浙教版七年级上册6.8 余角和补角精品测试题

这是一份浙教版七年级上册6.8 余角和补角精品测试题，文件包含第08讲余角和补角4大题型原卷版docx、第08讲余角和补角4大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。


知识点01：余角、补角
余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．
补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．
1．互余、互补是指两个角之间的一种关系．
2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系．
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
要点诠释：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
【即学即练1】
1．（2023上·全国·七年级专题练习）一个角的余角的4倍比这个角的2倍大，则这个角的余角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查余角的概念及计算，一元一次方程，掌握方程的运用，余角的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，设这个角为，
∴这个角的余角为，
∴，
解得：，
∴这个角的余角为，
故选：A．
【即学即练2】
2．（2023上·全国·七年级专题练习）若与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由与互余，与互补可得，，由得：，由此即可解答．掌握“互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为”是解题的关键．
【详解】解： 与互余，与互补，
∴，，
由得：，
．
故选：D．
知识点02、方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【即学即练3】
3．（2022上·云南红河·七年级统考期末）学校操场上，你站在李老师北偏东的方向，那么李老师站在你的（ ）
A．北偏西B．北偏西
C．南偏西D．南偏西
【答案】C
【分析】根据方位角的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：你站在李老师的北偏东，
李老师站在你的南偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
【即学即练4】
4．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，

甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
考查题型一 求一个角的余角
1．（2023·广东河源·二模）若一个角是，则这个角的余角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余角的定义“如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角”，计算即可得出答案．
【详解】解：∵一个角是，
∴这个角的余角是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了余角的计算，掌握余角的定义是解题的关键．
2．（2022上·北京西城·七年级北京师大附中校考阶段练习）一个角的余角的倍比这个角的倍大，则这个角的余角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余角的概念及计算，设这个角为，由此列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设这个角为，
∴这个角的余角为，
∴，解得，，
∴这个角的余角为，
故选：．
【点睛】本题主要考查余角的概念及计算，掌握方程的运用，余角的计算是解题的关键．
3．（2023上·新疆喀什·七年级统考期末）如图，与互为余角，是的平分线，是的平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余角的定义，得出，再根据，计算即可得出的度数；
（2）根据角平分线的定义，得出，根据余角的定义，得出，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的平分线，，
∴，
∵与互为余角，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴．
【点睛】本题考查了与余角有关的计算、角平分线的定义，解本题的关键在理清角之间的数量关系．
考查题型二 求一个角的补角
1．（2023下·安徽宿州·七年级校考期中）已知，则的补角的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把原式化为，再计算即可.
【详解】解：∵，
则的补角的度数为，
故选：C
【点睛】本题考查了求一个角的补角，掌握角度的加减运算方法是解题的关键．
2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如果一个角等于，那么它余角的补角是 ．
【答案】/125度
【分析】根据余角和补角的定义进行计算结果即可．
【详解】解：一个角等于，
它的余角，
它的余角的补角，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解答本题的关键．
3．（2021上·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图，已知，分别是和的角平分线，．

求：
(1)的余角的度数是多少？
(2)的补角的度数是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由、分别是和的平分线，利用角平分线定义可得，，从而得出，算出再根据余角的定义解答即可；
（2）由（1）得出的度数，根据补角的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∴的余角的度数是：；
（2）由（1）得到，
∴的补角的度数是：．
【点睛】此题考查了余角、补角和角平分线定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
考查题型三 与余角、补角有关的计算
1．（2022上·湖南岳阳·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．锐角和钝角一定互补B．两点之间直线最短
C．一个角的补角一定大于这个角D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据直线的定义，两点之间线段最短，补角的定义以及线段的性质逐一判断即可．
【详解】、钝角和锐角的和不一定是，故不一定互补，此选项不符合题意；
、两点之间线段最短，此选项不符合题意；
、一个角的补角不一定大于这个角，比如，的补角为，但是，此选项不符合题意；
、两点确定一条直线，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了直线的定义，两点之间线段最短，补角的定义以及线段的性质，熟记相关定义是解题的关键．
2．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）一个角的余角的2倍比这个角的补角少，则这个角是 度．
【答案】
【分析】设这个角为，根据一个角的余角的2倍比这个角的补角少，列出方程，解方程即可．
【详解】解：，
设这个角为，根据题意得：
，
解得：，
即这个角为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的计算，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
3．（2022上·河南郑州·七年级校考期中）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．
(1)在图1中，______．
(2)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图2．若，求的度数．
(3)在旋转过程中，若三角板在直线的上方，则与始终保持的数量关系是______．并请说明理由．
【答案】(1)
(2)的度数为
(3)，理由见详解
【分析】（1）根据三角板的特点，几何图形角度的和、差计算方法即可求解；
（2）根据平角的度数，三角板直角的度数关系，可得，根据题意可得，，由此即可求解；
（3）根据旋转的性质，分类讨论，①如图所示，在内部；②如图所示，在外部；根据三角板的性质，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，，
∵，且，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，解得，，
∴，
∴的度数为．
（3）解：，理由如下，
在旋转过程中，若三角板在直线的上方，，，
①如图所示，在内部，
∵，则，
，则，
∴，
∴；
②如图所示，在外部，
∴，则，
，则，
∴，
∴；
综上所述，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，旋转的性质，几何图形中角度的和、差计算，理解图示，掌握三角板中角度的关系，旋转的性质，角的和、差计算方法是解题的关键．
考查题型四 同（等）角的余（补）角相等的应用
1．（2023上·全国·七年级课堂例题）将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，与互余的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】互余的两个角和为90度，由此判断即可．
【详解】解：A，，因此与互余，符合题意；
B，同角的余角相等，所以，但推不出，因此不能得出与互余，不合题意；
C，很显然，，因此不能得出与互余，不合题意；
D，，因此不能得出与互余，不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查互余的判断，解题的关键是理解互余的概念，牢记互余的两个角和为90度．
2．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则 ．

【答案】
【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可．
【详解】解：设，
比大，
，
与互余，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解．
3．（2023上·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知．
(1)写出图中一组相等的角（除直角外）______，理由是______
(2)试猜想和在数量上是相等、互余、还是互补的关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)互补，理由见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等解答；
（2）表示出，再求出，然后整理即可得解．
【详解】（1）
解：，
，
，
；
（2）
互补，
，
，
，
和互补．
【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
A夯实基础
1．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）若，则的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，根据补角的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角为．
故选C．
2．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第四十九中学校校考周测）若，则与的关系为（ ）
A．互余B．互补C．相等D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等，即可判断．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了余角的知识，用到的知识点为：等角的余角相等．
3．（2023上·河北沧州·七年级校考期中）已知，与互为补角，与互为补角，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了补角的定义，同角的补角相等，解题的关键是掌握“相加等于180度的两个角互补”，以及同角的补角相等．
【详解】解：∵与互为补角，与互为补角，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）如图，，且，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了求一个角的余角，几何图形中的角度问题，依题意得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
故选：A．
5．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则互为补角
B．若是的补角，则一定是钝角
C．若是的余角，则一定是锐角
D．若是的余角，则一定小于
【答案】C
【分析】根据余角、补角的概念，逐项进行判断，即可解答，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
【详解】解：A、是3个角，不符合互补的定义，故A错误；
B、若是的补角，则，
当时，，是锐角，故B错误；
C、若是的余角，
∴，
则一定是锐角，故C正确；
D、若是的余角，则，
当时，，故D错误；
故选B．
【点睛】考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质．
6．（2023上·七年级课时练习）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）

A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据补角以及角平分线的定义解决此题．
【详解】解：∵，
∴，
∴与互为余角，
故①正确．
∵平分，
∴，
∴无法推断得到，
故②错误．
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确．
∵，
∴．
∵平分，
∴
故④正确．
综上：正确的有①③④．
故选：B．
【点睛】本题主要考查角平分线、补角，熟练掌握角平分线的定义以及补角的定义是解决本题的关键．
B能力提升
1．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）已知的余角为，则 ．
【答案】
【分析】根据余角定义求解即可．
【详解】解：∵的余角为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查余角定义，熟知和为的两个角互余是解答的关键．
2．（2022上·甘肃平凉·七年级统考期末）已知，则它的余角是 ．
【答案】
【分析】根据余角的定义求即可．
【详解】解：∵，
∴它的余角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角．
3．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）已知与 互余，若，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了互余的定义，互余的两角之和为，据此作答即可．
【详解】∵与 互余，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
4．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）如图所示，，且与关系为 ．

【答案】互余
【分析】根据补角和余角的概念求解，即可得到答案．
【详解】，
，
与关系为互余，
故答案为：互余．
【点睛】本题考查了补角和余角，熟练掌握互余和互补的意义是解题关键．
5．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，若是直线上一点，，，则 ．
【答案】/80度
【分析】本题先由平角的定义得出，再由已和条件即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，且，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平角的定义和角的计算，解答本题的关键是理解平角的概念．
5．（2023上·七年级课时练习）如图所示，已知是直线上一点，，平分．

（1）图中与相等的角有 ；
（2）图中与互余的角有 ；
（3）图中与互补的角有 ．
【答案】 ，， ，
【分析】（1）根据同角的余角相等，即可得解；
（2）根据互余的两角之和为，进行求解即可；
（3）根据互补的两角之和为，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴与互余的角有，，
故答案为：，，；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴与互补的角有，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查与余角和补角有关的运算，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．
C综合素养
1．（2023上·河北承德·七年级统考期中）如图，，平分，且，求度数．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质和求一个角的余角，题目较为简单，先利用角平分线的定义求出，再求其余角即可，运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】∵平分，且
∴，
∵，
∴，
2．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）已知一个角的补角比这个角的倍大，求这个角和它的补角．
【答案】这个角是，它的补角是
【分析】根据补角的概念，设这个角为，这个角的补角为，列方程求解即可．
【详解】解：设这个角为，这个角的补角为，
∵一个角的补角比这个角的倍大，
∴，解得，，
∴这个角的补角为，
∴这个角是，它的补角是．
【点睛】本题主要考查方程与角度计算的综合，掌握方程与补角的计算方法是解题的关键．
3．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期中）请补全下面的解题过程
已知：如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分，．
求证：OC是的平分线．
证明：因为OD是的平分线，
所以．
因为．
所以，
．
因为，
所以．
所以OC是的平分线．
【答案】；90；，
【分析】此题考查角平分线的定义，等角的余角相等的性质，根据角平分线的定义以及等角的余角相等逐步推理证明，即可得到结论．
【详解】证明：因为是的平分线，
所以．
因为，
所以，
．
因为，
所以．
所以平分．
故答案为：；90；，．
4．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，已知直线和相交于点，（为锐角），点在直线上方，，平分．

(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，直接写出： °；
(3)若，过点O作射线OG，使，求的度数．
【答案】(1)
(2)45
(3)或
【分析】（1）根据角平分线性质，可得，再由，可得，即可得出答案；
（2）由已知条件得，，再由角平分线性质得，即可得到，计算即可得出答案；
（3）设，由题意可得，，再根据，代入式子，即可解得，即，再由角平分线性质可得，由邻补角定义得，再根据条件即可求出的值，然后分在上方和下方这两种情况讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：平分，
，
，
．
（2）解：，
，
又
．
（3）解：设，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵，
即，解得，
∴，
∴，
∴，
当射线在下方时，，
当射线在上方时，，
综上，的度数是或．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角的性质及角度的计算，熟练掌握角平分线的性质，补角的性质并灵活运用相关性质进行角度的计算是解题关键．
5．（2022上·江苏南通·七年级统考期末）如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．

(1)当时，求的度数；
(2)若在的内部画射线，使，求证：与互余；
(3)若与互余，求（可用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据邻补角的定义，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数；
（2）根据互余的性质，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可证明结论；
（3）分两种情况讨论：①当射线在的内部时；②当射线在的外部时，根据余角和补角以及角平分线的定义分别求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
射线平分，
，
；
（2）证明：如图，在的内部画射线，，
，
射线平分，
，
，
即与互余；

（3）解：①如图，当射线在的内部时，

与互余，
，
射线平分，
，
，
；
②如图，当射线在的外部时，

与互余，
，
，
，
，
射线平分，
，
，
综上可知，的度数为或．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
6．（2023上·河北石家庄·七年级石家庄市第四十中学校考期中）综合与实践
【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，
【操作发现】如图①，且两个角重合．
（1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ．
【实践探究】
（2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究：
①的补角是哪几个角？ ．
②求的度数．
【答案】（1），2，和；（2）①，，；②
【分析】本题考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的运算、余角和补角的定义：
（1）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据，，进而可求解；
（2）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的计算即可求解；
熟练掌握角度之间的计算，理解平角、余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】解：（1）由旋转的性质得：，
，
，
，
平分，
，，
的余角有2个（本身除外），分别是和，
故答案为：；2；和；
（2）①，，
，
，
的补角是，
，
，
的补角是，
，
的补角是，
综上所述，的补角分别是、、，
故答案为：、、．
②∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．课程标准
学习目标
1.余角和补角的概念及其性质；
2.互余、互补角的正确判断；
3.用代数方法计算角的度数；
1、使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，
2、使学生理解互余与互补的角的性质
3、培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。