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新高考数学一轮复习讲义 第51讲 二项式定理（2份打包，原卷版+含解析）
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这是一份新高考数学一轮复习讲义 第51讲 二项式定理（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第51讲二项式定理原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第51讲二项式定理含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有： SKIPIF 1 < 0 ，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的 SKIPIF 1 < 0 做二项展开式的通项，用 SKIPIF 1 < 0 表示，即通项为展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项： SKIPIF 1 < 0 ，
其中的系数 SKIPIF 1 < 0 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2.二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的特点：
①项数：共有 SKIPIF 1 < 0 项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 ．字母 SKIPIF 1 < 0 降幂排列，次数由 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ；字母 SKIPIF 1 < 0 升幂排列，次
数从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，每一项中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 次数和均为 SKIPIF 1 < 0 ；
④项的系数：二项式系数依次是 SKIPIF 1 < 0 ，项的系数是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的系数（包括二项式系
数）．
3.两个常用的二项展开式：
①（）
②
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
公式特点：①它表示二项展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项，该项的二项式系数是；
②字母 SKIPIF 1 < 0 的次数和组合数的上标相同；
③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的次数之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：①二项式 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的第r+1项和 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是不能随便交换位置的．
②通项是针对在 SKIPIF 1 < 0 这个标准形式下而言的，如 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项是（只需把 SKIPIF 1 < 0 看成 SKIPIF 1 < 0 代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1.二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令 SKIPIF 1 < 0 ，则二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，变形式 SKIPIF 1 < 0 ．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得到： SKIPIF 1 < 0 ．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是偶数，则中间一项 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 最大；
如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是奇数，则中间两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相等且最大．
2.系数的最大项
求 SKIPIF 1 < 0 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，设第 SKIPIF 1 < 0 项系数最大，应有 SKIPIF 1 < 0 ，从而解出 SKIPIF 1 < 0 来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值．
①令，可得：
②令 SKIPIF 1 < 0 ，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则
①常数项：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
②各项系数和：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：常见的赋值为令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【常用结论】
奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，奇数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ；
偶数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
（可简记为： SKIPIF 1 < 0 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，奇数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ；
偶数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
（可简记为： SKIPIF 1 < 0 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得．
二、题型分类精讲
题型一 二项展开式中的特定项问题
策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（单选题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．-2C．8D．-8
【答案】B
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 得到常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例2】（单选题）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含x项的系数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含x项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第四项为（ ）
A．160B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
第四项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2． SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
【答案】B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：B.
3． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．40B． SKIPIF 1 < 0 C．80D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是672，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【答案】C
【分析】写出二项式通项 SKIPIF 1 < 0 ，整理后让 SKIPIF 1 < 0 的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 的值，再根据题意常数项的系数列出等式方程即可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴常数项是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
5．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二项式展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
6．若 SKIPIF 1 < 0 展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
【答案】A
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是126，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．1D．3
【答案】C
【分析】求出展开式通项，令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案.
【详解】展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的系数是126，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
二、填空题
8．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：240
9． SKIPIF 1 < 0 的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】960
【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 展开式的第8项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的展开式的第8项的系数为960.
故答案为：960
10．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．若在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第4项是常数项，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】12
【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案
【详解】设展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又展开式中第4项是常数项，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为：12
12．设常数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为144，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】利用公式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 即可求值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合二项展开式通项，根据 SKIPIF 1 < 0 的系数可构造方程求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型二 二项式系数问题
策略方法
二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 展开式中的各二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二项式的系数和可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解之即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式中的各二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（单选题）．若 SKIPIF 1 < 0 二项展开式中的各项的二项式系数只有第 SKIPIF 1 < 0 项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据二项式系数的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再写出展开式的通项，即可求出常数项.
【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第 SKIPIF 1 < 0 项最大，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160B．240C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
即展开式的第4项，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
2．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】分析可知，二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数最大，
则二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】根据二项展开式可知 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可知二项式系数最大为 SKIPIF 1 < 0 ，即为第6项.
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由二项式系数性质可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因此展开式中二项式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，是第6项.
故选：C
6．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
【答案】B
【分析】易知展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用组合数的性质求解.
【详解】解：因为二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、填空题
7．若 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式系数和得到 SKIPIF 1 < 0 ，再计算第三项的二项式系数即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
展开式中第三项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．
【详解】由题意知：通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为第六项，
第六项的二项式系数为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10． SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大的项是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式系数的性质即可知 SKIPIF 1 < 0 最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式有7项，其二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，由组合数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
其展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】14或23
【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：14或23
题型三 二项展开式中各项系数的和问题
策略方法
常用赋值法，参考题型六
【典例1】（单选题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数之和为256，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】由二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数之和为256，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，则其展开式各项系数之和为（ ）
A．1B．32C．0D．64
【答案】C
【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，则就出参数 SKIPIF 1 < 0 ，则赋值给 SKIPIF 1 < 0 即可求出展开式各项系数之和.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，
此时常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其展开式各项系数之和为0，
故选：C.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ）
A．－756B．756C．－2268D．2268
【答案】D
【分析】利用赋值法结合条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用展开式的通项根据结合条件即得.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得展开式中所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中的常数项为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．28B．-28C．45D．-45
【答案】A
【分析】根据展开式各项系数之和可得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可得展开式的通项，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为0
所以令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，第 SKIPIF 1 < 0 项与第 SKIPIF 1 < 0 项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得 SKIPIF 1 < 0 的展开通项，从而利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的系数相等得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由此得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开通项为 SKIPIF 1 < 0
又因为第 SKIPIF 1 < 0 项与第 SKIPIF 1 < 0 项的系数相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由二项式系数的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中所有项的系数之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、填空题
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则二项式系数之和为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，结合二项式 SKIPIF 1 < 0 各项系数和可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得该二项式系数之和.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
【答案】16
【分析】由二项式系数的性质可求 SKIPIF 1 < 0 ，再利用赋值法求各项系数和.
【详解】因为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，所有二项式系数的和是16，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 可得二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，即16.
故答案为：16.
7．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
【答案】80
【分析】根据题意，由各项系数之和可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式第 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】10
【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出 SKIPIF 1 < 0 ，用通项公式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的各项系数和为32，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：10
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 SKIPIF 1 < 0 ，则二项展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】由已知求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：240
10．在 SKIPIF 1 < 0 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729
【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的各项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则各项的系数的绝对值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 中各项的系数的和，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即各项的系数的绝对值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：729
题型四 三项展开式的问题
策略方法
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．80B．60C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用二项式的通项即可得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则其展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
【答案】B
【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由二项式定理可知， SKIPIF 1 < 0 展示式中共有 SKIPIF 1 < 0 项，
∴ SKIPIF 1 < 0 的展开式共有 SKIPIF 1 < 0 项.
故选：B．
2．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，化简后即可求解.
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
3． SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．588B．589C．798D．799
【答案】B
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 SKIPIF 1 < 0 各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 SKIPIF 1 < 0 中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个 SKIPIF 1 < 0 ，1个 SKIPIF 1 < 0 ，5个1；③4个 SKIPIF 1 < 0 ，2个 SKIPIF 1 < 0 ，2个1；
所以展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．60C． SKIPIF 1 < 0 D．30
【答案】A
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，根据二项式定理求出含 SKIPIF 1 < 0 的项，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 展开式的各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．270B． SKIPIF 1 < 0 C．330D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 . 再根据二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为只有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 展开式中有含 SKIPIF 1 < 0 的项，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二项式定理可分别得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项，令 SKIPIF 1 < 0 即可讨论得到 SKIPIF 1 < 0 的取值，结合展开式通项，利用 SKIPIF 1 < 0 的系数构造方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为12，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数可以看成：6个因式 SKIPIF 1 < 0 中选取5个因式提供 SKIPIF 1 < 0 ，
余下一个因式中提供 SKIPIF 1 < 0 或者6个因式 SKIPIF 1 < 0 中选取4个因式提供 SKIPIF 1 < 0 ，余下两个因式中均提供 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
二、填空题
8． SKIPIF 1 < 0 展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由二项式定理求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是3，∴得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是2，得到 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】原多项式中写出含 SKIPIF 1 < 0 的项，然后再从 SKIPIF 1 < 0 中写出含 SKIPIF 1 < 0 的项，即可得含 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】由含 SKIPIF 1 < 0 的项中对应 SKIPIF 1 < 0 的指数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以含 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10． SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项有以下两类：
第一类：4个因式中有1个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余3个都取到2，即 SKIPIF 1 < 0
第二类：4个因式中有2个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余2个都取到2，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11． SKIPIF 1 < 0 展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式展开式的通项化简得常数项满足 SKIPIF 1 < 0 ，即可代入求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】 SKIPIF 1 < 0 表示有5个 SKIPIF 1 < 0 因式相乘，根据 SKIPIF 1 < 0 的来源分析即可求出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示有5个 SKIPIF 1 < 0 因式相乘， SKIPIF 1 < 0 来源如下：
有1个 SKIPIF 1 < 0 提供 SKIPIF 1 < 0 ，有3个 SKIPIF 1 < 0 提供 SKIPIF 1 < 0 ，有1个 SKIPIF 1 < 0 提供常数，
此时 SKIPIF 1 < 0 系数是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】220
【分析】根据给定条件，分析展开式中 SKIPIF 1 < 0 项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的最高指数小于12，而 SKIPIF 1 < 0 的指数小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的指数是负整数，要得到 SKIPIF 1 < 0 项，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：220
题型五 两个二项式乘积展开式的系数
策略方法
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A．10B．12C．4D．5
【答案】A
【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．200B．40C．120D．80
【答案】B
【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2． SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则该展开式中常数项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 代入计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项，分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得到常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．已知 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为48，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
4． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．1872B．792C．495D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项，先计算 SKIPIF 1 < 0 中含 SKIPIF 1 < 0 的项和常数项，再分别和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相乘即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的通项为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为（ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．10
【答案】A
【分析】根据上四分位数的计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，分别求解两项中的常数项求和即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故取数据从小到大第5个数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为80，则a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 的展开式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
对于 SKIPIF 1 < 0 的展开式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，该方程组无解，
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中没有 SKIPIF 1 < 0 项；
又∵ SKIPIF 1 < 0 的系数为80，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．18B．135C．540D．1215
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中没有 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为540.
故选：C.
8． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、填空题
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】240
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：240
10．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为240，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】3
【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3
12．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为240，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】30
【分析】根据二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出指定项的系数得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意），
因此 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：30
13．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根据系数和公式求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项展开式的通项公式求 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 不含有 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14． SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 .
【答案】5
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得 SKIPIF 1 < 0 展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数，结合多项式相乘，即可求得答案.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 展开式中的 SKIPIF 1 < 0 相乘出现 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5
15．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型六 赋值法
策略方法
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．41B．40C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．41B．40C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．-1C．15D．-15
【答案】A
【分析】采用赋值法，即令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．257B．129C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，相减即得结论．
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求 SKIPIF 1 < 0 ，据此可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
7．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的奇数次幂项的系数之和为64，则含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．28C． SKIPIF 1 < 0 D．35
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，然后代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可整理得奇数次幂项的系数之和，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,
则令 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②可整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ,其系数为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为25，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的偶次方的系数和为（ ）
A．16B．32C．24D．48
【答案】D
【分析】应用二项式定理确定展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列描述正确的是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 除以5所得的余数是1
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】对于A：令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，因此A错误；
对于B：
SKIPIF 1 < 0 ，因此B正确
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 二项展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由通项公式知， SKIPIF 1 < 0 二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对 SKIPIF 1 < 0 求导，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0
所以选项D错误．
故选：B
二、填空题
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】5
【分析】利用赋值法求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5.
12．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：15.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】720
【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二项式展开式求特定项即可.
【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的项为： SKIPIF 1 < 0 ，
则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为：720.
故答案为：720.
14．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .（用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案： SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】24
【分析】利用赋值法进行求解即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 ②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .（用数字作答）
【答案】33
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ,再减去 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ;
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ①;
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ②;
①+②得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
17．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所得式子作和即可整理得到结果.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
两式作和得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
18．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】1
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，展开式中令 SKIPIF 1 < 0 和令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：1
19．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】赋值法求系数和及 SKIPIF 1 < 0 ，进而求目标式的值.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ①二项展开式中的特定项问题
②二项式系数问题
③二项展开式中各项系数的和问题
④三项展开式的问题
⑤两个二项式乘积展开式的系数
⑥赋值法
一、知识点梳理
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有： SKIPIF 1 < 0 ，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的 SKIPIF 1 < 0 做二项展开式的通项，用 SKIPIF 1 < 0 表示，即通项为展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项： SKIPIF 1 < 0 ，
其中的系数 SKIPIF 1 < 0 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2.二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的特点：
①项数：共有 SKIPIF 1 < 0 项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 ．字母 SKIPIF 1 < 0 降幂排列，次数由 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ；字母 SKIPIF 1 < 0 升幂排列，次
数从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，每一项中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 次数和均为 SKIPIF 1 < 0 ；
④项的系数：二项式系数依次是 SKIPIF 1 < 0 ，项的系数是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的系数（包括二项式系
数）．
3.两个常用的二项展开式：
①（）
②
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
公式特点：①它表示二项展开式的第 SKIPIF 1 < 0 项，该项的二项式系数是；
②字母 SKIPIF 1 < 0 的次数和组合数的上标相同；
③ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的次数之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：①二项式 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的第r+1项和 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是不能随便交换位置的．
②通项是针对在 SKIPIF 1 < 0 这个标准形式下而言的，如 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项是（只需把 SKIPIF 1 < 0 看成 SKIPIF 1 < 0 代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1.二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 SKIPIF 1 < 0 ．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令 SKIPIF 1 < 0 ，则二项式系数的和为 SKIPIF 1 < 0 ，变形式 SKIPIF 1 < 0 ．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而得到： SKIPIF 1 < 0 ．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是偶数，则中间一项 SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 最大；
如果二项式的幂指数 SKIPIF 1 < 0 是奇数，则中间两项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相等且最大．
2.系数的最大项
求 SKIPIF 1 < 0 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，设第 SKIPIF 1 < 0 项系数最大，应有 SKIPIF 1 < 0 ，从而解出 SKIPIF 1 < 0 来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值．
①令，可得：
②令 SKIPIF 1 < 0 ，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则
①常数项：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
②各项系数和：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
注意：常见的赋值为令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【常用结论】
奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，奇数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ；
偶数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
（可简记为： SKIPIF 1 < 0 为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，奇数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ；
偶数项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ．
（可简记为： SKIPIF 1 < 0 为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得．
二、题型分类精讲
题型一 二项展开式中的特定项问题
策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（单选题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．-2C．8D．-8
【答案】B
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 得到常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【典例2】（单选题）二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含x项的系数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
则二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式中含x项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第四项为（ ）
A．160B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
第四项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2． SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
【答案】B
【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：B.
3． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．40B． SKIPIF 1 < 0 C．80D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是672，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【答案】C
【分析】写出二项式通项 SKIPIF 1 < 0 ，整理后让 SKIPIF 1 < 0 的次数为 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 的值，再根据题意常数项的系数列出等式方程即可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴常数项是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
5．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二项式展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
6．若 SKIPIF 1 < 0 展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
【答案】A
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是126，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．4C．1D．3
【答案】C
【分析】求出展开式通项，令 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案.
【详解】展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的系数是126，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
二、填空题
8．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：240
9． SKIPIF 1 < 0 的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
【答案】960
【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 展开式的第8项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的展开式的第8项的系数为960.
故答案为：960
10．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，所以二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．若在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，第4项是常数项，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】12
【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案
【详解】设展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又展开式中第4项是常数项，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为：12
12．设常数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为144，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】利用公式 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 即可求值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合二项展开式通项，根据 SKIPIF 1 < 0 的系数可构造方程求得结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型二 二项式系数问题
策略方法
二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 展开式中的各二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二项式的系数和可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，解之即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式中的各二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（单选题）．若 SKIPIF 1 < 0 二项展开式中的各项的二项式系数只有第 SKIPIF 1 < 0 项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据二项式系数的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再写出展开式的通项，即可求出常数项.
【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第 SKIPIF 1 < 0 项最大，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即展开式中常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160B．240C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据二项式系数的性质求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大为 SKIPIF 1 < 0 ，
即展开式的第4项，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
2．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数最大，则 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】分析可知，二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中仅有第 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数最大，
则二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
4．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】根据二项展开式可知 SKIPIF 1 < 0 ，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，即可知二项式系数最大为 SKIPIF 1 < 0 ，即为第6项.
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由二项式系数性质可得 SKIPIF 1 < 0 ；
因此展开式中二项式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，是第6项.
故选：C
6．二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
【答案】B
【分析】易知展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用组合数的性质求解.
【详解】解：因为二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
二、填空题
7．若 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式系数和得到 SKIPIF 1 < 0 ，再计算第三项的二项式系数即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
展开式中第三项的二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
8．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 展开式中第 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的二项式系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．
【详解】由题意知：通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为第六项，
第六项的二项式系数为： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10． SKIPIF 1 < 0 的展开式中二项式系数最大的项是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式系数的性质即可知 SKIPIF 1 < 0 最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式有7项，其二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，由组合数的性质可知 SKIPIF 1 < 0 最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，结合展开式的通项，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即二项式为 SKIPIF 1 < 0 ，
其展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】14或23
【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：14或23
题型三 二项展开式中各项系数的和问题
策略方法
常用赋值法，参考题型六
【典例1】（单选题）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数之和为256，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】由二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数之和为256，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，则其展开式各项系数之和为（ ）
A．1B．32C．0D．64
【答案】C
【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，则就出参数 SKIPIF 1 < 0 ，则赋值给 SKIPIF 1 < 0 即可求出展开式各项系数之和.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中常数项等于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，
此时常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，其展开式各项系数之和为0，
故选：C.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ）
A．－756B．756C．－2268D．2268
【答案】D
【分析】利用赋值法结合条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用展开式的通项根据结合条件即得.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得展开式中所有项的系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中的常数项为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为0，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．28B．-28C．45D．-45
【答案】A
【分析】根据展开式各项系数之和可得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可得展开式的通项，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为0
所以令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，第 SKIPIF 1 < 0 项与第 SKIPIF 1 < 0 项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得 SKIPIF 1 < 0 的展开通项，从而利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的系数相等得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，进而求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由此得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开通项为 SKIPIF 1 < 0
又因为第 SKIPIF 1 < 0 项与第 SKIPIF 1 < 0 项的系数相等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由二项式系数的性质知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中所有项的系数之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、填空题
5．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则二项式系数之和为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，结合二项式 SKIPIF 1 < 0 各项系数和可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可求得该二项式系数之和.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
6．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
【答案】16
【分析】由二项式系数的性质可求 SKIPIF 1 < 0 ，再利用赋值法求各项系数和.
【详解】因为二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，所有二项式系数的和是16，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 可得二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，即16.
故答案为：16.
7．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
【答案】80
【分析】根据题意，由各项系数之和可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.
【详解】由题意，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的展开式第 SKIPIF 1 < 0 项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】10
【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出 SKIPIF 1 < 0 ，用通项公式求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的各项系数和为32，
令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：10
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 SKIPIF 1 < 0 ，则二项展开式中的常数项为 .
【答案】240
【分析】由已知求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，各项系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故展开式的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：240
10．在 SKIPIF 1 < 0 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729
【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的各项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
则各项的系数的绝对值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 中各项的系数的和，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即各项的系数的绝对值之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：729
题型四 三项展开式的问题
策略方法
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．80B．60C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用二项式的通项即可得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则其展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
【答案】B
【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
由二项式定理可知， SKIPIF 1 < 0 展示式中共有 SKIPIF 1 < 0 项，
∴ SKIPIF 1 < 0 的展开式共有 SKIPIF 1 < 0 项.
故选：B．
2．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】D
【分析】根据题意， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，化简后即可求解.
【详解】根据题意， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
3． SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为（ ）
A．588B．589C．798D．799
【答案】B
【分析】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 SKIPIF 1 < 0 各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 SKIPIF 1 < 0 中各取一个相乘而得，
若得到常数项，则有：①8个1；②2个 SKIPIF 1 < 0 ，1个 SKIPIF 1 < 0 ，5个1；③4个 SKIPIF 1 < 0 ，2个 SKIPIF 1 < 0 ，2个1；
所以展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．60C． SKIPIF 1 < 0 D．30
【答案】A
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，根据二项式定理求出含 SKIPIF 1 < 0 的项，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．已知 SKIPIF 1 < 0 展开式的各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．270B． SKIPIF 1 < 0 C．330D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 . 再根据二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为只有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 展开式中有含 SKIPIF 1 < 0 的项，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用二项式定理可分别得到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项，令 SKIPIF 1 < 0 即可讨论得到 SKIPIF 1 < 0 的取值，结合展开式通项，利用 SKIPIF 1 < 0 的系数构造方程即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为12，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数可以看成：6个因式 SKIPIF 1 < 0 中选取5个因式提供 SKIPIF 1 < 0 ，
余下一个因式中提供 SKIPIF 1 < 0 或者6个因式 SKIPIF 1 < 0 中选取4个因式提供 SKIPIF 1 < 0 ，余下两个因式中均提供 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
二、填空题
8． SKIPIF 1 < 0 展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由二项式定理求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是3，∴得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的指数是2，得到 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】原多项式中写出含 SKIPIF 1 < 0 的项，然后再从 SKIPIF 1 < 0 中写出含 SKIPIF 1 < 0 的项，即可得含 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】由含 SKIPIF 1 < 0 的项中对应 SKIPIF 1 < 0 的指数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以含 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
10． SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，含 SKIPIF 1 < 0 的项有以下两类：
第一类：4个因式中有1个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余3个都取到2，即 SKIPIF 1 < 0
第二类：4个因式中有2个取到 SKIPIF 1 < 0 ，其余2个都取到2，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11． SKIPIF 1 < 0 展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式展开式的通项化简得常数项满足 SKIPIF 1 < 0 ，即可代入求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2
【分析】 SKIPIF 1 < 0 表示有5个 SKIPIF 1 < 0 因式相乘，根据 SKIPIF 1 < 0 的来源分析即可求出答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示有5个 SKIPIF 1 < 0 因式相乘， SKIPIF 1 < 0 来源如下：
有1个 SKIPIF 1 < 0 提供 SKIPIF 1 < 0 ，有3个 SKIPIF 1 < 0 提供 SKIPIF 1 < 0 ，有1个 SKIPIF 1 < 0 提供常数，
此时 SKIPIF 1 < 0 系数是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】220
【分析】根据给定条件，分析展开式中 SKIPIF 1 < 0 项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式通项 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的最高指数小于12，而 SKIPIF 1 < 0 的指数小于等于 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的指数是负整数，要得到 SKIPIF 1 < 0 项，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：220
题型五 两个二项式乘积展开式的系数
策略方法
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A．10B．12C．4D．5
【答案】A
【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．200B．40C．120D．80
【答案】B
【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
2． SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则该展开式中常数项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 代入计算得到 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项，分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 计算得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 得到常数项为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
3．已知 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为48，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的展开式中，
SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
4． SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．1872B．792C．495D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据二项展开式的通项，先计算 SKIPIF 1 < 0 中含 SKIPIF 1 < 0 的项和常数项，再分别和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相乘即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的通项为
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为（ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．10
【答案】A
【分析】根据上四分位数的计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，分别求解两项中的常数项求和即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故取数据从小到大第5个数，所以 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 中常数项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为80，则a的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】D
【分析】根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 的展开式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
对于 SKIPIF 1 < 0 的展开式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，该方程组无解，
故 SKIPIF 1 < 0 的展开式中没有 SKIPIF 1 < 0 项；
又∵ SKIPIF 1 < 0 的系数为80，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D.
7． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．18B．135C．540D．1215
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的展开式中没有 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为540.
故选：C.
8． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
由题意，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
二、填空题
9．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】240
【分析】利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：240
10．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中含 SKIPIF 1 < 0 项的系数是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为240，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】3
【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3
12．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为240，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 .
【答案】30
【分析】根据二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出指定项的系数得解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （不符合题意），
因此 SKIPIF 1 < 0 的展开式中的常数项为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：30
13．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数）的展开式中各项系数之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根据系数和公式求 SKIPIF 1 < 0 ，再根据二项展开式的通项公式求 SKIPIF 1 < 0 的系数.
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 不含有 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
14． SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 .
【答案】5
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得 SKIPIF 1 < 0 展开式中的 SKIPIF 1 < 0 项的系数，结合多项式相乘，即可求得答案.
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 展开式中的 SKIPIF 1 < 0 相乘出现 SKIPIF 1 < 0 项，
SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
分别令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 项的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5
15．在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项，即可得出答案.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 展开式系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，系数最大的项为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型六 赋值法
策略方法
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
【典例1】（单选题） SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．41B．40C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．41B．40C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求出结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．513C．512D．511
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．-1C．15D．-15
【答案】A
【分析】采用赋值法，即令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，
故令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
5．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．257B．129C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，相减即得结论．
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用赋值法可求 SKIPIF 1 < 0 ，据此可求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
7．若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】用赋值法即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
8． SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的奇数次幂项的系数之和为64，则含 SKIPIF 1 < 0 项的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．28C． SKIPIF 1 < 0 D．35
【答案】C
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，然后代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可整理得奇数次幂项的系数之和，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得答案
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ,
则令 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
① SKIPIF 1 < 0 ②可整理得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ,其系数为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为25，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的偶次方的系数和为（ ）
A．16B．32C．24D．48
【答案】D
【分析】应用二项式定理确定展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列描述正确的是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 除以5所得的余数是1
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】对于A：令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，因此A错误；
对于B：
SKIPIF 1 < 0 ，因此B正确
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 二项展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
由通项公式知， SKIPIF 1 < 0 二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对 SKIPIF 1 < 0 求导，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0
所以选项D错误．
故选：B
二、填空题
11．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】5
【分析】利用赋值法求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：5.
12．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】15
【分析】由函数观点结合赋值法即可求解.
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：15.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 ．
【答案】720
【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二项式展开式求特定项即可.
【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的项为： SKIPIF 1 < 0 ，
则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为：720.
故答案为：720.
14．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .（用数字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案： SKIPIF 1 < 0 .
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】24
【分析】利用赋值法进行求解即可.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
① SKIPIF 1 < 0 ②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .（用数字作答）
【答案】33
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ,再减去 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ;
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ①;
令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ②;
①+②得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
17．记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分别取 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，所得式子作和即可整理得到结果.
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
两式作和得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
18．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】1
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，展开式中令 SKIPIF 1 < 0 和令 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为：1
19．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】赋值法求系数和及 SKIPIF 1 < 0 ，进而求目标式的值.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ①二项展开式中的特定项问题
②二项式系数问题
③二项展开式中各项系数的和问题
④三项展开式的问题
⑤两个二项式乘积展开式的系数
⑥赋值法
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