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初中数学浙教版七年级上册6.7 角的和差精品随堂练习题
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这是一份初中数学浙教版七年级上册6.7 角的和差精品随堂练习题，文件包含第07讲角的和差7大题型原卷版docx、第07讲角的和差7大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
知识点01、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
【即学即练1】
1．（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
【即学即练2】
2．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75°B．105°C．110°D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
知识点02、角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【即学即练3】
3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是平角，、分别是、平分线，等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．80°
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据和分别是与的角平分线，是平角，则，从而可以求解
【详解】解：，
又平分，平分，
，
．
故选：C．
【即学即练4】
4．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据题意得，即可得，根据角平分线的定义可得，即可得．
【详解】解：，，
，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选D．
考查题型一 与方向角有关的计算题
1．如图，是北偏东30°方向的一条射线，若，则的方位角是（ ）
A．北B．北偏西60°C．北偏东30°D．北偏东60°
【答案】B
【分析】根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
2．已知、两地的位置如图所示，且，那么地在地的（ ）
A．西偏北方向B．南偏东方向
C．北偏东方向D．东偏北方向
【答案】C
【分析】利用，得出∠1的度数，进而求出B地与A地的位置关系．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴B地在A地的北偏东方向．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键．
3．如图，货轮在航行的过程中，同时发现灯塔和轮船，灯塔在货轮的北偏东，则轮船在货轮的北偏西多少度？
【答案】轮船B在货轮北偏西．
【分析】先求解，，可得，再根据方向角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵灯塔A在货轮O北偏东的方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轮船B在货轮北偏西．
【点睛】本题考查了方向角的定义，角的和差运算，理解方向角的定义是解题的关键．
考查题型二 三角板中角度计算问题
1．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
∵，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
2．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ．
【答案】
【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由：
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了角的和与差，能够根据图形正确表示两个角的和与差是解题关键．
（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（3）根据以及，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：猜想：，
理由如下：
∵，
又∵，
∴，
即．
考查题型三 几何图形中角度计算问题
1．如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．
【详解】解：如图，
∵顶点A落在处，
，
又为的平分线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的计算的应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．如图，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
3．如图，已知是直角，在的外部，且平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可；
（2）先利用，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可．
【详解】（1）解：因为是直角，，
所以．
因为平分，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
（2）因为，是直角，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
【点睛】本题考查与角平分线有关的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
考查题型四 角度的四则运算
1．将转化为度分秒的形式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，进行换算即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟练掌握，是解题的关键．
2．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据角度的减法运算法则进行计算即可；
（3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据角度的除法运算法则进行计算即可；
（5）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是熟练掌握度、分、秒之间的换算关系，，．
考查题型五 实际问题中角度计算问题
1．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【答案】A
【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
所以入射光线与反射光线的夹角是100° ．
入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，
此时入射光线与反射光线的夹角为60°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．
2．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻．
【答案】24
【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解．
【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，
∴24×1=24（次），
即从0时到24时共有24个平衡时刻；
故答案为24．
【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．
3．如图，直线，交于点，将一个三角板的直角顶点放置于点处，使其两条直角边分别位于的两侧．若刚好平分，，求的度数．
【答案】
【分析】设∠COE=α，则∠BOE=2α，∠BOC=3α，依据角平分线即可得出∠BOC=∠BOF=45°+α，求得α的值，即可得到∠BOC的度数，进而得到∠BOD的度数．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
考查题型六 角平分线的有关计算
1．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
2．已知是的平分线，，∠的平分线，则∠的度数为 ．
【答案】或
【分析】试题分析：由于与的位置关系不能确定，故应分在内和在外两种情况进行讨论．
【详解】解：当与的位置关系如图所示时，
是的平分线，是的平分线，，，
，，
﹣﹣；
当与的位置关系如图所示时，
是的平分线，是的平分线，，，
，，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
3．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，平分，，，求的度数．
【答案】
【分析】首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵平分，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差计算．
考查题型七 角n等分线的有关计算
1．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（ ）
①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【分析】根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．
【详解】解：因为∠AOB＝∠BOD，
所以∠AOB=∠AOD，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，
所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB，
故①错误，③正确；
因为∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD，
所以∠DOC＝3∠BOC
故②错误，④正确．
【点睛】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断．
2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】 /度 /度 或
【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；
（2）①根据三分线的定义计算即可；
②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．
【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．
∵
∴,
故答案为：
（2）①∵，是的两条三分线，，
∴，
故答案为：；
②∵，，是的两条三分线，
∴，
由旋转得：，
分两种情况：
当是的三分线，且时，可得，
∴，
∴，即；
当是的三分线，且时，可得，
∴，即；
故答案为：或．
【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
3．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，是的平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；
（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．
（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
；
答：的度数为．
（2）解：是的平分线．
，
是的平分线，
，
，
，
答：的度数为．
（3）解：由（2）得
，
，
又，
，
，
，
，，
，
当，
，
；
当，
，
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
A夯实基础
1．（2021下·上海闵行·六年级上海上师初级中学校考期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的角度是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出，根据即可求出重合部分的角度．
【详解】解：∵
∴
∴
即重合部分的角度是
故选：C
【点睛】本题考查三角板中的角度计算．确定是解题关键．
2．（2023上·全国·七年级课堂例题）比较的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法比较
【答案】B
【分析】根据度分秒的换算方法，即，即可求解．
【详解】解：，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角度的换算，掌握度分秒的换算方法是解题的关键．
3．（2023上·河北沧州·七年级校考期中）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中、、三点在同一直线上，平分，平分．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度即可．
【详解】解：由一副三角尺按如图所示拼在一起且、、三点在同一直线上，
则：，
则：，
∵平分，平分，
∴．
故选：A．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
5．（2022上·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，在一条直线上，分别是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案．
【详解】解：∵分别是的角平分线，
∴，，
∵在一条直线上，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
B能力提升
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中） ．
【答案】
【分析】本题主要考查度分秒的换算．直接进行角度的加法运算，满进，满进．
【详解】解：
，
故答案为：．
2．（2022下·湖南郴州·七年级校考开学考试）已知，是的角平分线， ．
【答案】/30度
【分析】根据角平分线的定义解答即可．
【详解】如图：
，是的平分线，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，理解各角之间的数量关系是解题的关键．
3．（2023上·河北保定·七年级统考期中）如图，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
4．（2022上·广东湛江·七年级统考期末）如图，点O在直线上，射线平分，若，则 ．
【答案】/104度
【分析】根据角平分线定义求出，再根据平角的概念计算即可．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键．
5．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）已知，，为的平分线，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分当在的外部时和内部时，分别画出图形，根据角平分线的定义即可求解．
根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠AOE，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：如图所示，当在的外部时，
，
∵为的平分线，
∴，
当在的内部时
∵为的平分线，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，结合图形角度的计算，分类讨论是解题的关键．
6．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∴．
当点N在点M的下方时，设，，
则，
由翻折变换的性质可知，，
∴．
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
C综合素养
1．（2023下·广东河源·七年级校考开学考试）如图，已知，，求的度数．
【答案】
【分析】根据，则，推出；根据，求出，根据，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查角的度量，解题的关键是掌握各角之间的等量关系，进行角的计算．
2．（2023上·陕西延安·七年级统考期末）如图，分别是和的平分线，已知，，求的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出，，则．
【详解】解：∵分别是和的平分线，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确求出，是解题的关键．
3．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，是内的一条射线，且．
(1)求的度数；
(2)过点作射线，若，求的度数．（画出草图即可）
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线在内和外两种情况是解答本题的关键．
（1）根据已知角度之间比例关系，找到所求角度的关系式，进而计算出结果．
（2），有两种情况，射线在内，射线在外，分别计算出对应的大小．
【详解】（1）解：，，
，
故答案为．
（2），
当在内时，
如图，
当在外时，
如图，
故答案为或
4．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，，，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若，，用含、的代数式表示的度数为______．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先求得的度数，然后由角平分线的定义可知，，最后根据求解即可；
（2）先求得α，由角平分线的定义可知α，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得和的大小，然后再依据求解是解题的关键．
5．（2023上·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，平分的内角，平分的外角， 相交于点 E．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答；
（2）先说明，再根据角平分线的定义可得、，最后根据角的和差即可解答．
【详解】（1）解:∵平分，
∴，
∵,
∴,
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，明确各角间的关系是解答本题的关键．
6．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知：．
(1)如图1，若．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么_________．
(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．
①当t=______秒时，平分；
②试说明：当t为何值时， ？
【答案】(1)①，同角的余角相等；②180
(2)①6；②或20
【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；
②利用角的和差关系即可求解；
（2）①由平分知，旋转角等于的一半，即可列方程求解；
②分在的内部和外部讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，，
∴（同角的余角相等）．
故答案为：，同角的余角相等；
②∵，
∴
．
故答案为：180；
（2）解：①根据题意，得，
即，
解得．
故答案为：6；
②当在的内部时，
∵，
∴，
解得；
当在的内部时，
∵，
∴，
解得，
综上，t为或20时，
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，余角的性质，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．课程标准
学习目标
1.角的和差计算；
2.角平分线的相关概念；
1.掌握用量角器量角的过程与步骤；
2.掌握角平分线的相关概念和计算；
知识点01、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
【即学即练1】
1．（2020上·福建三明·七年级三明市第三中学校考阶段练习）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【答案】C
【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案．
【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合
故选：C．
【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键.
【即学即练2】
2．（2021上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）用一副三角板不能画出的角是（ ）．
A．75°B．105°C．110°D．135°
【答案】C
【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出．
【详解】解：105°角可以用一幅三角板中的60°角和45°角画；
75°角可以用一幅三角板中的45°角和30°角画；
110°角用一副三角板不能画出；
135°角可以用一幅三角板中的直角和90°角或45°角画。
故选：C．
【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍．
知识点02、角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
【即学即练3】
3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是平角，、分别是、平分线，等于（ ）
A．105°B．100°C．90°D．80°
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据和分别是与的角平分线，是平角，则，从而可以求解
【详解】解：，
又平分，平分，
，
．
故选：C．
【即学即练4】
4．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，是的角平分线，，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据题意得，即可得，根据角平分线的定义可得，即可得．
【详解】解：，，
，
，
∵是的角平分线，
，
，
故选D．
考查题型一 与方向角有关的计算题
1．如图，是北偏东30°方向的一条射线，若，则的方位角是（ ）
A．北B．北偏西60°C．北偏东30°D．北偏东60°
【答案】B
【分析】根据方向角的定义可得：，然后利用角的和差关系可求出，从而根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
，
，
的方位角是北偏西，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
2．已知、两地的位置如图所示，且，那么地在地的（ ）
A．西偏北方向B．南偏东方向
C．北偏东方向D．东偏北方向
【答案】C
【分析】利用，得出∠1的度数，进而求出B地与A地的位置关系．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴B地在A地的北偏东方向．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的描述方法是解答此题的关键．
3．如图，货轮在航行的过程中，同时发现灯塔和轮船，灯塔在货轮的北偏东，则轮船在货轮的北偏西多少度？
【答案】轮船B在货轮北偏西．
【分析】先求解，，可得，再根据方向角的定义即可得到结论．
【详解】解：∵灯塔A在货轮O北偏东的方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轮船B在货轮北偏西．
【点睛】本题考查了方向角的定义，角的和差运算，理解方向角的定义是解题的关键．
考查题型二 三角板中角度计算问题
1．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件可得，再根据即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
，
∵，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
2．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ．
【答案】
【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
3．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．
(1)若，则的度数为 ；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系？并说明理由：
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了角的和与差，能够根据图形正确表示两个角的和与差是解题关键．
（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（3）根据以及，进行计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：猜想：，
理由如下：
∵，
又∵，
∴，
即．
考查题型三 几何图形中角度计算问题
1．如图，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．
【详解】解：如图，
∵顶点A落在处，
，
又为的平分线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的计算的应用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
2．如图，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
3．如图，已知是直角，在的外部，且平分，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可；
（2）先利用，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用，计算即可．
【详解】（1）解：因为是直角，，
所以．
因为平分，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
（2）因为，是直角，
所以．
因为平分，
所以，
所以．
【点睛】本题考查与角平分线有关的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
考查题型四 角度的四则运算
1．将转化为度分秒的形式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，进行换算即可得到答案．
【详解】解：，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算，熟练掌握，是解题的关键．
2．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】
【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：，，，．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（2）根据角度的减法运算法则进行计算即可；
（3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可；
（4）根据角度的除法运算法则进行计算即可；
（5）根据角度的加法运算法则进行计算即可；
（6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是熟练掌握度、分、秒之间的换算关系，，．
考查题型五 实际问题中角度计算问题
1．入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小40°B．增大40°C．减小20°D．不变
【答案】A
【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
所以入射光线与反射光线的夹角是100° ．
入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°，
此时入射光线与反射光线的夹角为60°．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°．
故选：A．
【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键．
2．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有 个平衡时刻．
【答案】24
【分析】由题意易得每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，由此问题可求解．
【详解】解：∵每小时会出现一次时针与分针的夹角为180°的时刻，
∴24×1=24（次），
即从0时到24时共有24个平衡时刻；
故答案为24．
【点睛】本题主要考查钟面上的角度问题，熟练掌握钟面上的角度问题是解题的关键．
3．如图，直线，交于点，将一个三角板的直角顶点放置于点处，使其两条直角边分别位于的两侧．若刚好平分，，求的度数．
【答案】
【分析】设∠COE=α，则∠BOE=2α，∠BOC=3α，依据角平分线即可得出∠BOC=∠BOF=45°+α，求得α的值，即可得到∠BOC的度数，进而得到∠BOD的度数．
【详解】解：设，则，，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
考查题型六 角平分线的有关计算
1．如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
2．已知是的平分线，，∠的平分线，则∠的度数为 ．
【答案】或
【分析】试题分析：由于与的位置关系不能确定，故应分在内和在外两种情况进行讨论．
【详解】解：当与的位置关系如图所示时，
是的平分线，是的平分线，，，
，，
﹣﹣；
当与的位置关系如图所示时，
是的平分线，是的平分线，，，
，，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
3．如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，平分，，，求的度数．
【答案】
【分析】首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵平分，
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差计算．
考查题型七 角n等分线的有关计算
1．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（ ）
①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【分析】根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．
【详解】解：因为∠AOB＝∠BOD，
所以∠AOB=∠AOD，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，
所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB，
故①错误，③正确；
因为∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD，
所以∠DOC＝3∠BOC
故②错误，④正确．
【点睛】本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断．
2．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．
（1）如图1，若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】 /度 /度 或
【分析】（1）根据三分线的定义计算即可；
（2）①根据三分线的定义计算即可；
②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可．
【详解】（1）解：∵，则是的一条三分线．
∵
∴,
故答案为：
（2）①∵，是的两条三分线，，
∴，
故答案为：；
②∵，，是的两条三分线，
∴，
由旋转得：，
分两种情况：
当是的三分线，且时，可得，
∴，
∴，即；
当是的三分线，且时，可得，
∴，即；
故答案为：或．
【点睛】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
3．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，是的平分线，求的度数；
(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；
（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．
（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
是的平分线，
，
；
答：的度数为．
（2）解：是的平分线．
，
是的平分线，
，
，
，
答：的度数为．
（3）解：由（2）得
，
，
又，
，
，
，
，，
，
当，
，
；
当，
，
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
A夯实基础
1．（2021下·上海闵行·六年级上海上师初级中学校考期中）如图，两块直角三角板顶点重合，，则重合部分的角度是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先计算出，根据即可求出重合部分的角度．
【详解】解：∵
∴
∴
即重合部分的角度是
故选：C
【点睛】本题考查三角板中的角度计算．确定是解题关键．
2．（2023上·全国·七年级课堂例题）比较的大小，正确的是（ ）
A．B．
C．D．无法比较
【答案】B
【分析】根据度分秒的换算方法，即，即可求解．
【详解】解：，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角度的换算，掌握度分秒的换算方法是解题的关键．
3．（2023上·河北沧州·七年级校考期中）把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中、、三点在同一直线上，平分，平分．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度即可．
【详解】解：由一副三角尺按如图所示拼在一起且、、三点在同一直线上，
则：，
则：，
∵平分，平分，
∴．
故选：A．
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
5．（2022上·湖北宜昌·七年级统考期末）如图，在一条直线上，分别是的角平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案．
【详解】解：∵分别是的角平分线，
∴，，
∵在一条直线上，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
B能力提升
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中） ．
【答案】
【分析】本题主要考查度分秒的换算．直接进行角度的加法运算，满进，满进．
【详解】解：
，
故答案为：．
2．（2022下·湖南郴州·七年级校考开学考试）已知，是的角平分线， ．
【答案】/30度
【分析】根据角平分线的定义解答即可．
【详解】如图：
，是的平分线，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，理解各角之间的数量关系是解题的关键．
3．（2023上·河北保定·七年级统考期中）如图，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了角的度量，角度的和差关系，根据的度数为，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
4．（2022上·广东湛江·七年级统考期末）如图，点O在直线上，射线平分，若，则 ．
【答案】/104度
【分析】根据角平分线定义求出，再根据平角的概念计算即可．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键．
5．（2022上·河北石家庄·七年级校考期中）已知，，为的平分线，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分当在的外部时和内部时，分别画出图形，根据角平分线的定义即可求解．
根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠AOE，根据角的和差，可得答案．
【详解】解：如图所示，当在的外部时，
，
∵为的平分线，
∴，
当在的内部时
∵为的平分线，
∴，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，结合图形角度的计算，分类讨论是解题的关键．
6．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时，可得，由翻折变换的性质可知，，由可得答案；当点N在点M的上方时，设，，则可以得到，由翻折变换的性质可知，，根据即可求解．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
∵，
∴，
由翻折变换的性质可知，，
∴，
∴．
当点N在点M的下方时，设，，
则，
由翻折变换的性质可知，，
∴．
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查角的计算，翻折的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
C综合素养
1．（2023下·广东河源·七年级校考开学考试）如图，已知，，求的度数．
【答案】
【分析】根据，则，推出；根据，求出，根据，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查角的度量，解题的关键是掌握各角之间的等量关系，进行角的计算．
2．（2023上·陕西延安·七年级统考期末）如图，分别是和的平分线，已知，，求的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出，，则．
【详解】解：∵分别是和的平分线，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确求出，是解题的关键．
3．（2023上·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，是内的一条射线，且．
(1)求的度数；
(2)过点作射线，若，求的度数．（画出草图即可）
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据已知条件，判断射线在内和外两种情况是解答本题的关键．
（1）根据已知角度之间比例关系，找到所求角度的关系式，进而计算出结果．
（2），有两种情况，射线在内，射线在外，分别计算出对应的大小．
【详解】（1）解：，，
，
故答案为．
（2），
当在内时，
如图，
当在外时，
如图，
故答案为或
4．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，，，平分，平分．
(1)求的度数．
(2)若，，用含、的代数式表示的度数为______．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先求得的度数，然后由角平分线的定义可知，，最后根据求解即可；
（2）先求得α，由角平分线的定义可知α，，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
由角平分线的性质可知：，．
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得和的大小，然后再依据求解是解题的关键．
5．（2023上·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，平分的内角，平分的外角， 相交于点 E．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答；
（2）先说明，再根据角平分线的定义可得、，最后根据角的和差即可解答．
【详解】（1）解:∵平分，
∴，
∵,
∴,
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，明确各角间的关系是解答本题的关键．
6．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）已知：．
(1)如图1，若．
①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，
理由是________________．
②那么_________．
(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．
①当t=______秒时，平分；
②试说明：当t为何值时， ？
【答案】(1)①，同角的余角相等；②180
(2)①6；②或20
【分析】（1）①根据同角的余角相等解答；
②利用角的和差关系即可求解；
（2）①由平分知，旋转角等于的一半，即可列方程求解；
②分在的内部和外部讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，，
∴（同角的余角相等）．
故答案为：，同角的余角相等；
②∵，
∴
．
故答案为：180；
（2）解：①根据题意，得，
即，
解得．
故答案为：6；
②当在的内部时，
∵，
∴，
解得；
当在的内部时，
∵，
∴，
解得，
综上，t为或20时，
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，余角的性质，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．课程标准
学习目标
1.角的和差计算；
2.角平分线的相关概念；
1.掌握用量角器量角的过程与步骤；
2.掌握角平分线的相关概念和计算；
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