资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：【同步学与练】最新七年级数学上册同步学与练（浙教版）
成套系列资料，整套一键下载
数学七年级上册3.2 实数优秀当堂达标检测题
展开
这是一份数学七年级上册3.2 实数优秀当堂达标检测题，文件包含第02讲实数8类题型原卷版docx、第02讲实数8类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
知识点01：实数
（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。
（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
1. 实数的分类
（4）实数与数轴上点的关系：
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
2. 无理数的概念
无限不循环小数称为无理数。
人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
，，，，，等都是无理数。
【即学即练1】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
【答案】D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
【即学即练2】
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【答案】D
【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．
【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；
无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；
无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；
无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．
知识点02：实数的大小比较
1、实数的倒数、相反数和绝对值
（1）相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
（2）绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
（3）倒数
如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
2、数轴和实数大小比较
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【即学即练3】
3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴，即，原式错误，符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴，即，正确，不符合题意；
D、∵，，且，
∴，正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2023·浙江·九年级专题练习）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
题型01 无理数
考查题型一 无理数
1．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）在实数，0，，，，，中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐项对各数进行判断即可求解．
【详解】解：解：是分数，是有理数；
0是整数，是有理数；
，是整数，是有理数；
有限小数，是有理数；
是无限循环小数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数，
∴无理数共有2个．
故选：B
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键．
2．（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）在实数，，0，，，，（每两个2之间一次多一个1）中，无理数有 个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：，，
在实数，，0，，，，（每两个2之间一次多一个1）中，无理数有，，，（每两个2之间一次多一个1），共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了无理数，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数．
3．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个3之间依次增加一个0）
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【答案】见详解
【分析】根据正数、负数、有理数以及无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：因为比0大的数是正数，比0小的数是负数，
所以正数集合：，，；
所以负数集合：，，（两个3之间依次增加一个0）；
因为有理数是指整数和分数的统称，且，
所以有理数集合：，，，；
因为无理数是指无限不循环小数，
所以无理数集合：，（两个3之间依次增加一个0）．
【点睛】本题主要考查了正数、负数、有理数以及无理数的定义，正确掌握相关知识的定义是解题的关键．
题型02 实数概念理解
1．（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）实数π的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用实数a的相反数是进行求解．
【详解】解：由题意得，实数π的相反数是，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
2．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是 ．
【答案】
【分析】据数值转换器所示，输入81后取算术平方根，直到结果是无理数时即是结果.
【详解】当x=81时，第一次运算，因为9是有理数，
所以第二次运算，因为3是有理数，
所以第三次运算，因为是无理数，所以输出
故答案为：
【点睛】本题考查的是算术平方根的运算，能够读懂题意是解题的关键.
3．（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，．
【分析】根据实数的分类逐一填写即可．
【详解】解：∵，
∴中
有理数集合为：，，，；
无理数集合为：，，，；
正实数集合为：，，，，；
负实数集合为：，，．
【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．
题型03 实数的分类
1．（2023春·安徽宣城·七年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数两类D．正实数包括正有理数和正无理数
【答案】D
【分析】根据实数的分类可进行求解．
【详解】解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，故不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，原说法错误，故不符合题意；
C、实数可分为正实数、零和负实数，原说法错误，故不符合题意；
D、正实数包括正有理数和正无理数，说法正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）在，，0，，，，（两个2之间依次多一个，中．
（1）是有理数的有 ．
（2）是无理数的有 ．
（3）是整数的有 ．
（4）是分数的有 ．
【答案】 ，0，， ，，，（两个2之间依次多一个 0， ，
【分析】（1）有理数包括整数和分数即可得答案；
（2）由无限不循环小数是无理数可得答案；
（3）由整数概念可得答案；
（4）根据分数概念可得答案．
【详解】解：（1）有理数包括整数和分数，
故答案为：，0，，；
（2）无限不循环小数是无理数，
故答案为：，，，（两个2之间依次多一个1）；
（3）整数包括正整数、0、负整数，
故答案为：0，；
（4）分数包括正分数、负分数，
故答案为：，．
【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握实数、有理数、无理数的概念．
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个之间依次增加一个）．
正数集合： ；
质数集合： ；
有理数集合： ；
无理数集合： ．
【答案】正数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【详解】解：正数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键，实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
题型04 实数的性质
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）如果是的相反数，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：∵是的相反数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义、实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2023春·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是的点表示的数是 ；
(2)若，则的值是 ；
(3) 的相反数是 ．
【答案】 或/或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；
故答案为：．
（2）
∴，
解得：或，
故答案为：或．
（3）的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．
【答案】（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】（1）阴影正方形的面积是3×3-4×=5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x=（-舍去）
故答案为：；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
题型05 实数与数轴
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的距离，再求出点所表示的数
【详解】解∶设点所表示的数是，
∵、两点对应的实数分别是与和，
∴，
∵，点表示的实数是，点在点的右侧，
∴，
∴
∴点所对应的实数是
故选∶B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1个单位），连接，，，得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点E，使，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．
【答案】
【分析】先求出正方形的面积，再由算术平方根的定义求出，由点A与原点重合，可得E点表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积，
∴，
∴点A与原点重合，
∵，
∴E点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴，算术平方根的意义，结合数轴的特点求解是关键．
3．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1．
(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是________；
(2)请利用（1）的解答，在数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由．
(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示的点，并简洁地说明理由．
【答案】(1)10
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据割补法求出正方形的面积即可；
（2）根据正方形的面积求出正方形的边长为，然后在数轴上画出表示的点，然后再找出的中点即可；
（3）先在网格中画出面积为5的正方形，得出的长度，然后再在数轴上截取，即可得出答案．
【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为：
；
故答案为：10．
（2）解：∵图1中的正方形面积为10，
∴它的边长为，
在数轴取，
则点表示的数分别为，，
的中点表示的数为．
（3）解：如图，的阴影部分为正方形，面积为5；
所以，其边长为，
在数轴上截取（数轴的1个单位长度），
则点表示的数为，点表示的数．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示无理数，正方形网格中求面积，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点．
题型06 实数的大小比较
1．（2023秋·广东惠州·七年级阶段练习）下列各数大小比较，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于两个负数比较大小，则比较它们的绝对值，绝对值大的反而小，含有括号的先去括号，然后再比较大小，由此即可解决问题．
【详解】解：A、，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项符合题意；
C、，，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两数的大小首先应通过化简去掉它们的绝对值符号和括号，如果比较的两数为负数则先比较它们的绝对值大小，绝对值大的反而小．
2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）比较大小 （选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【答案】
【分析】先将比较和大小，转换成比较和5的大小，然后再比较无理数大小即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴只需比较和5的大小即可，
∵，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了无理数大小比较，掌握无理数大小比较的方法是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？
(2)你是否同意小明同学的说法？说明理由．
【答案】(1)长方形纸片的长是，宽是
(2)不同意，理由见解析
【分析】（1）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积为列出方程，解方程即可；
（2）根据，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可得出不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，则宽为，
依题意得：，
，
，
，
，，
答：长方形纸片的长是，宽是．
（2）解：不同意小明同学的说法．
理由：，
，
，
长方形纸片的长大于，
正方形纸片的边长为．
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，应用平方根解方程，无理数的估算，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出长方形的长和宽．
题型07 无理数的估算
1．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）数轴上表示数的点应在（ ）
A．与0之间B．0与1之间C．1与2之间D．2与3之间
【答案】B
【分析】先根据无理数的估算方法估算出，继而得到，由此可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校联考期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
【答案】5
【分析】先估算出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算出是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”亮亮说：“既然如此，因为，所以的小数部分就是了．”张老师说：“亮亮真的很聪明．”接着，张老师出示了一道练习题：
“已知，其中x是一个整数，且，请你求出的值”．
请同样聪明的你给出正确答案．
【答案】19
【分析】根据，得出，求出，，代入求出结果即可．
【详解】解：∵，其中x是一个整数，且，
∴为的整数部分，为小数部分，
∵，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是根据题意求出，．
题型08 无理数整数部分的有关计算
1．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）估计的值应在（ ）
A．6和7之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间
【答案】B
【分析】先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴估计的值应在5和6之间，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．
2．（2023春·吉林·七年级统考期末）已知实数，m在两个相邻整数之间，则这两个相邻整数的和为 ．
【答案】13
【分析】根据算术平方根的定义由得出，确定这两个相邻整数即可得出答案．
【详解】
即
这两个相邻整数的和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用算术平方根对无理数的大小进行估算．
3．（2023春·山东滨州·七年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)已知的小数部分是x，的小数部分是y，若，求m的值．
【答案】(1)5；
(2)或
【分析】（1）估算出在哪两个连续整数之间后即可求得答案；
（2）估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值，然后求得的值，再利用平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是5，小数部分是的，
故答案为：5；；
（2），
，
，，
，，
，
，
，
则或，
解得：或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小及平方根，（2）中估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值是解题的关键．
A夯实基础
1．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）下面各数中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意；
B、是有理数，故不符合题意；
C、是有理数，故不符合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如果，那么实数x的值是（ ）．
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查绝对值．掌握绝对值是指一个数在数轴上所对应的点到原点的距离是解题关键．
3．（2023秋·江苏连云港·七年级统考开学考试）在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．
4．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）若一个正方形的面积是，则它的边长最接近（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式和估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵正方形的面积是，
∴它的边长是．
∵，
∴，
又，
∴，
即这个正方形的边长最接近，
故选A．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．
5．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）的相反数是 .
【答案】
【分析】只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义作答即可.
【详解】解：的相反数是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数和相反数的定义，明确相反数的概念是关键.
6．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）写出大于且小于的一个整数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】，，据此即可求得答案．
【详解】根据，，可知
大于且小于．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的比较，牢记平方根的性质是解题的关键．
7．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若的整数部分是 ，小数部分是 ．
【答案】
【分析】根据无理数的估算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式性质的化简是解题的关键．
8．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）如果实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，那么 ．
【答案】
【分析】根据数轴的特点即可求解．
【详解】∵实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．
9．（2023秋·江苏·七年级专题练习）将下列数的序号填入对应的横线上．
①；②3.141；③0；④2022；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；
(1)负整数集合：{ …}；
(2)正分数集合：{ …}；
(3)非正数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
【答案】(1)⑩
(2)②⑤⑦⑧
(3)①③⑥⑩
(4)①②③④⑤⑦⑧⑩
【分析】分别根据有理数的概念和分类进行判断即可得到答案．
【详解】（1）解：负整数集合：{}，
故答案为：⑩；
（2）解：正分数集合：{3.141；；；}，
故答案为：②⑤⑦⑧；
（3）解：非正数：{；0；；}，
故答案为：①③⑥⑩；
（4）解：有理数集合：{；3.141；0；2022；；；；}，
故答案为：①②③④⑤⑦⑧⑩．
【点睛】本题主要考查了实数的概念，熟练掌握实数的概念和分类，并能区分各种数是解题的关键．
10．（2023春·广西南宁·七年级校考期中）阅读理解：
∵，即．
∴
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为．
解决问题：
已知a是的整数部分，b是的小数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根，提示：．
（3）若c是立方根等于本身的数，且的倒数是2，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得的值；
（2）根据开平方运算，可得平方根；
（3）先根据题意求出，再代入的值即可求解．
【详解】解： ，
∴，
∴，
， ；
，
的平方根是：．
是立方根等于本身的数，且，
∵d的倒数是2，
由得，， ．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．
B能力提升
1（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）估算的值在（ ）之间
A．2与3B．3与4C．4与5D．5与6
【答案】D
【分析】利用“夹逼法”解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴，即的值在5与6之间．
故选：D．
【点睛】考查了估算无理数的大小．算无理数大小要用逼近法．
2．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）在0.4，，，， ，，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：，属于有理数，0.4，，也属于有理数，
，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1），属于无理数，共有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
3．（2023·江苏·统考中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
4．（2023春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列说法正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；
③不带根号的数一定是有理数；
④两个无理数的和是无理数．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】①根据实数的分类，可得答案；②根据平方根、立方根，可得答案；③根据有理数的定义，可得答案；④根据实数的运算，可得答案．
【详解】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0，故②错误；
③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误；
④两个无理数的和是可能是无理数、可能是有理数，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，实数的分类不能重复、不能遗漏，无理数的运算可能是无理数、可能是有理数．
5．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）比较大小： .
【答案】
【分析】先化简，进而比较大小，即可求解．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，得出是解题的关键．
6．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）已知，为两个连续的整数，且，则 ．
【答案】11
【分析】利用夹逼法确定，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，
∴，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法求解的方法是解题关键．
7．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）实数 0（填、或）；的相反数是 ，绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】估算的范围即可判断，再直接利用相反数、绝对值的性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
的相反数是，绝对值是，
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（2023春·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是的点表示的数是 ；
(2)若，则的值是 ；
(3) 的相反数是 ．
【答案】 或/或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；
故答案为：．
（2）
∴，
解得：或，
故答案为：或．
（3）的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个3之间依次增加一个0）
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【答案】见详解
【分析】根据正数、负数、有理数以及无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：因为比0大的数是正数，比0小的数是负数，
所以正数集合：，，；
所以负数集合：，，（两个3之间依次增加一个0）；
因为有理数是指整数和分数的统称，且，
所以有理数集合：，，，；
因为无理数是指无限不循环小数，
所以无理数集合：，（两个3之间依次增加一个0）．
【点睛】本题主要考查了正数、负数、有理数以及无理数的定义，正确掌握相关知识的定义是解题的关键．
10．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则为”．
(1)的整数部分为_______，小数部分可以表示为______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可；
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
（2）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，，
的整数部分为1，小数部分为，
．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
C综合素养
1．（2023秋·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．0是最小的自然数，最大的负数是
B．有理数分为正有理数及负有理数
C．所有的有理数和无理数都能用数轴上的点表示
D．两个有理数的和一定大于每个加数
【答案】C
【分析】根据负数、有理数的定义、实数与数轴、有理数的加法运算逐项判断即可得．
【详解】解：A、0是最小的自然数，最大的负整数是，则此项错误，不符合题意；
B、有理数分为正有理数、0和负有理数，则此项错误，不符合题意；
C、因为实数与数轴是一一对应的，所以所有的有理数和无理数都能用数轴上的点表示，则此项正确，符合题意；
D、两个有理数的和不一定大于每个加数，如，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了负数、有理数的定义、实数与数轴、有理数的加法，熟记各定义和运算法则是解题关键．
2．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）与最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据平方运算，先估算出的值，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据图示，可得，据此判断出，的正负，再根据算术平方根的含义和求法，求出化简后的结果即可．
【详解】解：根据图示，可得，
，，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
A．＝16
B．
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【详解】解：由表格可得：，
，
故选项A不符合题意；
由表格可得：，
，
故选项B不符合题意；
由表格可得，，
只有3个正整数满足，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：，
，
故选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题基础．
5．（2023春·福建福州·七年级福建师大附中校考期末）大于小于的整数是 ．
【答案】2
【分析】估算出与的整数部分，求出所求整数即可．
【详解】解：∵，
∴
则的整数是2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
6．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 ．
【答案】3或4
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则这个数的算术平方根也越大）解决此题．
【详解】解：，
．
．
是3或4．
故答案为：3或4．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质解决此题．
7．（2023春·河北保定·七年级统考期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
【答案】
【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值．
【详解】解：，，且，是整数，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键．
8．（2023春·广西玉林·七年级统考期中）下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的平方根是；③的整数部分为；④只有个整数的算术平方根在．其中正确的有 （填序号即可）．
【答案】①②③
【分析】根据算术平方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；估算无理数的大小判断③；根据算术平方根的定义判断④．
【详解】解：，
，故①符合题意；
，
，
的平方根是，故②符合题意；
，
，
，
，
的整数部分为，故③符合题意；
，，
，，，的值在，故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）已知：9的平方根是3和，y是的整数部分．
(1)求和的值
(2)代数式的算术平方根为______
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义可得，从而求出x的值，再根据可求得y的值；
（2）将x，y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：9的平方根是3和，
，
，
，y是的整数部分，
；
（2）由（1）知，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根的定义，估算无理数的大小，掌握平方根和算术平方根之间的联系与区别是关键．
10．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)求出的整数部分和小数部分．
(2)若其中是整数．且，请求出的相反数．
(3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为
(2)
(3)1
【分析】（1）先估算，得到的小数部分1，代入所求代数式计算即可；
（2）先估算，得到的整数与小数部分，从而得到的结果，求出、的值，代入计算即可求得其相反数；
（3）由，根据不等式的性质可得，，从而得到，的值，代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
的整数部分为1，小数部分为，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：，
的整数部分为2，小数部分为，
，
是整数，且，
，，
，
相反数为；
（3）解：，
，，
，，
．
【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．
课程标准
学习目标
1.掌握实数的概念与分类；
2.掌握实数的大小比较；
1.掌握无理数的概念；
2.掌握实数的概念与分类
3、掌握无理数的估算；
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
知识点01：实数
（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数。
（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
1. 实数的分类
（4）实数与数轴上点的关系：
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
2. 无理数的概念
无限不循环小数称为无理数。
人们已经证明是一个无限不循环小数，它的值为1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7…
，，，，，等都是无理数。
【即学即练1】
1．（2023·浙江·七年级假期作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数B．无理数都是带有根号的数
C．、都是分数D．实数分为正实数，负实数和零
【答案】D
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意；
B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意；
C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；
D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
【即学即练2】
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；
C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．
【答案】D
【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．
【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；
无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；
无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；
无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．
知识点02：实数的大小比较
1、实数的倒数、相反数和绝对值
（1）相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同绝对值相同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
（2）绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
（3）倒数
如果ab=1，则a与b互为倒数，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
2、数轴和实数大小比较
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
【即学即练3】
3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）比较下列各组数的大小，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据无理数的估算方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴，即，原式错误，符合题意；
C、∵，
∴，
∴，
∴，即，正确，不符合题意；
D、∵，，且，
∴，正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法以及无理数的估算是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2023·浙江·九年级专题练习）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
题型01 无理数
考查题型一 无理数
1．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）在实数，0，，，，，中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐项对各数进行判断即可求解．
【详解】解：解：是分数，是有理数；
0是整数，是有理数；
，是整数，是有理数；
有限小数，是有理数；
是无限循环小数，是有理数；
是无限不循环小数，是无理数；
是无限不循环小数，是无理数，
∴无理数共有2个．
故选：B
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，熟知无理数的定义是解题关键．
2．（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）在实数，，0，，，，（每两个2之间一次多一个1）中，无理数有 个．
【答案】3
【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：，，
在实数，，0，，，，（每两个2之间一次多一个1）中，无理数有，，，（每两个2之间一次多一个1），共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了无理数，解题的关键是熟练掌握无限不循环小数是无理数．
3．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个3之间依次增加一个0）
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【答案】见详解
【分析】根据正数、负数、有理数以及无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：因为比0大的数是正数，比0小的数是负数，
所以正数集合：，，；
所以负数集合：，，（两个3之间依次增加一个0）；
因为有理数是指整数和分数的统称，且，
所以有理数集合：，，，；
因为无理数是指无限不循环小数，
所以无理数集合：，（两个3之间依次增加一个0）．
【点睛】本题主要考查了正数、负数、有理数以及无理数的定义，正确掌握相关知识的定义是解题的关键．
题型02 实数概念理解
1．（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）实数π的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用实数a的相反数是进行求解．
【详解】解：由题意得，实数π的相反数是，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
2．（2023春·河南濮阳·七年级统考期中）有一个数值转换器，原理如图：当输入x为81时，输出的y的值是 ．
【答案】
【分析】据数值转换器所示，输入81后取算术平方根，直到结果是无理数时即是结果.
【详解】当x=81时，第一次运算，因为9是有理数，
所以第二次运算，因为3是有理数，
所以第三次运算，因为是无理数，所以输出
故答案为：
【点睛】本题考查的是算术平方根的运算，能够读懂题意是解题的关键.
3．（2023·浙江·七年级假期作业）把下列各数填入相应的大括号内：
有理数集合： ；无理数集合： ；
正实数集合： ；负实数集合： ．
【答案】，，，；：，，，；，，，，；，，．
【分析】根据实数的分类逐一填写即可．
【详解】解：∵，
∴中
有理数集合为：，，，；
无理数集合为：，，，；
正实数集合为：，，，，；
负实数集合为：，，．
【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．
题型03 实数的分类
1．（2023春·安徽宣城·七年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数
C．实数可以分为正实数和负实数两类D．正实数包括正有理数和正无理数
【答案】D
【分析】根据实数的分类可进行求解．
【详解】解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，故不符合题意；
B、无限不循环小数是无理数，原说法错误，故不符合题意；
C、实数可分为正实数、零和负实数，原说法错误，故不符合题意；
D、正实数包括正有理数和正无理数，说法正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）在，，0，，，，（两个2之间依次多一个，中．
（1）是有理数的有 ．
（2）是无理数的有 ．
（3）是整数的有 ．
（4）是分数的有 ．
【答案】 ，0，， ，，，（两个2之间依次多一个 0， ，
【分析】（1）有理数包括整数和分数即可得答案；
（2）由无限不循环小数是无理数可得答案；
（3）由整数概念可得答案；
（4）根据分数概念可得答案．
【详解】解：（1）有理数包括整数和分数，
故答案为：，0，，；
（2）无限不循环小数是无理数，
故答案为：，，，（两个2之间依次多一个1）；
（3）整数包括正整数、0、负整数，
故答案为：0，；
（4）分数包括正分数、负分数，
故答案为：，．
【点睛】本题考查实数的分类，解题的关键是掌握实数、有理数、无理数的概念．
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个之间依次增加一个）．
正数集合： ；
质数集合： ；
有理数集合： ；
无理数集合： ．
【答案】正数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
【分析】根据实数的分类，逐一判断即可解答．
【详解】解：正数集合：；
负数集合：；
有理数集合：；
无理数集合：．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键，实数分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
题型04 实数的性质
1．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）如果是的相反数，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：∵是的相反数，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义、实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2023春·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是的点表示的数是 ；
(2)若，则的值是 ；
(3) 的相反数是 ．
【答案】 或/或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；
故答案为：．
（2）
∴，
解得：或，
故答案为：或．
（3）的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．
【答案】（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】（1）阴影正方形的面积是3×3-4×=5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x=（-舍去）
故答案为：；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
题型05 实数与数轴
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，数轴上，，、两点对应的实数分别是与和，则点所对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的距离，再求出点所表示的数
【详解】解∶设点所表示的数是，
∵、两点对应的实数分别是与和，
∴，
∵，点表示的实数是，点在点的右侧，
∴，
∴
∴点所对应的实数是
故选∶B．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）如图，在数轴上方有4个方格（每一方格的边长为1个单位），连接，，，得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A左侧的数轴上取一点E，使，若点A与原点重合，则点E表示的数是 ．
【答案】
【分析】先求出正方形的面积，再由算术平方根的定义求出，由点A与原点重合，可得E点表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积，
∴，
∴点A与原点重合，
∵，
∴E点表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴，算术平方根的意义，结合数轴的特点求解是关键．
3．（2023春·湖北恩施·七年级统考期中）如图，正方形网格中的小正方形边长与数轴的单位长度都是1．
(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是________；
(2)请利用（1）的解答，在数轴上画出表示的点；并简洁地说明理由．
(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示的点，并简洁地说明理由．
【答案】(1)10
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据割补法求出正方形的面积即可；
（2）根据正方形的面积求出正方形的边长为，然后在数轴上画出表示的点，然后再找出的中点即可；
（3）先在网格中画出面积为5的正方形，得出的长度，然后再在数轴上截取，即可得出答案．
【详解】（1）解：图1中的阴影部分面积为：
；
故答案为：10．
（2）解：∵图1中的正方形面积为10，
∴它的边长为，
在数轴取，
则点表示的数分别为，，
的中点表示的数为．
（3）解：如图，的阴影部分为正方形，面积为5；
所以，其边长为，
在数轴上截取（数轴的1个单位长度），
则点表示的数为，点表示的数．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示无理数，正方形网格中求面积，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上点的特点．
题型06 实数的大小比较
1．（2023秋·广东惠州·七年级阶段练习）下列各数大小比较，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于两个负数比较大小，则比较它们的绝对值，绝对值大的反而小，含有括号的先去括号，然后再比较大小，由此即可解决问题．
【详解】解：A、，，故本选项不符合题意；
B、，，故本选项符合题意；
C、，，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两数的大小首先应通过化简去掉它们的绝对值符号和括号，如果比较的两数为负数则先比较它们的绝对值大小，绝对值大的反而小．
2．（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）比较大小 （选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【答案】
【分析】先将比较和大小，转换成比较和5的大小，然后再比较无理数大小即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴只需比较和5的大小即可，
∵，，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了无理数大小比较，掌握无理数大小比较的方法是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）小红想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
(1)长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？
(2)你是否同意小明同学的说法？说明理由．
【答案】(1)长方形纸片的长是，宽是
(2)不同意，理由见解析
【分析】（1）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积为列出方程，解方程即可；
（2）根据，得出长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，即可得出不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，则宽为，
依题意得：，
，
，
，
，，
答：长方形纸片的长是，宽是．
（2）解：不同意小明同学的说法．
理由：，
，
，
长方形纸片的长大于，
正方形纸片的边长为．
长方形纸片的长大于正方形纸片的边长
不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，应用平方根解方程，无理数的估算，解题的关键是根据等量关系列出方程，求出长方形的长和宽．
题型07 无理数的估算
1．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考开学考试）数轴上表示数的点应在（ ）
A．与0之间B．0与1之间C．1与2之间D．2与3之间
【答案】B
【分析】先根据无理数的估算方法估算出，继而得到，由此可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟知无理数的估算方法是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校联考期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
【答案】5
【分析】先估算出，从而即可得到答案．
【详解】解：，
，即，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，估算出是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江鸡西·七年级期中）数学活动课上，张老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为，所以，所以的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”亮亮说：“既然如此，因为，所以的小数部分就是了．”张老师说：“亮亮真的很聪明．”接着，张老师出示了一道练习题：
“已知，其中x是一个整数，且，请你求出的值”．
请同样聪明的你给出正确答案．
【答案】19
【分析】根据，得出，求出，，代入求出结果即可．
【详解】解：∵，其中x是一个整数，且，
∴为的整数部分，为小数部分，
∵，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是根据题意求出，．
题型08 无理数整数部分的有关计算
1．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）估计的值应在（ ）
A．6和7之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间
【答案】B
【分析】先估算出的范围，再得到的范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴估计的值应在5和6之间，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，根据题意得到是解题的关键．
2．（2023春·吉林·七年级统考期末）已知实数，m在两个相邻整数之间，则这两个相邻整数的和为 ．
【答案】13
【分析】根据算术平方根的定义由得出，确定这两个相邻整数即可得出答案．
【详解】
即
这两个相邻整数的和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用算术平方根对无理数的大小进行估算．
3．（2023春·山东滨州·七年级统考期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)已知的小数部分是x，的小数部分是y，若，求m的值．
【答案】(1)5；
(2)或
【分析】（1）估算出在哪两个连续整数之间后即可求得答案；
（2）估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值，然后求得的值，再利用平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是5，小数部分是的，
故答案为：5；；
（2），
，
，，
，，
，
，
，
则或，
解得：或．
【点睛】本题考查估算无理数的大小及平方根，（2）中估算出在哪两个连续整数之间后再结合已知条件分别求得，的值是解题的关键．
A夯实基础
1．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）下面各数中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意；
B、是有理数，故不符合题意；
C、是有理数，故不符合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如果，那么实数x的值是（ ）．
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查绝对值．掌握绝对值是指一个数在数轴上所对应的点到原点的距离是解题关键．
3．（2023秋·江苏连云港·七年级统考开学考试）在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：在6，，0，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）这些数中，无理数有，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．
4．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）若一个正方形的面积是，则它的边长最接近（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式和估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵正方形的面积是，
∴它的边长是．
∵，
∴，
又，
∴，
即这个正方形的边长最接近，
故选A．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．
5．（2023春·福建莆田·七年级校联考期中）的相反数是 .
【答案】
【分析】只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义作答即可.
【详解】解：的相反数是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了实数和相反数的定义，明确相反数的概念是关键.
6．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）写出大于且小于的一个整数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】，，据此即可求得答案．
【详解】根据，，可知
大于且小于．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的比较，牢记平方根的性质是解题的关键．
7．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若的整数部分是 ，小数部分是 ．
【答案】
【分析】根据无理数的估算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式性质的化简是解题的关键．
8．（2023春·上海浦东新·七年级校考期中）如果实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，那么 ．
【答案】
【分析】根据数轴的特点即可求解．
【详解】∵实数b在数轴上对应的点到原点的距离等于，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．
9．（2023秋·江苏·七年级专题练习）将下列数的序号填入对应的横线上．
①；②3.141；③0；④2022；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩；
(1)负整数集合：{ …}；
(2)正分数集合：{ …}；
(3)非正数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
【答案】(1)⑩
(2)②⑤⑦⑧
(3)①③⑥⑩
(4)①②③④⑤⑦⑧⑩
【分析】分别根据有理数的概念和分类进行判断即可得到答案．
【详解】（1）解：负整数集合：{}，
故答案为：⑩；
（2）解：正分数集合：{3.141；；；}，
故答案为：②⑤⑦⑧；
（3）解：非正数：{；0；；}，
故答案为：①③⑥⑩；
（4）解：有理数集合：{；3.141；0；2022；；；；}，
故答案为：①②③④⑤⑦⑧⑩．
【点睛】本题主要考查了实数的概念，熟练掌握实数的概念和分类，并能区分各种数是解题的关键．
10．（2023春·广西南宁·七年级校考期中）阅读理解：
∵，即．
∴
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为．
解决问题：
已知a是的整数部分，b是的小数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根，提示：．
（3）若c是立方根等于本身的数，且的倒数是2，求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得的值；
（2）根据开平方运算，可得平方根；
（3）先根据题意求出，再代入的值即可求解．
【详解】解： ，
∴，
∴，
， ；
，
的平方根是：．
是立方根等于本身的数，且，
∵d的倒数是2，
由得，， ．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．
B能力提升
1（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）估算的值在（ ）之间
A．2与3B．3与4C．4与5D．5与6
【答案】D
【分析】利用“夹逼法”解答．
【详解】解：∵，
∴．
∴，即的值在5与6之间．
故选：D．
【点睛】考查了估算无理数的大小．算无理数大小要用逼近法．
2．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）在0.4，，，， ，，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：，属于有理数，0.4，，也属于有理数，
，，0.3131131113…（相邻两个3之间的个数逐次加1），属于无理数，共有3个，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
3．（2023·江苏·统考中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
4．（2023春·甘肃庆阳·七年级校考期中）下列说法正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；
③不带根号的数一定是有理数；
④两个无理数的和是无理数．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】①根据实数的分类，可得答案；②根据平方根、立方根，可得答案；③根据有理数的定义，可得答案；④根据实数的运算，可得答案．
【详解】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0，故②错误；
③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误；
④两个无理数的和是可能是无理数、可能是有理数，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，实数的分类不能重复、不能遗漏，无理数的运算可能是无理数、可能是有理数．
5．（2023秋·四川成都·八年级校考开学考试）比较大小： .
【答案】
【分析】先化简，进而比较大小，即可求解．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，求一个数的算术平方根，得出是解题的关键．
6．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）已知，为两个连续的整数，且，则 ．
【答案】11
【分析】利用夹逼法确定，可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，
∴，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法求解的方法是解题关键．
7．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）实数 0（填、或）；的相反数是 ，绝对值是 ．
【答案】 / /
【分析】估算的范围即可判断，再直接利用相反数、绝对值的性质分别分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
的相反数是，绝对值是，
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（2023春·湖北孝感·七年级校考期中）(1)在数轴上离原点距离是的点表示的数是 ；
(2)若，则的值是 ；
(3) 的相反数是 ．
【答案】 或/或 /
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解；
（2）根据平方根的定义解方程，即可求解；
（3）根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：（1）在数轴上离原点距离是的点表示的数是；
故答案为：．
（2）
∴，
解得：或，
故答案为：或．
（3）的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的性质，实数与数轴，平方根的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：
，，，，，（两个3之间依次增加一个0）
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
有理数集合：{ }；
无理数集合：{ }．
【答案】见详解
【分析】根据正数、负数、有理数以及无理数的定义进行解答即可．
【详解】解：因为比0大的数是正数，比0小的数是负数，
所以正数集合：，，；
所以负数集合：，，（两个3之间依次增加一个0）；
因为有理数是指整数和分数的统称，且，
所以有理数集合：，，，；
因为无理数是指无限不循环小数，
所以无理数集合：，（两个3之间依次增加一个0）．
【点睛】本题主要考查了正数、负数、有理数以及无理数的定义，正确掌握相关知识的定义是解题的关键．
10．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则为”．
(1)的整数部分为_______，小数部分可以表示为______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分；
（2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可；
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，；
（2）解：，
，
的整数部分是1，
的整数部分为2，小数部分为，，
的整数部分为1，小数部分为，
．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键．
C综合素养
1．（2023秋·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．0是最小的自然数，最大的负数是
B．有理数分为正有理数及负有理数
C．所有的有理数和无理数都能用数轴上的点表示
D．两个有理数的和一定大于每个加数
【答案】C
【分析】根据负数、有理数的定义、实数与数轴、有理数的加法运算逐项判断即可得．
【详解】解：A、0是最小的自然数，最大的负整数是，则此项错误，不符合题意；
B、有理数分为正有理数、0和负有理数，则此项错误，不符合题意；
C、因为实数与数轴是一一对应的，所以所有的有理数和无理数都能用数轴上的点表示，则此项正确，符合题意；
D、两个有理数的和不一定大于每个加数，如，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了负数、有理数的定义、实数与数轴、有理数的加法，熟记各定义和运算法则是解题关键．
2．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）与最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根据平方运算，先估算出的值，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据图示，可得，据此判断出，的正负，再根据算术平方根的含义和求法，求出化简后的结果即可．
【详解】解：根据图示，可得，
，，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ）
A．＝16
B．
C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3
D．
【答案】C
【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断．
【详解】解：由表格可得：，
，
故选项A不符合题意；
由表格可得：，
，
故选项B不符合题意；
由表格可得，，
只有3个正整数满足，分别是263；264；265，
故选项C符合题意；
由题意可得：，
，
故选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题基础．
5．（2023春·福建福州·七年级福建师大附中校考期末）大于小于的整数是 ．
【答案】2
【分析】估算出与的整数部分，求出所求整数即可．
【详解】解：∵，
∴
则的整数是2，
故答案为：2
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
6．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知，且m是整数，请写出一个符合要求的m的值 ．
【答案】3或4
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，则这个数的算术平方根也越大）解决此题．
【详解】解：，
．
．
是3或4．
故答案为：3或4．
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质解决此题．
7．（2023春·河北保定·七年级统考期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．已知：，其中是整数，且， ， ．
【答案】
【分析】根据，，且，是整数，可以确定出和的值．
【详解】解：，，且，是整数，
，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理数的估算，确定无理数的整数部分是解答本题的关键．
8．（2023春·广西玉林·七年级统考期中）下表记录了一些数的平方：
下列结论：①；②的平方根是；③的整数部分为；④只有个整数的算术平方根在．其中正确的有 （填序号即可）．
【答案】①②③
【分析】根据算术平方根的定义判断①；根据平方根的定义判断②；估算无理数的大小判断③；根据算术平方根的定义判断④．
【详解】解：，
，故①符合题意；
，
，
的平方根是，故②符合题意；
，
，
，
，
的整数部分为，故③符合题意；
，，
，，，的值在，故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）已知：9的平方根是3和，y是的整数部分．
(1)求和的值
(2)代数式的算术平方根为______
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的定义可得，从而求出x的值，再根据可求得y的值；
（2）将x，y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：9的平方根是3和，
，
，
，y是的整数部分，
；
（2）由（1）知，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根、算术平方根的定义，估算无理数的大小，掌握平方根和算术平方根之间的联系与区别是关键．
10．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）阅读下面的文字，解答问题．
大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
(1)求出的整数部分和小数部分．
(2)若其中是整数．且，请求出的相反数．
(3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．
【答案】(1)的整数部分为3，小数部分为
(2)
(3)1
【分析】（1）先估算，得到的小数部分1，代入所求代数式计算即可；
（2）先估算，得到的整数与小数部分，从而得到的结果，求出、的值，代入计算即可求得其相反数；
（3）由，根据不等式的性质可得，，从而得到，的值，代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
的整数部分为1，小数部分为，
的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：，
的整数部分为2，小数部分为，
，
是整数，且，
，，
，
相反数为；
（3）解：，
，，
，，
．
【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．
课程标准
学习目标
1.掌握实数的概念与分类；
2.掌握实数的大小比较；
1.掌握无理数的概念；
2.掌握实数的概念与分类
3、掌握无理数的估算；
n
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
相关试卷
初中数学浙教版七年级上册第3章 实数3.1 平方根优秀练习： 这是一份初中数学浙教版七年级上册<a href="/sx/tb_c12337_t7/?tag_id=28" target="_blank">第3章 实数3.1 平方根优秀练习</a>，文件包含第01讲平方根12类题型原卷版docx、第01讲平方根12类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
初中数学浙教版七年级上册2.7 近似数精品课后练习题： 这是一份初中数学浙教版七年级上册<a href="/sx/tb_c11905_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.7 近似数精品课后练习题</a>，文件包含第07讲近似数5类题型原卷版docx、第07讲近似数5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
初中数学浙教版七年级上册2.3 有理数的乘法优秀课后测评： 这是一份初中数学浙教版七年级上册<a href="/sx/tb_c11909_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.3 有理数的乘法优秀课后测评</a>，文件包含第03讲有理数的乘法5类题型原卷版docx、第03讲有理数的乘法5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
