若，直线l的斜率为1
C．若离心率，
D．若直线l的斜率不存在，
【答案】BCD
【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A，利用A选项的求解可判断B，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C，根据顶点和渐近线方程可求解D.
【详解】由题意，双曲线.
对于A，若，则，即.
设，，则，，
利用点差法可得，
所以直线l的方程为，即，
所以，即，故A错误；
对于B，若，可得,则，由前面解答过程可知直线l的斜率为，即B正确；
对于C，若离心率，可得.则双曲线，其渐近线方程为，
设，，
直线，令，
则，由A知方程为，
联立方程可得，同理可得，
所以，故C正确；
对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以，
双曲线的渐近线方程为，当时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
13．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，下列命题正确的有（ ）
A．
B．当点为线段的中点时，直线的斜率为
C．若，则
D．
【答案】BC
【分析】根据渐近线斜率结合图象可判断A，利用点差法可求直线斜率判断B，根据直线的斜率及二倍角的正切公式可判断C，计算和可判断D.
【详解】如图，
由可知，双曲线的渐近线方程为，
由图可知，当过点直线的斜率满足时，直线与双曲线左右两支各交于一点，故A错误；
设，，分别代入双曲线方程，两式相减可得：
，点为线段的中点，
所以，化简得，故B正确；
，，，，
，，
又，，，故C正确；
由题意，其中，代入双曲线方程可得，
，，
，，
，故D错误.
故选：BC
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，其上、下焦点分别为，，为坐标原点．过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于，两点，且点为中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若轴，则．
B．若点的坐标为，则直线的斜率为
C．直线的方程为．
D．若双曲线的离心率为，则三角形的面积为2．
【答案】ACD
【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.
【详解】若轴，则直线过双曲线的顶点，，
双曲线的渐近线方程为，易得，两点的横坐标为 ，
∴，即A正确；
若点的坐标为，则，
易得双曲线渐近线方程为，设，
利用点差法：，
两式作差可得，，即
∴，即B错误；
若，利用点差法同样可得，
∴直线的方程为
即，
∴，故C正确；
若双曲线的离心率为，则双曲线方程为，
∴渐近线方程为，设，
∴ ，
联立方程 可得 ，
同理可得，
∴，
故D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：（1）涉及中点问题，可以利用点差法来简化运算；
（2）三角形面积的表示，设，则.
三、填空题
15．（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是 .
【答案】
【分析】由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.
【详解】设，
为中点 ，
由两式作差可得：
直线斜率
直线方程为：，即
故答案为
【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.
16．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是 .
【答案】
【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.
17．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
故答案为：
18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算.
【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：.
直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾；
直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾.
故直线斜率存在且非零.
设直线方程为，联立，得到，由.
设，由题意，，即，的纵坐标为，即.
根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支.
由，得到，显然满足判别式条件：.
由，于是
故答案为：
19．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据得为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解.
【详解】设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，故 或，
由在双曲线渐近线上，所以，
进而，
当时，,，所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为，
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可．
【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
四、解答题
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理可得到结果；
（2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知，由此可知直线m不存在．
【详解】（1）设，
∵，，
∴，整理得
即点M的轨迹C的方程．
（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设
则，两式相减得
整理可
∵N是线段的中点，即，
故直线m的方程为，即，
将直线方程代入双曲线方程可得
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
23．（2023·全国·高三专题练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解；
（2）先假设点P能为线段的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.
【详解】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是
则
等式两边平方可得：
化简得曲线C的方程为：
（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：
由（1）知，曲线C的方程为：
过点的直线斜率为，，
因为过点的直线与曲线C相交于两点，
所以，两式作差并化简得：①
当为的中点时，则，②
将②代入①可得：
此时过点的直线方程为：
将直线方程与曲线C方程联立得：
，
，无解
与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾
所以点不能为线段的中点
【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；
（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.
【详解】（1）设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组得，其 ，
说明所求直线存在，
故直线的方程为.
（2）假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，
设该直线与双曲线交于C,D两点，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
又因为为弦的中点,故 ，所以，
所以直线的方程为，即，
由方程组 ,得 ，
根据 ，说明所求直线不存在,
故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程；
（2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比
【详解】（1）依题意可知，设，，
则两式作差可得，
即，又当时，直线的斜率为1，
所以．又，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）联立直线与双曲线方程，得
消去整理得，则，，
则所以，，所以．
又因为直线与垂直，所以用替换，得到．
当，即时，直线的方程为，直线过点．
当且，时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线过点．
综上，直线恒过点．
所以与的面积之比为．
26．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)直线l过定点(，0)
【分析】（1）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根据M为PQ的中点，利用点差法求解；
（2）根据＝，得到APQ是以A为直角顶点的直角三角形，则AP⊥AQ，然后直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在时，将直线方程y＝kx＋m，与双曲线方程－＝1联立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0结合韦达定理求解.
【详解】（1）解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，
因为P、Q在双曲线上，
所以－＝1，－＝1，
两式作差得－＝0，
即＝，
即＝，
即k1·k2＝；
（2）因为＝，
所以APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即AP⊥AQ；
①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，
由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，
即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，
得t＝或a(舍)，
故直线l的方程为x＝；
②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，代入－＝1，
得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，
Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－；
因为AP⊥AQ，
所以·＝0，
即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，
即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，
即＝0，
即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，
即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，
所以k＝－或k＝－；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－x＋m，此时经过A，舍去；
当k＝－时，直线l的方程为y＝－ x＋m，
恒过定点(，0)，经检验满足题意；
综上①②，直线l过定点(，0)．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两条渐近线方程为，直线l交C于A，B两点.
(1)若线段AB的中点为，求l的方程；
(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为，求C的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求得直线的方程.
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得，从而求得的方程.
【详解】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为，
所以.
设，
则，
两式相减并化简得，
由于线段的中点为，
所以，
所以直线的方程为.
（2）结合（1）可知双曲线的方程为，
当直线的斜率不存在时，
由于到的距离为，所以直线的方程为，
不妨设直线的方程为，
由于以线段为直径的圆过坐标原点，
结合对称性可知点在双曲线上，
所以，
所以双曲线的方程为.
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
到的距离为①.
由消去并化简得②，
，
，
.
由于以线段为直径的圆过坐标原点，
所以，
，
，，
，
由①得，
将代入②得，
.
所以，双曲线方程为.
综上所述，双曲线方程为.
28．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，其中或
(2)存在，
【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，
则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；
（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.
【详解】（1）设，，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且．
由韦达定理，得．
所以，．
由消去k，得．
由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或．
（2）双曲线E的渐近线方程为．
设，，联立得，同理可得，
因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．
即，．
而，．
所以，，解得，
所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．①直线与双曲线的位置关系
②双曲线的弦长问题
③双曲线的中点弦问题